Занятие по теме: «Решение нестандартных тригонометрических уравнений» Цель : Развивать у учеников

1. 
   Нестандартное мышление
   
2. 
   Уметь применять формулы тригонометрии.
   
3. 
   Воспитывать целеустремленность и аккуратность.
   

На данном семинарском занятии увидите решение различных типов уравнений :

1. 
   Использование формул, ограниченность тригонометрических функций ;
   
2. 
   Применение свойств арифметической прогрессии, нахождение пересечений решений, решение уравнений в целых числах, применение тригонометрии в решении иррациональных уравнений.
   

Итак, начинаем!

Решить уравнение:

-1/2 сos 2x + √3/2 sin 2x + 2cos x - 2√3 sin x + 4 = 1/2 cos 5x - √3/2 sin 5x

Решение:

сos 120⁰сos 2x + sin120⁰sin 2x - 4(сos 60⁰cos x + sin60⁰sin x)= cos 5x сos 60⁰ - sin 5x sin60⁰

сos (2x -120⁰) - 4 сos (x - 60⁰) + 4 = сos (5x + 60⁰)

1 + сos (2x -120⁰) - 4 сos (x - 60⁰) + 3 = сos (5x + 60⁰)

2сos ²(2x -120⁰) - 4 сos (x - 60⁰) + 3 = сos (5x + 60⁰)

2(сos (x -60⁰) – 1)² + 1 = сos (5x + 60⁰)

Оценим левую часть уравнения :

2(сos (x -60⁰) – 1)² + 1 ≥ 1

Оценим правую часть уравнения:

|сos (5x + 60⁰)| ≤ 1 =>

сos (5x + 60⁰) = 1 х = 12⁰(6n + 1)

сos 2x + сos 4x + сos 6x + сos 8x = -1/2

4х – 2х = 6х – 4х = 8х – 6х = 2х

Аргументы тригонометрической функции составляют арифметическую прогрессию, где d = 2x.

Для решения уравнения умножим обе части на 2 sin d/2.

2сos2x sinx + 2sinx сos4x + 2sinx сos6x + 2sinx сos8x = -1/2×2sinx

sin(x + 2х) + sin(x – 2х) + sin(x + 4х) + sin(x -4х) + sin(x + 6х) + sin(x – 6х) + sin(x + 8х) + sin(x - 8х) = -sinx,

sin 9x = 0 , 9x = πn , x = πn/9, где n = 9к,к Є Z

4 сos²x + √2sin |x| = 1

Решение:

4 - 4sin² x + √2sin |x| - 1 = 0

4sin² x - √2sin |x| - 3 = 0 sin |x| = t,

Тогда 4t² - √2t – 3 = 0

t_1,2 = (√2 ± 5√2)/8 t₁ = 3√2/4 > 1, t₂ = √2/2

sin |x| = √2/2

1) x > 0 sin x = √2/2, x = (-1)^kπ/4 + πk, k Є N;0

2) х < 0 sin x = -√2/2, х = (-1)^{k + 1}π/4 + πk, k Є N;0

Ответ: x = (-1)^kπ/4 + πk, k Є N;0

х = (-1)^{k + 1}π/4 + πk, k Є N;0

sin x + 2sin 2x = 3 + sin 3x

Решение:

2sin x сos 2x - 2sin 2x + 3 = 0

Дополним имеющееся уравнение удвоенным произведением 2sin x сos 2x и 2sin 2x до полных квадратов.

(sin²x + 2sinxсos 2x + сos²2x ) + (sin² 2x - 2sin 2x + 1) + 3 = sin²x + сos²2x + sin²2x +1

(sinx + сos2x )² + (sin2x - 1)² + 3 = sin²x + 2

(sinx + сos2x )² + (sin2x - 1)² + сos² x = 0

• 
  sinx + сos2x = 0
  

сos x = 0

Проверим имеет ли система решения

sin 2(π/2 + πk) – 1 = sin (π + 2πk) – 1 = -1 ≠ 0

Значения х = π/2 + πk не удовлетворяет второму уравнению системы. Система не имеет решений следовательно исходное уравнение не имеет решений.

5. √(-3 - сos²x + 3sin 5x) = 1 - sin x

-3 - сos²x + 3sin 5x = (1 - sin x)² -3 - сos²x + 3sin 5x = 1 - 2sin x + sin x²

1 - sin x ≥ 0 3sin 5x + 2sin x = 5

sin x ≤ 1, sin 5x ≤ 1

Уравнение равносильно системе:

sin x = 1, х = π/2 + 2πk, k Є Z

sin 5x = 1 х = π/10 + 2πn/5, n Є Z

Найдем пересечение решений:

π/2 + 2πk = π/10 + 2πn/5

5 + 10k = 1+ 4n, 4n = 4 + 20k

n = 1 + 5k, k Є Z

значит х = π/2 + 2πk , k Є Z

6. 
   √4 – 2х = 8х² – 24х + 17 + 2(2х - 3)√ 12х – 4х² – 8
   

√1- (2х -3) = 2(2х -3)² – 1 + 2(2х - 3)√ 1 – (2х - 3)²

Пусть 2х – 3 = t, тогда

√1 – t = 2t² – 1 + 2t√ 1 – t² , где t Є [- 1; 1]

Пусть t = сos λ , λ Є [ 0; π]

√1 – сos λ = 2сos² λ – 1 + 2 сos λ √ 1 – сos² λ

√2|sin λ/2| = сos2 λ + 2 сos λ |sin λ|

λ Є [ 0; π] , то sin λ/2 > 0 sin λ > 0

sin λ/2 = 1/√2 сos 2λ + 1/√2 sin 2λ

sin λ/2 = sin (2λ + π/4)

2λ + π/4 = λ/2 + πn, n Є Z λ = - π/6 + 4πn/3, n Є Z

2λ + π/4 = π - λ/2 + 2πk, k Є Z λ = 3π/10 + 4πk/5, k Є Z

Т. к. λ Є [ 0; π] => λ = 3π/10

t = сos3π/10

2х -3= сos3π/10

x = ½(сos3π/10 + 3)

сos 10x - сos 4x + 3sin 3x + sin 9x = 0

-2sin 7x sin 3x + 3sin 3x + 3sin 3x - 4sin³ 3x = 0

6sin 3x - 4sin³ 3x - 2sin 7x sin 3x = 0

6sin 3x - 4sin³ 3x - 2sin 7x sin 3x = 0

sin 3x (3 - 2sin³ 3x - sin 7x) = 0

sin 3x = 0 х = πn/3, n Є Z

(3 - 2sin³ 3x - sin 7x) = 0

3 – (1 – cos6x) - sin 7x = 0

cos6x - sin 7x = 2

cos 6x = -1

sin 7x = 1 x = 2πk – π/2, k Є Z

Проверка sin(7(2πk – π/2)) = sin(14πk – 7π/2) = sin3π/2 = 1

Cos6(2πk – π/2) = cos 3π = -1

Ответ: х = πn/3, n Є Z

x = 2πk – π/2, k Є Z

Для самостоятельного решения:

1. 
   sin x + sin 2x + sin 3x + ….+ sin 2008x = 0
   
2. 
   сos x сos 2x сos 4x сos 8x cos 16x = 1/32
   

х = 2/33(π/2 + πn); n Є Z n ≠ 16 + 33p

3. |x + 5| + |x - 1| = 6sin πx/2

4. sin 3x + |sin x| = sin 2x

Ответ: х = πк х = π/3 + 2πn n, k Є Z

5. sin 2x sin 6x = 1

Ответ: нет решений

6. √ 1 + сos 4x sin x = 2sin π/4

6. 
   cos² 5x + cos² x + cos 6x = 1
   

6. 
   tg ² x - 20 cos² x + 2 = 0
   

6. 
   sin³ x cos 3x + cos³ x sin 3x = ¾
   

6. 
   cos⁶ x + sin⁶ x = 4sin² 2x