Уравнение Способ решения




Дата канвертавання18.04.2016
Памер41.58 Kb.
Приложение 4.
Тест № 3.



Уравнение


Способ решения

1) 8cos2 x + 6sin x – 3 = 0


1) Приведение к алгебраическому виду.


2) tg x – 2ctg x + 1 = 0


2) Приведение к алгебраическому виду.


3) 3sin2 x – 4sin x cos x + 5cos2 x = 2


3) Однородное уравнение второй степени.


4) 2sin x – 3cos x = 0


4) Однородное уравнение первой степени.


5) 3sin x + 4cos x = 0


5) Введение вспомогательного аргумента.


6) 4sin x – 6cos x = 1


6) Универсальная подстановка.


7) 2sin x + cos x = 2


7) Замена sin x и cos x тождествами sin 2x и

cos 2x.



8) sin 2x – sin x = 0


8) Разложение на множители.


9) sin 7x + sin 3x = 3cos 2x


9) Преобразование суммы в произведение.


10) cos 3x cos x = cos 2x


10) Преобразование произведения в сумму (или cos 2x = cos (3x-x)).


11) sin2 x + cos2 2x + sin2 3x =

11) Понижение степени.




12) 9cos4 x– sin4 x = 2sin 2x


12) Понижение степени.

13) 8 – 10sin x cos x – 16sin x + 16cos x = 0




13) Подстановка t = sin x ± cos x.

Приложение 4.
Основные способы решения тригонометрических уравнений.
1.Уравнения, приводящиеся к алгебраическим относительно некоторой переменной.
Пример 1.
8cos2 x + 6sin x – 3 = 0,

8(1 – sin2 x) + 6sin x – 3 = 0,

8sin2 x – 6sin x – 5 = 0.

Пусть y = sin x, где |y| ≤ 1.

Получим 8y2 – 6y – 5 = 0.

y1 = – или y2 = – корень не удовлетворяет условию |y| ≤ 1.

Возвращаясь к подстановке, получаем

sin x = – ,

x = (–1)k+1 + πk, kz.

Ответ: (–1)k+1 + πk, kz.


2. Уравнения однородные относительно sin x и cos x:

аsin x + bcos x = 0 или a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0, где a, b, c ≠ 0
Пример 2.
3sin2 x – 4sin x cos x + 5cos2 x = 2,

3sin2 x – 4sin x cos x + 5cos2 x = 2(sin2 x + cos2 x ),

sin2 x – 4sin x cos x + 3cos2 x = 0, |: cos2 x ≠ 0,

tg2 x – 4tg x + 3 = 0.

Пусть tg x = y, тогда

y2 – 4y + 3 = 0, откуда y1 = 3 или y2 = 1.

Возвращаясь к подстановке, получаем

tg x = 3 или tg x = 1

x = arctg 3 + πn, nz или x = + πk, kz.

Ответ: arctg 3 + πn, nz , + πk, kz.


3.Уравнения неоднородные относительно sin x и cos x:

A sin x + B cos x = C, где A, B, C не равны 0.
Уравнения такого вида можно решать:
1)введением вспомогательного аргумента

Приложение 4.
Основные способы решения тригонометрических уравнений.
Пример 3.
3sin x + 4cos x = 5,

A = 3; B = 4; A2 + B2 = 25.

Разделим обе части уравнения на 5, получим

+ = 1, где cos φ = , sin φ = .

Данное уравнение равносильно уравнению

sin (x + φ) = 1,

x + φ = + 2πk, kz,

x = –arcsin + + 2πk, kz.

Ответ: –arcsin + + 2πk, kz.
2) с помощью универсальной подстановки
Пример 4.
4sin x – 6cos x = 1,

4 (2tg) / (1 + tg2) – 6(1 – tg2) / (1 + tg2) = 1,

8 tg–6 + 6 tg2– 1 – tg2 = 0,

5 tg2 + 8 tg– 7 = 0.

Пусть tg = y, тогда

5y2 + 8y – 7 = 0, откуда

y1 = или y2 = .

Возвращаясь к подстановке, получаем

= или = ,

x = 2arctg + 2πn, nz или x = 2arctg + 2πk, k z.

При такой подстановке могут быть потеряны корни уравнения = + πm, mz, т.е.

x = π + 2πm, mz.

Проверкой убеждаемся, что x = π + 2πm не удовлетворяют уравнению.
Ответ: 2arctg + 2πk, kz ; 2arctg + 2πn, nz.

Приложение 4.
Основные способы решения тригонометрических уравнений.
4.Уравнения, решаемые с помощью преобразования произведения тригонометрических уравнений в сумму и суммы в произведение.
Пример 5.
sin 7x + sin 3x = 3cos 2x,

2sin () cos () – 3cos2x = 0,

2sin 5x cos 2x – 3cos 2x = 0,

cos 2x (2sin 5x – 3) = 0,

cos 2x = 0 или 2sin5x – 3 = 0,

x = + k, kz или sin 5x =– корней нет, т.к. |sin 5x| ≤ 1.

Ответ: + k, kz.
5. Уравнения, решаемые понижением степени.
Пример 6.
9cos4 x – sin4 x = 2sin2 2x,

92 2 = 2sin2 2x,

(1+2cos 2x+cos2 2x) –(1 – 2cos 2x+cos2 2x) = 2sin2 2x,

(9+18cos 2x+9cos2 2x–1+2cos2x–cos2 2x) = sin2 2x,

9 + 18cos 2x + 9cos2 2x – 1 + 2cos 2x – cos2 2x – 8 + 8cos2 2x = 0,

20cos 2x + 16cos2 2x = 0,

4cos 2x (5 + 4cos 2x) = 0,

4cos 2x = 0 или 5 + 4cos 2x = 0,

x = + k, kz или cos 2x = - – корней нет, т.к. |cos2x| ≤ 1.

Ответ: + k, kz.
6. Уравнения, решаемые с помощью подстановки t = sin x + cos x или t = sin x – cos x.
Пример 7.
8 – 10sin x cos x – 16sin x + 16cos x = 0,

8 – 10sin x cos x – 16(sin x – cos x) = 0.

Пусть t = sin x – cos x, тогда

t2 = (sin x – cos x) 2,

t2 = 1 – 2sinx cos x,

sinx cos x = (1– t2)/ 2.



Приложение 4.
Основные способы решения тригонометрических уравнений.
Получаем

8 – 5(1 – t2) – 16t = 0,

5 t2 – 16t + 3 = 0, откуда

t1= или t2 = 3.

Возвращаясь к подстановке, получаем

sinx – cos x = или sin x – cos x = 3 – корней не имеет, т.к. sin (x –) = , что невозможно ( |sin x| ≤ 1).

sin x – sin (– x) = ,

 ,



,

,

x = + (– 1)k arcsin + πk, kz .



Ответ: + (– 1)k arcsin + πk, kz.


База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка