§ 3. Датычная да гладкай рэгулярнай лініі
Няхай – элементарная гладкая, рэгулярная лінія, =
= – яе вектар-функцыя.
А з н а ч э н н е. Датычнай да лініі у пункце называецца прамая , якая праходзіць праз пункты і мае накіроўвачы вектар .
Саставім параметрычныя ўраўненні датычнай да лініі . Пункт належыць датычнай тады і толькі тады, калі вектар калінеярны вектару (рыс 4). Гэта выконваецца ў сваю чаргу тады і толькі тады, калі = , а значыць, тады і толькі тады, калі (1)
Ураўненні (1) ёсць параметрычныя ўраўненні датычнай. Кананічныя ўраўненні
Рыс. 4 датычнай маюць выгляд.
.
Заўвага. Можна даказаць, што датычная да лініі у пункце не залежыць ад выбару дапусцімай параметрызацыі гэтай лініі .
Для гладкай рэгулярнай лініі , дадзенай ураўненнем , дапусцімай лічыцца такая замена параметра , калі функцыя мае ў прамежку непарыўныя вытворныя да парадку уключна, і першая вытворная у кожным пункце прамежка няроўная нулю.
Пры выбары другой параметрызацыі атрымліваем:
. Паколькі і калінеарныя, то прамыя, якія праходзяць праз пункт і паралельныя вектарам і супадаюць. Значыць, датычная не залежыць ад выбару парамет-рызацыі.
Тэарэма (уласцівасць датычнай). Калі пункт лініі імкнецца да пункта ,тады ліміт стасунку адлегласці ад пункта да датычнай у пункце к адлегласці ад пункта да пункта роўны нулю: . Датычная з’яўляецца адзінай прамой, якая мае такую ўласцівасць.
Д о к а з . Няхай , – параметрызацыя лініі і , . Тады адлегласць ад пункта да пункта раўняецца , а адлегласць ад пункта да датычнай у пункце раўняецца .
=
=  =
= (рыс. 5 )
Рыс.5
Дакажам, што датычная – адзіная прамая, якая мае азначаную ўласцівасць.
Няхай – адвольная прамая, якая праходзіць праз пункт , а – яе накіроўваючы вектар. Абазначым – адлегласць ад пункта да прамой . Аналагічна папярэднему атрымаем, што
. Заўважым, што гэты ліміт роўны нулю тады і толькі тады, калі вектары і калінеарны, гэта зна-чыць, калі прамая з’яўляецца датычнай.
Тэарэма даказана.
Практыкаванне. Напішыце ўраўненне датычнай да лініі у пункце , ,
§ 4. Даўжыня лініі. Натуральная параметрызацыя
1. Даўжыня лініі. Няхай – элементарная гладкая рэгулярная лінія , = , .
У курсе матэматычнага аналіза даказваецца наступная тэарэма.
Т э а р э ма 1. Кожная элементарная гладкая рэгулярная лінія мае даўжыню , якая знаходзіцца па формуле , дзе , – параметрызацыя лініі.
2. Натуральная параметрызацыя. Даўжыню дугі лініі можна выкарыстоўваць для ўвядзення адной вельмі зручнай парамет-рызацыі лініі .
Параметрызыцыя , элементарнай лініі называецца натуральнай, калі выконваецца ўмова , .
Т э а р э м а 2. Для кожнай элементарнай гладкай рэгулярнай лініі існуе натуральная параметрызацыя.
Д о к а з. Няхай , параметрызацыя элементарнай гладкай лініі . Разгледзім лікавы прамежак . Калі атрымліваем дугу лініі з канцавымі пунктамі і . Разгледзім замкнуты прамежак . Тады дліна дугі, якая адпавядае гэтаму прамежку знаходзіцца па формуле =
= . Па ўласцівасці інтэграла са зменным верхнім лімітам маем, што > 0. Адсюль вынікае, што даўжыня дугі – строга ўзрастаючая функцыя ад параметра . Як вядома з матэматычнага аналіза, такая функцыя мае адваротную функцыю , пры гэтым >0. Гэта функцыя таксама ўзрастаючая і непарыўная, а – гомеамарфізм. Значыць, даўжыню дугі можна ўзяць у якасці параметра. Параметрызацыя , з’яўляецца натуральнай. Сапраўды  = =
= = .
Што і трэба было даказаць.
Заўвага. Калі дадзена натуральная параметрызацыя лініі, тады вектар – ёсць адзінкавы вектар датычнай да лініі. Гэты вектар абазначаюць , , .
§ 5. Крывізна лініі, дадзенай у натуральнай парамет-рызацыі.
1. Крывізна лініі. Няхай дадзена элементарная гладкая рэгулярная лінія і , – яе натуральная параметрызацыя, – даўжыня лініі .
Вядома, што вектар – адзінкавы вектар датычнай да лініі .
А з н а ч э н н е. Вектар называецца вектарам крывізны, а яго даўжыня называецца крывізной лініі ў адпаведным пункце і абазначаецца =
Няхай ,
абазначым . Тады , .
З а ў в а г а. Вектар перпендыкулярны вектару . Сапраўды выконваецца роўнасць . Прадыферэнцыруем гэту роўнасць:
, , а значыць .
А з н а ч э н н е. Вектар называецца вектарам галоўнай нармалі ў пункце , які адпавядае параметру .
А з н а ч э н н е. Галоўнай нармаллю да лініі у пункце называецца прамая, якая праходзіць праз пункт , а накіроўваючым вектарам гэтай прамой з’яўляецца вектар галоўнай нармалі лініі ў пункце
2. Геаметрычны сэнс крывізны лініі. Высветлім геаметрычны сэнс крывізны лініі.
А з н а ч э н н е. Няхай , – натуральная параметрызацыя элементарнай гладкай і рэгулярнай лініі , і – адзінкавыя датычныя вектары адпаведна ў пунктах і , – вугал паміж гэтымі вектарамі. Тады называецца хуткасцю вярчэння датычнай у пункце .
Т э а р э м а Няхай – элементарная гладкая рэгулярная лінія. Крывізна лініі ў пункце ёсць хуткасць вярчэння датычнай ў пункце .
Д о к а з. Няхай вугал паміж датычнымі вектарамі і да лініі ў пунктах і , . Дакажам, што = 
Можам запісаць
= Рыс. 6
= .
Заўважым, паколькі лінія гладкая і рэгулярная, то = , а значыць, .
Адкладзём вектары і ад пункта (рыс. 6 )
, . Тады маем, што  =  = = .
Паколькі імкнецца да нуля, то таксама імкнецца да нуля, а значыць імкнецца да . Такім чынам,  . Канчаткова атрымліваем =
= = 1 = .
Практыкаванне. Дакажыце самастойна наступную тэарэму.
Т э а р э м а. Для таго, каб лінія была прамой, альбо яе звязнай часткай, неабходна і дастаткова, каб яе крывізна была роўнай нулю ў кожным пункце гэтай лініі
Пытанні да § 3 - 5
-
Якая прамая называецца датычнай да лініі?
-
Якую ўласцівасць мае датычная да лініі ў дадзеным пункце. Дакажыце гэту ўласцівасць?
-
Якая параметрызацыя элементарнай лініі называецца натуральнай?
-
Для якіх ліній існуе натуральная параметрызацыя?
-
Дакажыце тэарэму аб існаванні натуральнай параметрызацыі для лініі.
-
Што называецца крывізной лініі?
-
Дакажыце тэарэму, што крывізна лініі ў дадзеным пункце ёсць хуткасць вярчэння датычнай у пункце .
-
Дакажыце, што ўсе датычныя шрубавай лініі
, , утвараюць адзін і той жа вугал з утваральнымі цыліндра , на якім яна размешчана.
|