Лініі ў еўклідавай прасторы § Датычная да гладкай рэгулярнай лініі

Лініі ў еўклідавай прасторы

= – яе вектар-функцыя.

А з н а ч э н н е. Датычнай да лініі у пункце называецца прамая , якая праходзіць праз пункты і мае накіроўвачы вектар .

Саставім параметрычныя ўраўненні датычнай да лініі . Пункт належыць датычнай тады і толькі тады, калі вектар калінеярны вектару (рыс 4). Гэта выконваецца ў сваю чаргу тады і толькі тады, калі = , а значыць, тады і толькі тады, калі (1)

Ураўненні (1) ёсць параметрычныя ўраўненні датычнай. Кананічныя ўраўненні

Рыс. 4 датычнай маюць выгляд.

Для гладкай рэгулярнай лініі , дадзенай ураўненнем , дапусцімай лічыцца такая замена параметра , калі функцыя мае ў прамежку непарыўныя вытворныя да парадку уключна, і першая вытворная у кожным пункце прамежка няроўная нулю.

Пры выбары другой параметрызацыі атрымліваем:

. Паколькі і калінеарныя, то прамыя, якія праходзяць праз пункт і паралельныя вектарам і супадаюць. Значыць, датычная не залежыць ад выбару парамет-рызацыі.

Тэарэма (уласцівасць датычнай). Калі пункт лініі імкнецца да пункта ,тады ліміт стасунку адлегласці ад пункта да датычнай у пункце к адлегласці ад пункта да пункта роўны нулю: . Датычная з’яўляецца адзінай прамой, якая мае такую ўласцівасць.

Д о к а з . Няхай , – параметрызацыя лініі і , . Тады адлегласць ад пункта да пункта раўняецца , а адлегласць ад пункта да датычнай у пункце раўняецца .

= =

= (рыс. 5 )

Рыс.5
Дакажам, што датычная – адзіная прамая, якая мае азначаную ўласцівасць.

Няхай – адвольная прамая, якая праходзіць праз пункт , а – яе накіроўваючы вектар. Абазначым – адлегласць ад пункта да прамой . Аналагічна папярэднему атрымаем, што

. Заўважым, што гэты ліміт роўны нулю тады і толькі тады, калі вектары і калінеарны, гэта зна-чыць, калі прамая з’яўляецца датычнай.

Тэарэма даказана.

У курсе матэматычнага аналіза даказваецца наступная тэарэма.

Т э а р э ма 1. Кожная элементарная гладкая рэгулярная лінія мае даўжыню , якая знаходзіцца па формуле , дзе , – параметрызацыя лініі.

2. Натуральная параметрызацыя. Даўжыню дугі лініі можна выкарыстоўваць для ўвядзення адной вельмі зручнай парамет-рызацыі лініі .

Параметрызыцыя , элементарнай лініі называецца натуральнай, калі выконваецца ўмова ,.

Т э а р э м а 2. Для кожнай элементарнай гладкай рэгулярнай лініі існуе натуральная параметрызацыя.

Д о к а з. Няхай , параметрызацыя элементарнай гладкай лініі . Разгледзім лікавы прамежак . Калі атрымліваем дугу лініі з канцавымі пунктамі і . Разгледзім замкнуты прамежак . Тады дліна дугі, якая адпавядае гэтаму прамежку знаходзіцца па формуле =

=. Па ўласцівасці інтэграла са зменным верхнім лімітам маем, што > 0. Адсюль вынікае, што даўжыня дугі – строга ўзрастаючая функцыя ад параметра . Як вядома з матэматычнага аналіза, такая функцыя мае адваротную функцыю , пры гэтым >0. Гэта функцыя таксама ўзрастаючая і непарыўная, а – гомеамарфізм. Значыць, даўжыню дугі можна ўзяць у якасці параметра. Параметрызацыя , з’яўляецца натуральнай. Сапраўды ==

= = .

Што і трэба было даказаць.

Заўвага. Калі дадзена натуральная параметрызацыя лініі, тады вектар – ёсць адзінкавы вектар датычнай да лініі. Гэты вектар абазначаюць , , .

§ 5. Крывізна лініі, дадзенай у натуральнай парамет-рызацыі.

1. Крывізна лініі. Няхай дадзена элементарная гладкая рэгулярная лінія і , – яе натуральная параметрызацыя, – даўжыня лініі .

Вядома, што вектар – адзінкавы вектар датычнай да лініі .

А з н а ч э н н е. Вектар называецца вектарам крывізны, а яго даўжыня называецца крывізной лініі ў адпаведным пункце і абазначаецца =

Няхай ,

абазначым . Тады , .

З а ў в а г а. Вектар перпендыкулярны вектару . Сапраўды выконваецца роўнасць . Прадыферэнцыруем гэту роўнасць:

А з н а ч э н н е. Вектар называецца вектарам галоўнай нармалі ў пункце , які адпавядае параметру .

А з н а ч э н н е. Галоўнай нармаллю да лініі у пункце называецца прамая, якая праходзіць праз пункт , а накіроўваючым вектарам гэтай прамой з’яўляецца вектар галоўнай нармалі лініі ў пункце

2. Геаметрычны сэнс крывізны лініі. Высветлім геаметрычны сэнс крывізны лініі.

А з н а ч э н н е. Няхай , – натуральная параметрызацыя элементарнай гладкай і рэгулярнай лініі , і – адзінкавыя датычныя вектары адпаведна ў пунктах і , – вугал паміж гэтымі вектарамі. Тады называецца хуткасцю вярчэння датычнай у пункце .

Т э а р э м а Няхай – элементарная гладкая рэгулярная лінія. Крывізна лініі ў пункце ёсць хуткасць вярчэння датычнай ў пункце .

Д о к а з. Няхай вугал паміж датычнымі вектарамі і да лініі ў пунктах і , . Дакажам, што =

Заўважым, паколькі лінія гладкая і рэгулярная, то=, а значыць, .

Адкладзём вектары і ад пункта (рыс. 6 )
, . Тады маем, што = = =.

Паколькі імкнецца да нуля, то таксама імкнецца да нуля, а значыць імкнецца да . Такім чынам, . Канчаткова атрымліваем =

= = 1=.

Практыкаванне. Дакажыце самастойна наступную тэарэму.

Т э а р э м а. Для таго, каб лінія была прамой, альбо яе звязнай часткай, неабходна і дастаткова, каб яе крывізна была роўнай нулю ў кожным пункце гэтай лініі

1. 
   Якая прамая называецца датычнай да лініі?
   
2. 
   Якую ўласцівасць мае датычная да лініі ў дадзеным пункце. Дакажыце гэту ўласцівасць?
   
3. 
   Якая параметрызацыя элементарнай лініі называецца натуральнай?
   
4. 
   Для якіх ліній існуе натуральная параметрызацыя?
   
5. 
   Дакажыце тэарэму аб існаванні натуральнай параметрызацыі для лініі.
   
6. 
   Што называецца крывізной лініі?
   
7. 
   Дакажыце тэарэму, што крывізна лініі ў дадзеным пункце ёсць хуткасць вярчэння датычнай у пункце .
   
8. 
   Дакажыце, што ўсе датычныя шрубавай лініі