Канспект лекцый для студэнтаў ІІІ курса матэматычнага факультэта § Уводзіны 1º. Месца дысцыпліны ў матэматыцы




Дата канвертавання20.03.2016
Памер300.04 Kb.





ДЫФЕРЭНЦЫЯЛЬНЫЯ РАЎНАННІ

Канспект лекцый для студэнтаў ІІІ курса матэматычнага факультэта

§ 1. Уводзіны

1
º. Месца дысцыпліны ў матэматыцы.


Філасофія

У сваю чаргу класічная вышэйшая матэматыка уключае розныя раздзелы вышэйшая матэматыкі. Частка з гэтых раздзелаў істотна абапіраецца на асновы вышэйшай матэматыкі:

– дыферэнцыяльныя раўнанні (ураўненні),

– тэорыя функцый сапраўднай зменнай;

– тэорыя функцый камплекснай зменнай;

– вылічальная матэматыка;

– тэорыя імавернасцей;

– матэматычная статыстыка;

– матэматычная логіка;

– тэорыя лікаў;

– функцыянальны аналіз;

– тапалогія;

– метады матэматычнай фізікі;

– дыферэнцыяльныя раўнанні ў частковых вытворных;

– інтэгральныя раўнанні;

– варыяцыйнае злічэнне;

– шэрагі Фур'е;

– абагульненыя функцыі і г.д.

Кніга Смирнова В.И. "Курс высшей математики" (в 5-ти томах) змяшчае большую частку з гэтых раздзелаў.


2º. Сістэма вывучэння дысцыплін у вышэйшых навучальных установах.
а) Адукацыйны стандарт па спецыяльнасці "Матэматыка. Інфарматыка" устанаўлівае колькасць гадзін, якія адводзяцца на вывучэнне.

б) Базавы вучэбны план фіксуе семестры вывучэння, колькасць і тып кантрольных мерапрыемстваў (залікі і экзамены).

в) Тыповая (базавая) вучэбная праграма фіксуе змест, які трэба вывучаць.

Гэтыя документы зацвярджаюцца Міністэрствам адукацыі. Только базавая вучэбная праграма зацвярджаецца ў ВНУ (калі няма тыповай праграмы).

г) На падставе тыповай (базавай) вучэбнай праграмы на кафедры распрацоўваецца рабочая вучэбная праграма па дысцыпліне, якая ўстаноўлівае паслядоўнасць вывучэння і віды прамежкавага кантролю.
3º. Асноўныя паняцці.

Азначэнне. Звычайным дыферэнцыяльным раўнаннем (ЗДР) называецца раўнанне, якое звязвае на нейкім прамежку незалежную зменную, шукаемую функцыю і яе вытворныя.
Часцей за ўсё абазначаюць: незалежную зменную x, шукаемую (невядомаую) функцыю — y(x), яе вытворныя y(x), y(x), …, y(n)(x), або , ці . Але магчымы і іншыя абазначэнні, напрыклад, незалежная зменная t, а шукаемая функцыя x(t).

Прамежак, на якім разглядаецца раўнанне, абазначым праз І. У прыватнасці,



І = [a, b] ці І = [a, +].

Самая агульная форма запісу ЗДР:



F(x, y(x), y(x), …, y(n)(x)) = 0, x І, (1)

дзе F – вядомая функцыя (n+2) зменных

Адзначым, што прамежак часта не задаецца яўна. У гэтых выпадках лічыцца, што раўнанне зададзена на тым прамежку, на якім яно мае сэнс.

Заўвага. Раўнанне для вызначэння функцыі адносяць да дыферэн­цы­яль­ных, калі ў ім удзельнічаюць дыферэнцыялы ці вытворныя шуканай функцыі. Ка­лі шуканая функцыя залежыць ад аднаго аргумента, тады дыферэнцыяльнае раў­нанне называюць звычайным дыферэнцыяльным раўненнем і абазначаюць ЗДР.

Азначэнне. Парадкам ЗДР называецца найвышэйшы парадак вытворнай невядомай функцыі, якая ўваходзіць у раўнанне.

Вызначым парадкі наступных раўнанняў:

1) y(1+2x) – y + xy = 0;

2) + 18 cos x = 0;

3) xy + 3 = (x + 2) y – 8 y;

4) x' + 12t – 16 = sin x.



Заўвагі: 1) Тэрмін "дыферэнцыяльныя раўнанні" выў прапанаваны Г.Лейбніцам у 1676 г. Першыя даследаванні ЗДР былі праведзены ў канцы 17 ст. у сувязі з вывучэннем праблем механікі і некаторых геаметрычных задач.

2) Ці існуюць незвычайныя дыферэнцыяльныя раўнанні? Звычайнае дыферэнцыяльнае раўнанне носіць такую назву таму, што выкарыстоўваюцца звычайныя вытворныя функцыі. Калі у раўнанне з вытворнымі ўваходзяць функцыі некалькіх зменных, то вытворныя называюцца частковымі і раўнанні называюцца раўнаннямі ў частковых вытворных.



Азначэнне. Рашэннем ЗДР называецца функцыя, якая на адпаведным прамежку задавальняе гэтаму раўнанню.

Між іншым гэта азначае, што для раўнання (1) на прамежку І функцыя-рашэнне y(x) павінна мець вытворныя да парадку n уключна, і для ўсіх x І значэнні функцый y(x), y(x), …, y(n)(x) павінны ўваходзіць у абсяг азначэння функцыі



w = F(u1, u2, …, un+2).

Прыклад. Паказаць, што функцыя y = cos x з'яўляецца рашэннем дыферэнцыяльнага раўнання y + y = 0 на мностве сапраўдных лікаў.

Рашэнне. cos x, y = –sin x, y = –cos x.



y + y = 0  –cos x + cos x = 0. Так.

Азначэнне. Працэс знаходжання рашэння ЗДР называецца інтэграваннем дыферэнцыяльнага раўнання.

Назва вынікае з таго, што найпрасцейшыя раўнанні тыпу y = x2 вырашаюцца непасрэдна інтэграваннем.

У сувязі з гэтым таксама рашэнне ЗДР часта называюць інтэгралам ЗДР.

Азначэнне. Графік рашэння ЗДР называецца інтэгральнай крывой.

Асноўнай задачай тэорыі дыферэнцыяльных раўнанняў з'яўляецца знаходжанне ўсіх рашэнняў дыферэнцыяльнага раўнання і вывучэнне ўласцівасцяў гэтых рашэнняў.

Вогуле метадаў інтэгравання ЗДР вельмі многа. Пералічым асноўныя з іх:

аналітычныя дакладныя метады — знаходжанне формулы для шукаемай функцыі (гэта задача тэорыі дыферэнцыяльных раўнанняў);

  аналітычныя прыблізныя метады — знаходжанне прыблізных аналітычных выразаў для рашэнняў ЗДР (калі рашэння падаць як ліміт паслядоўнасці функцый ці як суму бясконцага функцыянальнага шэрага).

лікавыя (прыблізныя) метады — вылічэнне значэнняў шукаемай функцыі (гэта задача вылічальнай матэматыкі);

графічныя (прыблізныя) метады — пабудова інтэгральных крывых і вывучэнне іх уласцівасцяў без дакладнага рашэння (якасная тэорыя дыферэнцыяльных раўнанняў);

Мы будзем разглядаць аналітычныя дакладныя метады.

Азначэнне. Калі задачу інтэгравання ЗДР удаецца звесці да вылічэння канечнага ліку інтэгралаў і вытворных ад вядомых функцый, а таксама ад алгебраічных выразаў з гэтымі функцыямі, то гавораць, што ЗДР інтэгруецца ў квадратурах.

Прыклад. ЗДР



y = x2 + y2

не інтэгруецца ў квадратурах.


4º. Літаратура.

1. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие для студентов педагогических институтов. — М.: Просвещение, 1988.

2. Петровский И.Г. Лекции по теории дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1970.

3. Еругин Н.П., Штокало М.З и др. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. — Киев: Высшая школа, 1974.

4. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. — Минск: Наука и техника, 1979 и позднее.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления (для ВТУЗов). В 2-х т. — Т. 2. — М.: Наука, 1976.

6. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М: Наука, 1980.

7. Богданов Ю.С., Мазаник С.А., Сыроид Ю.Б. Курс дифференциальных уравнений. — Минск: Университетское, 1996.

8. Самойленко А.М. и др. Дифференциальные уравнения: Примеры и задачи. — М.: Высшая школа, 1989.

9. Гаврин В.П., Кабак Г.И. Элементы теории дифференциальных уравнений: Мет. разработки. — Минск: МГПИ, 1981

10. Шалік Э.У. Дыферэнцыяльныя ўраўненні першага парадку: Мет. рэкамендацыі. — Мн.: БДПУ, 1998.

11. Пятроўская І.Г., Хурсевіч Г.Я. Дыферэнцыяльныя раўнанні: Вучэбны дапаможнік. — Мн.: БГПУ, 2001.

12. Бярозкіна Н.С., Мінюк С.А. Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні: Вуч. дапаможнік. У 2т. – Гродна: ГрГУ, 2000.


§ 2. Задачы, якія прыводзяцца да дыферэнцыяльных раўнанняў

1º. Закон натуральнага росту (естественного роста).

Задача. Знайсці залежнасць колькасці рэчыва ад часу, калі скорасць росту колькасці рэчыва прапарцыянальная наяўнай колькасці рэчыва.

Рашэнне. Абазначым колькасць рэчыва праз y, а час — праз t.

Трэба знайсці закон, гэта значыцца знайсці выгляд функцыі y(t), якая задавальняе умовам задачы.

Запішам умову задачы ў выглядзе роўнасці (пры гэтым скорасць росту — гэта вытворная y(t)):



y(t) = a y(t).

Тут a — каэфіцыент прапарцыянальнасці.

Гэта па азначэнні ЗДР.
2º. Падзенне цела на зямлю.

Задача. З некаторай вышыні на зямлю кінута цела масай m. Знайсці закон, па якому будзе змяняцца скорасць падзення цела ў залежнасці ад часу, калі на цела акрамя сілы цяжа́ру ўздзейнічае сіла супраціўлення паветра, якая прапарцыянальная скорасці.

Рашэнне. Абазначым час праз t, скорасць — праз v(t). Закон — гэта функцыя v(t).

Выкарыстаем другі закон Н'ютана ma = F, дзе a — паскарэнне, а F — вонкавая сіла. У нашым выпадку

a = v(t), F = FцяжFсупр.

Fцяж = mg, Fсупр.= kv(t), дзе k — каэфіцыент прапарцыянальнасці.

Тады


F = mgkv,

mv(t) = mgkv. | .

Атрымліваем v(t) + v = mg.

Гэта ЗДР. Раўнанне апісвае рух некаторых тыпаў парашутаў.











Заўвага. Шматлікія прыклады складання ЗДР па ўмовах прыкладных задач разабраны ў кнізе

Пономарев К.К. "Составление дифференциальных уравнений". Минск, Вышэйшая школа, 1973.



§ 3. Паняцце аб рашэннях і інтэгралах ЗДР

1º. Тыпы рашэнняў

У гэтым параграфе разглядаюцца азначэнні, якія можна назваць інтуітыўнымі, паколькі дакладныя азначэнні патрабуюць дадатковай тэорыі і будуць разгледжаны далей.

Дыферэнцыяльныя раўнанні адрозніваюцца ад многіх іншых тыпах раўнанняў колькасцю рашэнняў. Калі ЗДР мае рашэнне, то яно не адзінае і існуе бясконцае мноства іншых рашэнняў.

Напрыклад, раўнанне



y + y = 0

мае рашэнне cos x.

Але функцыі = 2cos x, = 5cos x і нават sin x — таксама рашэнні.

Таму ўводзіцца паняцце агульнага рашэння ЗДР.



Азначэнне. Агульным рашэннем ЗДР n-га парадку называецца функцыя выгляду
(х – незалежная зменная, C1, C2, ... , Cn – адвольныя канстанты), з якой пры канкрэтных значэннях адвольных канстантаў C1, C2, ... , Cn могуць быць атрыманы ўсе ці амаль усе рашэнні ЗДР.

Колькасць адвольных канстантаў у агульным рашэнні роўная парадку дыферэнцыяльнага раўнання.

Для ЗДР другога парадку агульнае рашэнне звычайна мае выгляд

y = (x, C1, C2).

Напрыклад, для раўнання



y + y = 0 (–, +)

агульнае рашэнне мае выгляд

y = C1sin x + C2cos x. (1)

Для ЗДР першага парадку агульнае рашэнне мае выгляд y = (x, C).



Азначэнне. Рашэнне ЗДР, якое атрымліваецца з агульнага рашэння пры канкрэтных значэннях адвольных канстантаў, называецца частковым.

Зараз зразумела, чаму для раўнання y + y = 0

усе функцыі cos x, = 2cos x, = 5cos x, sin x з'яўляюцца рашэннямі. Яны з'яўляюцца частковымі рашэннямі, што вынікае з формулы (1).
2º. Паняцце агульнага і частковага інтэграла

Знайсці агульнае рашэнне ў яўным выглядзе ўдаецца не заўсёды.



Азначэнне. Агульным інтэгралам ЗДР n-га парадку называецца судачыненне выгляду
якое няяўна задае агульнае рашэнне ЗДР

y = (x, C1, C2, ... , Cn).

Азначэнне. Частковым інтэгралам ЗДР n-га парадку называецца выраз для агульнага інтэграла з канкрэтнымі значэннямі адвольных канстантаў.

Напрыклад, для агульнага інтэграла



y4 + 3y sin x + С = 0

судачыненне



y4 + 3y sin x + 4 = 0

будзе частковым інтэгралам.



§ 4. ЗДР першага парадку

1º. Формы запісу

Самая агульная форма запісу ЗДР першага парадку


(1)
Частковым выпадкам раўнання (1) з'яўляецца раўнанне
(2)
Азначэнне. Раўнанне выгляду (2) называецца ЗДР, вырашаным адносна вытворнай.

Функцыя f(x, y) у правай частцы раўнання (2) з'яўляецца функцыяй дзвюх зменных і зададзена у некаторым абсягу D плоскасці XOY. Таму лічыцца,што ЗДР (2) зададзена ў абсягу D.

Калі ў наваколлі пунктаў (х,у) функцыя f(х,у) ператвараецца ў бясконцасць, то нараўне з раўнаннем (2) разглядаюць раўнанне выгляду
(2’)
Акрамя таго раўнанне (2’) мэтазгодна разглядаць, калі вырашыць яго лягчэй чым (2), у гэтым выпадку незалежнай зменнай лічаць у, а рашэннямі з’яўляюцца функцыі х(у).

Азначэнне. Раўнанне выгляду
(3)

называецца ЗДР першага парадку ў дыферэнцыяльнай форме (у дыферэнцыялах).



Лема 1. Формы запісу ЗДР (2) і (3) з'яўляюцца эквівалентнымі.

Доказ. Пераўтворым раўнанне выгляду (3).

Зараз наадварот (2)(3):

dy = f(x, y)dx,

f(x, y)dx dy = 0 (3)

дзе M(x, y) = f(x, y), N(x, y) = –1.


Азначэнне. Раўнанне выгляду

(4)
называецца ЗДР першага парадку ў сіметрычнай форме.

Самастойна паказаць эквівалентнасць формаў запісу (3) і (4).

Заўвага. Розныя формы запісу ЗДР першага парадку патрэбныя для розных метадаў інтэгравання.


2º. Рашэнні і інтэгралы

Рашэнне ЗДР першага парадку — гэта функцыя, якая задавальняе раўнанню (1).

Агульнае рашэнне ЗДР першага парадку мае выгляд

y = (x, C) (5).

Формулу (5) можна разглядаць як выраз для функцыі зменнай x з параметрам С, ці як выраз для функцыі дзвюх зменных.

Звычайна лічыцца, што адвольная канстанта С мае некаторы абсяг змянення.

Азначэнне. Рашэнне ЗДР (2), якое атрымліваецца з агульнага рашэння (5) пры канкрэтным значэнні адвольнай канстанты С, называецца рашэннем.

Азначэнне. Агульным інтэгралам ЗДР першага парадку называецца судачыненне выгляду , якое няяўна вызначае агульнае рашэнне.

Заўвага. Рашэнне ЗДР можа быць знойдзена як функцыя ў параметрычнай форме

x = (t),

y = (t) (t — параметр)

Аналагічна агульны інтэграл можна адшукваць у параметрычнай форме



x = (t, С),

y = (t, С).
3º. Геаметрычная інтэрпрэтацыя

Геаметрычна частковаму рашэнню ЗДР на каардынатнай плоскасці XOY адпавядае інтэгральная крывая, а агульнаму рашэнню — сямества крывых.

Разгледзім інтэгральныя крывыя на прыкладзе.

Метадам непасрэднага інтэгравання атрымліваем



y
= x2 + С

Агульнае рашэнне задае на плоскасці сямейства парабал (рыс. 3).

Р
ыс.3.

4º. Сувязь паміж ЗДР і агульным рашэннем.

Інтэграванне ЗДР азначае знаходжанне агульнага рашэння раўнання. Але па агульнаму рашэнню можна знайсці адпаведнае ЗДР.


Прыклад. Дадзена агульнае рашэнне

y2 x2Cy = 0.

Знойдзем адпаведнае ЗДР.

Прадыферэнцыруем агульнае рашэнне па x і пазбавімся ад адвольнай канстанты:

(6)
З агульнага рашэння выражаем C = і падстаўляем у (6):

2 yy – 2 xy(y2x2)/y = 0,

адкуль маем



y(y2x2) – 2 xy = 0.
§ 5. Метад ізаклін

1º. Поле напрамкаў ЗДР першага парадку.

Разгледзім геаметрычную інтэрпрэтацыю ЗДР першага парадку



y = f(x, y) (1)

Лічым, што правая частка f(x, y) зададзена ў нейкім абсягу D плоскасці XOY. Гэта азначае, што ў кожным пункце (x, y)  D функцыя f(x, y) вызначана і мае канкрэтнае значэнне.

З другога боку з (1) вынікае, што значэнне функцыі f(x, y) ёсць значэнне вытворнай ад рашэння у пункце x. Геаметрычна значэнне y задае вугал нахілу датычнай да графіка рашэння (да інтэгральнай крывой) адносна восі OX ці напрамак. На плоскасці напрамак можна адзначыць як невялічкую рыску ці стрэлку!!!!. У іншым пункце абсягу — свой напрамак.

Такім чынам ЗДР задае на каардынатнай плоскасці поле напрамкаў


2º. Паняцце ізакліны.

Калі поле напрамкаў пабудавана, то інтэгральная крывая — гэта крывая, якая ў кожным пункце абсягу D мае датычную з напрамкам, які супадае з напрамкам поля ў гэтым жа пункце.

Будаваць поле напрамкаў можна некалькімі спосабамі. Сучасныя камп'ютэры дазваляюць будаваць напрамкі ў пунктах любой сеткі абсяга.

У выпадку ручных пабудоў лепей выкарыстоўваць так званыя ізакліны.



Азначэнне. — гэта крывая на поле напрамкаў з наступнай уласцівасцю: ва усіх пунктах крывой поле мае адзін і той жа напрамак.

Для ЗДР y = f(x, y) фіксаванае значэнне напрамка — гэта фіксаванае значэнне вытворнай y = k. Такім чынам, ізакліну будзе задаваць роўнасць


Адсюль вынікае, што ізакліны ЗДР y = f(x, y) — гэта лініі ўзроўню функцыі f(xy).

Звычайна з дапамогай ізклін будуюць поле напрамкаў, а потым будуюць інтэгральныя крывыя.

Прыклад.

З
адаем k = – y/x. Такім чынам ізакліны маюць выгляд y = – kx.



k = 1 

k = – 1 

А
дпаведна будуюцца іншыя ізакліны і адпаведныя напрамкі поля. Потым будуюцца інтэгральныя крывыя.

А
гульнае рашэнне мае выгляд y=C/x.
§ 6. Існаванне і адзінасць рашэння дыферэнцыяльнага раўнання
1º. Паняцце краявой задачы

Мы ўжо ўпэўніліся ў тым, што любое дыферэнцыяльнае раўнанне мае бясконца многа рашэнняў, прычым апісываюцца яны часцей за ўсё агульным рашэннем або агульным інтэгралам.

На практыцы дыферэнцыяльныя раўнанні апісваюць фізічныя ці тэхналагічныя працэсы і патрабуюць вывучэння не толькі агульныя ўласцівасці ўсіх рашэнняў, а і канкрэтныя ўласцівасці асобных рашэнняў, якія задавальняюць дадатковым умовам.

Азначэнне. Дадатковыя ўмовы, якім павінна адпавядаць рашэнне дыферэнцыяльнага раўнання называюцца краявымі ўмовамі.

Азначэнне. Краявая задача для дыферэнцыяльнага раўнання — гэта сукупнасць дыферэнцыяльнага раўнання і краявых умоў на шукаемую функцыю.

Азначэнне. Калі краявыя ўмовы фіксуюць значэнне шукаемай функцыі ў адным пункце абсягу азначэння, то такія ўмовы называюць пачатковымі, ці ўмовамі Кашы.

Напрыклад, дадзена ЗДР першага парадку



y = f(x, y) (1)

і пачатковая ўмова (умова Кашы)



y(x0) = y0 (2)

Азначэнне. Краявая задача для ЗДР з умовай Кашы называецца задачай Кашы (пачатковай задачай).

Такім чынам, краявая задача выгляду

(3)

называецца задачай Кашы.



З геаметрычнага пункту гледжання задача Кашы — гэта задача знаходжання інтэгральнай крывой раўнання, якая праходзіць на плоскасці праз пункт (x0, y0).

Заўвага. Існуюць і іншыя тыпы краявых умоў і адпаведных краявых задач. Напрыклад, двухпунктавыя ці шматпунктавыя краявыя ўмовы, лінейныя і нелінейныя краявыя ўмовы і г.д.

Калі для дыферэнцыяльнага раўнання

можна знайсці агульнае рашэнне

тады знайсці рашэнне задачы Кашы даволе проста.

Дзеля гэтага значэнні x0, y0 з пачатковай умовы

y(x0) = y0

падстаўляюць у агульнае рашэнне



y0 = φ(x0, C)

і знаходзяць адпаведнае значэнне C = C0.

Рашэннем задачы Кашы будзе частковае рашэнне

y = φ(x, C0).
Прыклад 1.

Вынік: .


Калі агульнае рашэнне ЗДР знайсці нельга, то, у першую чаргу, трэба вызначыць, ці існуе рашэнне задачы Кашы і ці з'яўляецца яно адзіным.
2º. Паняцці існавання і адзінасці

Разгледзім дыферэнцыяльнае раўнанне



y = f(x, y) (1)

Лічым, што функцыя f(x, y) зададзена ў нейкім абсягу D плоскасці.



Азначэнне. Пункт (x0, y0)  D называецца пунктам рашэння ЗДР (1), калі існуе хаця б адно рашэнне задачы Кашы

(3)
Геаметрычна гэта азначае, што праз пункт (x0, y0) праходзіць хаця б адна інтэгральная крывая.
Азначэнне. Пункт (x0, y0)  D называецца пунктам рашэння ЗДР (1), калі існуе наваколле пункта x0, у якім любыя два рашэнні задачы Кашы (3) супадаюць.

Азначэнне. Пункт (x0, y0)  D называецца пунктам рашэння ЗДР (1), калі не існуе наваколля пункта x0, у якім любыя два рашэнні задачы Кашы (3) супадаюць.
Азначэнне. ЗДР (1) мае лакальную ўласцівасць існавання рашэння ў абсягу G1  D, калі кожны пункт G1 з’яўляецца пунктам існавання рашэння ЗДР (1).

Азначэнне. ЗДР (1) мае лакальную ўласцівасць адзінасці рашэння ў абсягу G2  D, калі кожны пункт G2 з’яўляецца пунктам адзінасці рашэння ЗДР (1).
Прыклад 2.
Агульнае рашэнне y = Cx.

С
ямейства інтэгральных крывых мае выгляд

Таму пункты існавання и адзінасці рашэння запаўняюць усю плоскасць, за выключэннем лініі x = 0.

Калі лічыць магчымаcць роўнасці y =  і да агульнага рашэння дадаць функцыю x = 0, то пункты існавання і адзінасці рашэння запаўняюць усю плоскасць, за выключэннем пункта (0, 0), дзе правая частка раўнання не мае сэнсу.


Прыклад 3. Разгледзім краявую задачу
Адразу можна сказаць, што функцыя y = 0 будзе рашэннем краявой задачы, але дыферэнцыяльнае раўнанне мае таксама мноства рашэнняў выгляду



і рашэннем краявой задачы будзе і функцыя y = x3.

Можна таксама пабудаваць бясконцае мноства рашэнняў задачы Кашы “склейкай” адзначаных функцый, напрыклад, рашэннем будзе функцыя


Такім чынам, мноства пунктаў існавання рашэння запаўняе ўсю плоскасць, пункты адзінасці — толькі верхнюю і ніжнюю паўплоскасці, за выключэннем восі OY.


3º. Умова Ліпшыца

Па прыкладах бачна, што ўласцівасці існавання і адзінасці рашэння ЗДР (1) звязаны з уласцівасцямі правай часткі раўнання. Прычым для забеспячэння адзінасці рашэння мала непарыўнасці правай часткі f(x, y) (прыклад 3). Гэта функцыя павінна мець дадатковыя ўласцівасці. Адна з такіх ўласцівасцяў — задавальненне ўмове Ліпшыца.



Азначэнне. Функцыя f(x, y) на абсягу D задавальняе ўмове Ліпшыца па другой зменнай, калі існуе такая канстанта LR, што выконваецца няроўнасць

Лема. Калі функцыя f(x, y) на абсягу D мае абмежаваную вытворную па другой зменнай, то яна задавальняе ўмове Ліпшыца па другой зменнай.

Доказ. Па тэарэме Лагранжа маем

дзе 0 <  < 1.

Па ўмове лемы існуе L, што

тады  (x, y1)  D,  (x, y2)  D маем


|f(x, y1) – f(x, y2)|  L |y1y2|.
§ 7. Лакальная тэарэма аб існаванні і адзінасці рашэння

ЗДР першага парадку
1º. Фармулёўка тэарэмы

Шарль Эміль Пікар — C.E.Picard — (1856–1941) французскі матэматык, член Парыжскай АН (1889), замежны чл.-кар. Пецярбургскай АН (1893), замежны член АН СССР (1924), член Французскай АН (1924).

Тэарэму даказаў у 1893 г.

Тэарэма Пікара. Няхай функцыя f(xy) непарыўная на абсягу D, задавальняе на гэтым абсягу ўмове Ліпшыца па другой зменнай і пункт (x0, y0) з’яўляецца ўнутраным пунктам абсягу D, тады задача Кашы

y = f(x, y) (1)

y(x0) = y0 (2)

мае адзінае рашэнне, якое вызаначана на нейкім прамежку

x0hxx0 + h

і цалкам належыць абсягу D.

2º. Ідэя доказу тэарэмы Пікара

Доказ складаецца з некалькіх этапаў:

1). Будуецца дапаможнае інтэгральнае раўнанне.

2). Будуецца паслядоўнасць функцый, якія называюцца набліжанымі рашэннямі, і высвятляюцца ўласцівасці набліжаных рашэнняў.

3). Знаходзіцца ліміт паслядоўнасці набліжаных рашэнняў. Пры гэтым выкарыстоўваецца прыкмета Вайерштраса раўнамернай збежнасці функцыянальных шэрагаў.

4). Паказваецца, што ліміт паслядоўнасці з’яўляецца рашэннем зыходнай задачы Кашы.

5). Паказваецца адзінасць знойдзенага рашэння.
3º. Доказ тэарэмы Пікара

1). Дыферэнцыяльнае раўнанне (1) будзем разглядаць у замкнёным абсягу V  D, V = { |xx0|  a, |yy0|  b }. Фактычна V  з'яўляецца прамавугольнікам з цэнтрам у пункце (x0, y0)



Рашэнне задачы Кашы зводзіцца да рашэння эквівалентнага інтэгральнага раўнання

(3)

Сапраўды, дыферэнцыяльнае раўнанне (1) дастаткова праінтэграваць па x на прамежку ад x0 да x (|xx0|  a)



Выкарыстоўваем краявую умову (2)
і атрымліваем інтэгральнае раўнанне (3).

З інтэгральнага раўнання (3) раўнанне (1) атрымліваецца дыферэнцаваннем па x, а краявая ўмова (2) — падстаноўкай x = x0.


2). Пабудуем паслядоўнасць функцый

y0(x), y1(x), y2(x), … (4)

вызначаных на адрэзку x0axx0 + a, па наступнаму правілу

...

...


Азначэнне. Функцыі паслядоўнасці (4) называюцца набліжанымі рашэннямі краявой задачы (1), (2).
Высветлім уласцівасці набліжаных рашэнняў.

На абсягу V функцыя f(x, y) непарыўная, таму існуе MR, што


|f(x, y)|  M.
Звузім абсяг змянення зменнай x. Будзем лічыць, што

xI = {x| |xx0|  h}, дзе

Пакажам, што  xI,  i = 1, 2, … праўдзівымі з'яўляюцца сцвярджэнні:

а) функцыі yi(x) непарыўныя;

б) yi(x0) = y0;

в) |yi(x) – y0|  b. (5)

Сапраўды:

а) функцыя y0(x)  y0 — непарыўная,

функцыя непарыўная, паколькі правая частка роўнасці ёсць сума і кампазіцыя непарыўных функцый і г.д.

б) роўнасць yi(x0) = y0; атрымліваецца падстаноўкай x = x0 у выразы для yi(x)

в) функцыя y0(x) задавальнае няроўнасці (5) аўтаматычна, далей карыстаемся метадам поўнай матэматычнай індукцыі.

Для i = 1 з формулы для y1(x) маем

Зараз лічым, што няроўнасць (5) выконваецца для i = n – 1

|yn – 1(x) – y0|  b (5)

Пакажам праўдзівасць (5) для i = n

паколькі няроўнасць (5) выконваецца, пункт (t, yn – 1(t)) пры t I належыць абсягу V, дзе функцыя f(x, y) абмежаваная. Таму


3). Пакажам, што існуе ліміт паслядоўнасці (4), прычым паслядоўнасць збягаецца раўнамерна на I = {x| |xx0|  h}.

Пабудуем функцыянальны шэраг па правілу

(6)

Відавочна роўнасць для частковых сум:



Дакажам раўнамерную збежнасць шэрагу, гэтым будзе дакзана раўнамерная збежнасць паслядоўнасці набліжаных рашэнняў (яны роўныя частковым сумам).

Ацэнім складнікі шэрагу (6). Няроўнасць для складніка [y1(x) – y0(x)] мы ўжо разглядалі:

|y1(x) – y0(x)|  M|xx0| (7)

Пераходзім да наступнага складніка і карыстаемся зыходнымі формуламі

(8)
Па той жа сістэме

Зноў па індукцыі. Лічым, што праўдзіва ацэнка

|yn –1 (x) – yn – 2(x)|  . (9)
Тады

(10)


Такім чынам, xI = { |xx0|  h} маем паслядоўнасць ацэнак
(7) 

(8) 


(9) 

(10) 
...................................................................

Тады складнікі функцыянальнага шэрагу (6) меньш за складнікі лікавага шэрагу з дадатнымі членамі

(11)


Згодна з прыкметай Даламбэра лікавы шэраг (11) збягаецца
Таму па прыкмеце Вайерштраса шэраг (6) збягаецца раўнамерна, і існуе функцыя

,

прычым функцыя Y(x) непарыўная на I (паколькі члены шэрагу непарыўныя).



Заўвагі. 1). Функцыя Y(x) задавальняе пачатковай умове (2).

Сапраўды,


2). Графік функцыі Y(x) належыць абсягу V.

Сапраўды, у няроўнасці (5) перойдзем да ліміту, калі n  
|yi(x) – y0|  b  |Y(x) – y0|  b

4). Пакажам, што функцыя Y(x) з'яўляецца рашэннем раўнання (3).

Па азначэнні маем



(12)

Лічім, што n  , тады злева ў (12)



.

Пакажам, што справа ў (12)



,

што эквівалентна

(13)
Запісваем сцвярджэнне на мове Кашы:

(*)
Лічім, што n – 1  N() і ацэнім модуль рознасці


выкарыстоўваем умову Ліпшыца

(14)


Адсюль 1 > 0 можна знайсці  = 1/Lh і з (*) знайсці N() N, што (14) будзе выконвацца`nN(), xI. Гэта па азначэнні пацвярджае праўдзівасць (13).

Такім чынам, лімітавы пераход у (12), калі n  , прыводзіць да роўнасці


, (15)

прычым функцыя Y(x) з'яўляецца непарыўна дыферэнцавальнай (па правай частцы).


5). Адзінасць. Доказ ад супраціўнага.

Лічым, што існуе два рашэнні задачы Кашы Y(x) і Z(x), якія ні ў якім наваколлі пункта x0 не супадаюць (Y(x)  Z(x)).

Бярэм адвольны 1 і наваколле (x0 – 1, x0 + 1). На адрэзку

[x0, x0 + ](x0 – 1, x0 + 1) (дзе 0<<1) з-за непарыўнасці функцый Y(x) і Z(x) існуе такі пункт x1, што


Тады


.
Атрымалі няроўнасць
(16)
Але 1 — адвольны дадатны лік, таму няроўнасць (16) выконваецца не заўсёды.

Доказ тэарэмы завершаны.

§ 8. Агульнае і частковае рашэнні ЗДР па Яругіну
1º. Асноўныя азначэнні

У § 3 мы ўвялі паняцці агульнага і частковага рашэнняў ЗДР, выкарыстоўваючы фармальны спрошчаны падыход. Зараз мы ўвядзём дакладныя азначэнні згодна з падыходам М.П. Яругіна (Николай Павлович Еругин).

Няхай у кожным пункце абсягу D раўнанне

y = f(x, y) (1)

мае адзінае рашэнне (ЗДР мае лакальную ўласцівасць адзінасці рашэння ў абсягу D).



Азначэнне. Фунцыя

(2)


якая вызначана ў некаторым абсягу зменых x, C і якая мае непарыўную частковую вытворную па x, называецца агульным рашэннем ЗДР (1), калі:

1) судачыненне (2) вырашальна адносна C пры ўсіх значэннях x, y з абсягу D, г.зн.

(3)

2) для ўсіх значэнняў x, y з абсягу D формула (3) дае такое лікавае значэнне C, уключаючы , пры якім функцыя (2) з'яўляецца рашэннем раўнання (1).


Азначэнне. Рашэнне ЗДР (1), кожны пункт якога з'яўляецца пунктам адзінасці, называецца частковым рашэннем ЗДР.
Заўвага. Калі абсяг D не супадае з усім мноствам пунктаў існавання і адзінасці рашэння ЗДР (1), тады формула агульнага рашэння ўтрымлівае не ўсе частковыя рашэнні, а толькі нейкую частку.

Іншыя часковыя рашэнні могуць уключацца ў іншыя формулы агульных рашэнняў:



y = φ1(x, C), (x, y)  D1,

y = φ2(x, C), (x, y)  D2.

2º. Асаблівыя пункты і асаблівыя рашэнні ЗДР
Азначэнне. Пункт (x, y) плоскасці называецца асаблівым пунктам ЗДР (1), калі ён не з'яўляецца пунктам існавання і (ці) адзінасці рашэння ЗДР.
Азначэнне. Асаблівы пункт ЗДР (1) называецца ізаляваным, калі ён мае наваколле, у якім няма іншых асаблівых пунктаў.
Прыклад 1.
Пункт — асаблівы, ізаляваны.
Азначэнне. Рашэнне ЗДР (1) называецца асаблівым, калі кожны яго пункт з'яўляецца пунктам неадзінасці рашэння.
Прыклад 2.

Маем , , y = (x + C)2 x  –C.

Будуем сямейства інтэгральных крывых.
А
ле функцыя — таксама рашэнне, таму ўсе яго пункты — пункты неадзінасці. y  0 — асаблівае рашэнне.

Прааналізуем правую частку раўнання .


У наваколлі лініі y  0 частковая вытворная не абмежаваная і умова Ліпшыца па другой зменнай для f(x, y) не выконваецца. Умовы тэарэмы існавання і адзінасці не выконваюцца.


Азначэнне. Крывая, якая ў кожным сваім пункце датыкаецца да крывой нейкага сямейства і не супадае ні з воднай з крывых сямества, называецца агінальнай для гэтага сямейства.
Часта графік асаблівага рашэння — гэта агінальная сямейства інтэгральных крывых (графікаў частковых рашэнняў).

Гэта добра бачна ў прыкладзе 2. Тое ж было у прыкладзе 3 з § 6.


§ 9. Выкарыстанне прынцыпу сціскальных адлюстраванняў для доказу тэарэмы Пікара
1º. Асноўныя азначэнні
Дыферэнцыяльнае раўнанне

y = f(x, y)

будзем разглядаць у замкнёным абсягу V  D, V = { |xx0|  a, |yy0|  b }.

Для непарыўнай на абсягу V функцыі f(x, y) існуе MR, што

|f(x, y)|  M.

Звузім абсяг змянення зменнай x. Будзем лічыць, што

xI = { |xx0|  h, дзе h = min{a, } }

Разглездзім мноства непарыўных функцый y(x), якія вызначаны на адрэзку

[x0h, x0 + h], прычым |y(x)– y0|  b.

Гэтае мноства будзем разглядаць як метрычную прастору Ch з метрыкай (адлегласцю)



,  y1, y2Ch.

Раней было даказана, што гэтая прастора поўная і што збежнасць у сэнсе мертыкі гэтай прасторы азначае раўнамерную збежнасць.

Нагадаем

Азначэнне. Аператар A, які кожнаму элементу y метрычнай прасторы ставіць у адпаведнасць элемент Ay той жа прасторы, называецца сціскальным, калі знойдзецца лік , 0  < 1, што (y1, y2)  (Ay1, Ay2) для любых элементаў y1, y2 прасторы.

Прынцып сціскальных адлюстраванняў. Сціскальны аператар у поўнай прасторы мае адзіны нерухомы пункт.

Г.зн. раўнанне y = Ay мае адзінае рашэнне.


2º. Доказ тэарэмы Пікара

Краявую задачу



(1)

зводзім да эквівалентнага інтэгральнага раўнання



(2)

аналагічна п. 3º § 7.

Разгледзім аператар

,

які вызначаны для кожнай функцыі y(x) з Ch.

Пакажам, што значэнні аператара A таксама з'яўляюцца функцыямі з Ch, гэта значыць, што Aу – непарыўныя функцыі, якія вызначаны на адрэзку [x0h, x0 + h], прычым |Аy(x)– y0|  b

Лічым, што y(x)  Ch, робім ацэнку


.
Такім чынам, (Ay)(x)  Ch і аператар A дзейнічае ў прасторы Ch.

Пакажам, што аператар з'яўляецца сціскальным.

Бярэм дзве функцыі y1(x), y2(x)  Ch


.
Возьмем такое малое h, каб здабытак = Lh быў меней за 1.

Тады маем

(y1, y2)  (Ay1, Ay2), 0  < 1,

аператар A з'яўляецца сціскальным і ў поўнай прасторы Ch. раўнанне y = Ay мае адзінае рашэнне.

Г.зн. краявая задача (1) мае адзінае рашэнне.

Тэарэма даказана.
§ 10. Дыферэнцыяльныя раўнанні cа зменнымі, якія падзяляюцца
1º. Раўнанні са зменнымі, якія падзелены

Разгледзім ЗДР у дыферэнцыяльнай форме



M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0,

у выпадку, калі функцыі M(x, y) і N(x, y) маюць асобны выгляд:



Азначэнне. Раўнанне выгляду

(1)


База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка