Исследование произведения . Из свойств умножения комплексных чисел следует формула Муавра




Дата канвертавання26.04.2016
Памер40.31 Kb.

Работа Торопкина Артёма, СУНЦ МГУ

2 задачи про произведения тригонометрических функций.
Часть 1.

Исследование произведения .



Из свойств умножения комплексных чисел следует формула Муавра:



Разложив её по формуле бинома, получаем формулы:



(1)

 (2)

В них правые части заканчиваются нулевой или первой степенью косинуса, в зависимости от чётности n.

Это – первый шаг почти всех доказательств в данной работе.


  1. Положим n=2m.

Тогда, при α=πk/2m , sin nα = 0. Поэтому при α=πk/2m формула (1) перепишется в виде

Теперь мы можем разделить это уравнение на sin α *cos α и положить затем x=sin2α. Получим уравнение



Оно имеет корни



.

  1. Теперь введём обозначения:

K - коэффициент главного члена этого уравнения (при xm-1),

А - коэффициент его свободного члена

П – искомое произведение.
Коэффициент .
Найдём K. Это у нас – коэффициент при степени xm-1, поэтому надо раскрыть все скобки в многочлене из уравнения (**):

Внеся минусы под скобки и взяв отдельно сумму произведений биномиальных коэффициентов на xm-1, получим



Чтобы найти эту сумму, можно воспользоваться разложением в бином Ньютона скобок (1+1)2m и (-1+1)2m.



Поэтому K=(-1)m-122m-1.


С другой стороны, если уравнение записать в виде K(x-x0)(x-x1)…(x-xm-1), то его свободный член будет равен A= Kx0x1…xm-1(-1)m-1.

Так как , то (-1)m-1*K*П2=А.





Часть 2. Доказательство тем же способом формулы:



Докажем формулу (*) сначала для n=2m.

1. Вновь запишем формулу (1):

2. При α=πk/2m , sin nα = 0. Поэтому при α=πk/2m



Разделив это равенство на sin α * cos α, а затем положив x=sin2 α, имеем уравнение:

Т.к. α=πk/2m, то это уравнение имеет корни:

3. При α≠πk/2m, разделив на sin α * cos α, получим




Или, заменив x=sin2α,

В правой части этого равенства мы видим многочлен с корнями . Поэтому он представим в виде

K(x-x0)(x-x1)…(x-xm-1), где xi – корни уравнения (**).
3.1) Найдём K. Это у нас – коэффициент при степени xm-1, поэтому надо раскрыть все скобки в многочлене из уравнения (**):

Внеся минусы под скобки и взяв отдельно сумму произведений биномиальных коэффициентов на xm-1, получим



Чтобы найти эту сумму, можно воспользоваться разложением в бином Ньютона скобок (1+1)2m и (-1+1)2m.



Поэтому K=(-1)m-122m-1.

3.2) Т.к. x = sin2α, xi = sin2πi/2m, то

4. Теперь будем упрощать это выражение, представив его в виде произведения.





(***)

Выразим теперь выражение через выражение



Поэтому X=Y/cos α.

5. Подставляя X в (***), получаем

Отсюда следует



, или, учитывая n=2m,

Теперь рассмотрим n=2m+1.



  1. В этом случае формула для sin nα запишется в виде

(всего m+1 слагаемых).

  1. Разделив это выражение на sin α, мы получим

Сделав замену sin2 α = x, мы получим некоторый многочлен степени m от x



(**)

с корнями



.

  1. В правой части этого равенства мы видим многочлен с корнями . Поэтому он представим в виде

K(x-x0)(x-x1)…(x-xm), где xi – корни уравнения (**).

    1. Найдём K. Это у нас – коэффициент при степени xm, поэтому надо раскрыть все скобки в многочлене из уравнения (**):

Внеся минусы под скобки, и взяв отдельно сумму произведений биномиальных коэффициентов на xm, получим



Вновь воспользуемся формулой бинома:



Поэтому K=(-1)m22m.



    1. Т.к. x = sin2α, xi = sin2πi/(2m+1), то

Теперь будем упрощать это выражение, представив его в виде произведения.







  1. Выразим теперь выражение через выражение

Поэтому X=Y и мы можем записать:





Учитывая, что n=2m+1, имеем:

Полученные результаты легко обобщаются данным методом на произведения тригонометрических функций вида



Существует также более лёгкий метод вычисления таких произведений, основанный на формулах Муавра и Эйлера

(e = cos φ + i sin φ) и на рассмотрении соответствующих комплексных многочленов. Он в данной работе не рассматривается.
Использованная литература:

А.М. Яглом, И.М. Яглом: «Неэлементарные задачи в элементарном изложении».



Л.П. Шибасов: «От единицы до бесконечности».

Курляндчик Л., Лисицкий А.: «Суммы и произведения» // Квант. - №10. - 1978.


База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка