Функции частичного достижения цели




Дата канвертавання26.04.2016
Памер130.03 Kb.

УДК 681.3: 519.68



ФУНКЦИИ ЧАСТИЧНОГО ДОСТИЖЕНИЯ ЦЕЛИ

С.В. Микони, Д.П. Бураков1

Понятие частичной истины из теории нечеткой логики распространяется на функции полезности. Предлагается проектировать их на основе значения признака, выбранного ЛПР в качестве целевого. Рассматриваются две базисных функции полезности, описывающих частичное достижение цели – логистическая и колоколообразная. Создание функций полезности по точкам, указанным ЛПР, заменяется выбором типовой функции с последующей её параметризацией.

Введение

Понятие частичной истины, сформулированное Л. Заде, отражает тот факт, что абсолютных истин не так уж много, а для того, чтобы к ним приблизиться, нужны значительные усилия. Именно по этой причине нечёткая логика оказалось столь востребованной на практике. В условиях недостатка информации и нехватки времени функция принадлежности, и нечёткий вывод нашли применение не только при проектировании различного рода человеко-машинных экспертных и управляющих систем, но и при решении задач с применением нейронных сетей. Очевидно, что идеи нечёткой логики применимы и в области принятия решений, характеризуемой размытостью целей. Настоящая работа посвящена формализации размытых целей с применением аппарата функций полезности.



1. Постановка задачи

По аналогии с нечёткой логикой, оперирующей с частичной истиной, ведём понятие частичного достижения цели. Будем рассматривать только числовые показатели (признаки, свойства) объектов yj, доменом которых Dom(yj), то есть множеством всех возможных значений, является подмножество множества вещественных чисел R. Под шкалой показателя S(yj) будем понимать некоторый отрезок [ajbj]  Dom(yj), достаточный для включения в себя всех его значений для оцениваемых объектов, где aj и bj – соответственно нижняя и верхняя границы шкалы. Заданное на шкале число cj, aj  cj  bj, будем называть частной целью, определенной ЛПР для j-го показателя.

Так же, как и абсолютная истина, общая цель c = (c1,…,cj,…, cn), определенная в пространстве всех n признаков, как правило, не достижима. Поэтому дополнительно к каждой частной цели cj ЛПР следует задавать отрезок [djej]  Dom(yj), в котором цель cj считается частично достижимой для j-го показателя. Здесь dj и ej – соответственно нижняя cj,н и верхняя cj,в границы достижимости цели cj: dj cj,н, ej = cj,в.

Меру достижения частной цели cj на шкале S(yj) будем измерять при помощи числовой функции полезности uj(x). При этом отрезок [ajbj] будет её областью определения (x  S), а отрезок [djej] – носителем. Под носителем понимается такое множество H  Dom(yj), что x  H, |u(x)| > 0.

Множество Dom(yj) является универсумом по отношению к S(yj) = [ajbj] и [djej]. Но множество S(yj) не обязательно является универсумом по отношению к отрезку [djej], так как условие [djej]  [ajbj] в общем случае не выполняется. Для того, чтобы цель и хотя бы одна точка из области частичного достижения цели принадлежала шкале показателя, необходимо выполнять условия: [djej]  [ajbj]   и cj  [djej]  [ajbj].

Поскольку возможны не только различные варианты включения отрезка [djej] в [ajbj], но и нарушение условия строгого включения [djej]  [ajbj], то значения функции полезности uj(x) зависят не только от области её определения, но и от взаимного расположения этих отрезков. В работе [Микони, 2013] были обоснованы формы ряда функций полезности с учётом степени определённости цели ЛПР и его склонности и/или несклонности к риску. В настоящей работе эти функции конкретизируются применительно к диапазонам расплывчатости цели. В дальнейшем в работе рассматривается только один показатель y, поэтому индекс j будем опускать.



2. Монотонные функции полезности

Монотонная функция отражает рост или уменьшение полезности на шкале показателя y по мере увеличения значений от а до b. Рассмотрим различные соотношения диапазонов [de] и [ab], влияющие на значения функции полезности u, монотонно возрастающей на [ab].



    1. Равенство диапазонов

Равенство [de] = [ab] означает, что функция полезности u(x) > 0 для всех x  (a, b]. В простейшем случае положим, что цель c находится на середине шкалы, т.е. c = (a + b)/2, и что отклонения от цели c в обе стороны равны: –c = +c = (a + b)/2.

В том случае, когда величина изменения интенсивности предпочтения на градациях шкалы неизвестна, её полагают постоянной величиной. Ей соответствует кусочно-линейная функция полезности с разрывом в точке c. В этой точке ЛПР задаёт uc – значение функции полезности u(c). Выполнение условия c отвечает частному случаю предиката  c. Возможны 2 варианта назначения величины uc.

Если ЛПР не интересует величина – c превышения x над c, соответствующая значению «истина» предиката c, то он назначает u(c) = 1, т.е. стопроцентную полезность в интервале [cb]. Если же в интервале [cb] предполагается постоянный рост полезности, то назначается uc < 1. Если по умолчанию принять пятидесятипроцентную полезность, то uc = 0,5. В этом случае точки u(c) и u(b) соединяются восходящей прямой (рис.1, а).



а б

Рис.1. Монотонная функция полезности при [de] = [ab].

Функция полезности в интервале [ac] для рассматриваемого случая P(xc) = false также может быть построена двумя путями: нисходящей прямой, соединяющей точки u(c) = 0,5 и u(a) = 0 и горизонтальной прямой, соединяющей точки u(– ) = 0 и u(a) = 0, где  – пренебрежимо малая величина. Первый случай отражает уменьшение полезности, пропорциональное отклонению от цели и сводится к построению общей прямой линии, соединяющей точки u(a) = 0 и u(b) = 1 и проходящей через точку u(c) = 0,5. Второй вариант отражает нулевую полезность в интервале [ac – ].

В том случае, когда невыполнению условия  c ставится в соответствие отрицательная полезность (убытки) в интервале [a– ], точке –  присваивается, например, нулевая полезность u(c – ) = 0, а точке aстопроцентные потери u(a) = –1. Эти точки также соединяются прямой линией.

В общем случае интенсивность предпочтения на градациях шкалы признака является переменной величиной, и может описываться некоторой монотонной кривой, проходящей через точку uc. Кривизна и степень выпуклости этой кривой определяет склонность ЛПР к риску (см. рис.1, б).

В [Микони, 2013] предлагается склонность ЛПР к риску при невыполнении условия  c и его несклонность к риску после выполнении условия представлять логистической функцией. На рис. 2 показан пример представления возрастающей логистической функцией роста полезности значений показателя со шкалой [0, 10] относительно целевого значения = 5 с равными отклонениями от цели в обе стороны:

–c = +c = (a + b)/2.

Рис.2. Возрастающая логистическая функция полезности при [de] = [ab].

Следует обратить внимание, что только указания целевой точки и ширины диапазона в данном случае недостаточно, поскольку в этом случае условиям удовлетворяет целое параметрическое семейство логистических кривых, что и проиллюстрировано на рисунке.

2.2. Неравенство диапазонов

2.2.1. Пусть соблюдается условие [de]  [ab] и (e  d) < (b  a).

Предположим, что (e – d) = 2c. Это отражает симметричность функции полезности относительно цели c. В этом случае возрастающая монотонная функция полезности достигает граничного значения 1. Пример представления в этом случае роста полезности значений показателя со шкалой [0, 10] относительно целевого значения c = 8,75 с равными отклонениями от цели в обе стороны: –c = c = 1,25, некоторой возрастающей логистической функцией показан на рис.3.



Рис.3. Логистическая функция полезности при [d, e]  [ab].

В том случае, если –c  c, область определения функции полезности делится на две неравные по величине части: [c – cc – ] и [cc + c]. На этих областях определения строится составная монотонная функция полезности.

2.2.2. Условие [de]  [ab] не соблюдается.

Пусть правая граница e носителя u(x) выходит за пределы шкалы показателя: e b. Очевидно, что логистическая функция, построенная относительно цели c с симметричными отклонениями –c = c, не достигнет своего максимального значения 1. ЛПР должен либо согласиться с такой ситуацией, либо построить составную функцию полезности на неравных носителях [dc – ] и [cb]: (c  d) > (b  c), предусмотрев достижение единицы правой функцией. В предельном случае при совпадении цели с границей шкалы (c b) логистическая функция сводится к функции, выпуклой вниз, которая характеризует склонность ЛПР к риску слева от цели c. Пример такого случая для показателя со шкалой [0, 10], целью = 10 с равными отклонениями –c = c = 2 представлен на рис.4.

Рис.4. Логистическая функция полезности для случая e b

Носитель логистической функции, построенной в этом примере, выходит за пределы шкалы показателя. На рис.4 этот участок оси помечен штриховкой. В силу этого максимальная полезность u(x) не достигает 1 внутри шкалы и в целевой точке c равна: u(c) = 0,5. Для получения максимального значения 1 и сохранения склонности ЛПР к риску, логистическая функция на [db] должна быть заменена любой монотонной функцией, выпуклой вниз.

3. Немонотонные функции полезности

Немонотонные функции строятся относительно ограничительных критериев соответствия x c и x  [cнcв]. Им соответствуют точечная и интервальная цели. По обе стороны от целевого значения c или границ интервала [cнcв] функция должна отражать уменьшение полезности. Рассмотрим различные соотношения отрезков [de] и [ab], влияющие на значения немонотонной функции полезности.



    1. Равенство диапазонов

В простейшем случае [de] = [ab], т.е. носитель функции полезности совпадает со шкалой показателя. Цели c посредине шкалы и отклонениям –c = +c = (a + b)/2 соответствует нисходящая к границам шкалы функция полезности, симметричная относительно цели c.

В том случае, когда величина изменения интенсивности предпочтения на градациях шкалы неизвестна, её полагают постоянной величиной. Ей соответствует кусочно-линейная функция полезности со значением u(c) = 1 в точке c и значениями u(a) = u(b) = 0 на границах шкалы.

В общем случае интенсивность предпочтения на градациях шкалы признака является переменной величиной. Убывание полезности при отклонении от точечной цели c отражает несклонность ЛПР к риску до точки с максимальным значением производной функции полезности и склонность к риску на остальном отрезке отклонения от цели. Эти закономерности описываются функциями колоколообразного вида [Микони, 2013].


    1. Неравенство диапазонов

3.2.1. Соблюдается условие [de]  [ab] и ( d) < ( a).

При равенстве отклонений от цели на носителе [de] функция полезности симметрична и все её значения определены на шкале [ab]. График такой функции аналогичен графику, изображённому на рис. 2, и показан на рис. 5.



Рис.5. Колоколообразная функция полезности для случая [de]  [ab].

3.2.2. Условие [de]  [ab] не соблюдается

Пусть правая граница e носителя функции полезности выходит за пределы шкалы показателя: b. Очевидно, что часть колоколообразной функции на отрезке [be] выйдет за пределы шкалы [ab]. Здесь также, как и в случае логистической функции, ЛПР должен либо согласиться с такой ситуацией, либо построить составную функцию полезности на неравных носителях [d– ] и [cb]: ( d) > ( c). В предельном случае при совпадении цели с правой границей шкалы (b) колоколообразная функция сводится к логистической функции, как показано на рис 5. для признака со шкалой [0, 10], целевым значением = 9,5 и равными отклонениями в обе стороны –c = c = 2.



Рис.5. Колоколообразная функция полезности показателя x для случая e>b

Носитель функции полезности, построенной для этого примера, выходит за пределы шкалы показателя. На рис.5 этот участок помечен штриховкой. В силу этого полезность u(x) не снижается до нуля в конце шкалы [0, 10]. Если требуется снизить полезность u(x) до нуля на делении 10, колоколообразная функция заменяется составной функцией, состоящей из двух монотонных функций, определённых на носителях [7,5; 9,5] и [9,5; 10].


  1. Параметризация типовых функций полезности

В качестве базиса типовых функций полезности будем рассматривать логистическую и колоколообразную функции и их фрагменты – функции, выпуклые вниз и вверх. После определения соотношения носителей этих функций с универсумом значений на шкале показателя возникает задача параметризации с целью приближения значений функции к требованиям ЛПР. Рассмотрим параметры этих функций, подлежащие изменениям.

4.1. Функции, выпуклые вниз и вверх

Они характеризуют склонность/несклонность ЛПР к риску на всём интервале шкалы [ab]. Возрастающая функция полезности с единичной полезностью в конце шкалы и нулевой полезностью в начале шкалы (u(a) = 0; u(b) = 1) описывается формулой:

(1)

Изменению подлежит параметр k. Его знак определяет направление выпуклости функции, а величина – интенсивность возрастания/убывания полезности на делениях шкалы показателя. Значению k = 1 соответствует линейная возрастающая функция полезности, значениям k > 1 – семейство функций, выпуклых вниз, а k < 1 – семейство функций, выпуклых вверх. В случае если ЛПР точно может указать такую точку с  [ab], в которой выполняется равенство u(c) = uc, или если это значение установлено с помощью процедуры, рассмотренной в [Микони и др. 2011, 2] или аналогичной ей, то значение k может быть вычислено по формуле



.

4.2. Логистическая функция полезности

Логистическая возрастающая функция описывается формулой:

(2)

В ней с – координата цели на оси абсцисс, а  – множитель, отражающий интенсивность возрастания полезности. Для обеспечения возможности превышения целевого значения в точке с принимается u(с) = 0,5.

Следует отметить, что асимптотические функции (как монотонные, так и немонотонные) не достигают нуля и единицы в пределах заданной области определения. Поэтому подбирается такое значение , чтобы на границах интервала [c – cc + c] отклонение значения функции от граничных значений 0 и 1 соответствовало заданной величине u  (0, 1). При выражении  через эти параметры формула (2) преобразуется к виду:

(3)

Параметры c и u задаёт ЛПР, тем самым, управляя ее крутизной.



    1. Колоколообразная функция полезности

Колоколообразная функция описывается формулой:

(4)

Переменные с и  имеют тот же смысл, что и в формуле (3), а показатель степени k в симметричной функции должен быть чётным. По умолчанию принимается k = 2. Кроме того, u(c) = M, т.е. M  (0, 1) определяет высоту пика функции (значение uc).

При выражении  через параметры c, u и при стандартных условиях (k = 2, M = 1), формула (4) преобразуется к виду:

(5)

Заключение

Существующие методы создания функций полезности основаны на аппроксимации конечного множества предпочтений ЛПР [Нейман и др. 1970, Кини и др. 1970, Микони и др. 2011, 1]. Иными словами, функция полезности строится на шкале показателя по точкам. В настоящей работе предлагается рассматривать функцию полезности как функцию, характеризующую частичное достижение цели. ЛПР задаёт носитель нечёткой функции цели на шкале показателя и целевое значение функции (точечное или интервальное). Относительно целевого значения определяется склонность или несклонность ЛПР к риску. Такой подход позволяет перейти от трудоёмкого создания функции полезности по точкам к параметризации обоснованной типовой функции.



У предлагаемого подхода есть ещё одна важная особенность. Устанавливается одинаковая природа нечёткости функций принадлежности классам и функции полезности, отражающая частичную принадлежность классам и частичное достижение цели. Формальное различие проявляется лишь в соотношении носителей этих функций. Принимая носитель функции полезности за объединение носителей функций принадлежности упорядоченным классам на шкале показателя, возникает возможность преобразования функций принадлежности в функцию полезности [Микони и др. 2011, 2].

Список литературы

[Микони, 2013] Микони С.В. Типовые функции полезности в многопризнаковом оценивании альтернатив // Сборник научных трудов международной научной конференции JSDMCJ’2013, –Херсон: ХНТУ, 2013, стр. 366-371.

[Нейман и др. 1970] Нейман Д., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. –М.: Наука, 1970.

[Кини и др. 1970] Кини Р.Л., Райфа Х. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. – М.: Радио и связь, 1981. – 559 с.

[Микони и др. 2011, 1] Микони С.В., Бураков Д.П. Итеративное проектирование функций полезности // Сборник научных трудов международной научной конференции JSDMCJ’2011, –Херсон: ХНТУ, 2011, том 1, стр. 188-192.

[Микони и др. 2011, 2] Микони С.В., Гарина М.И. Условие одинакового упорядочения объектов по функциям полезности и принадлежности // Труды Конгресса JS&JT’11, Дивноморское, 3-10.09. 2011, –М: Физматлит, 2011, Том 1, с.33-37.

 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00912)

1 190031, СПб., Московский пр.9, ПГУПС, svm@sm4265.spb.edu


База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка