Далучыць да творчасці

Досыць часта гурткі ў малодшых-сярэдніх класах зводзяцца да сякіх-такіх матэматыч­ных забавак ці дапрацоўкі недаробленага на ўроках, а факультатыўныя заняткі ў старэйшых класах – да рэпетытарскага трэнажу, скіраванага на падрыхтоўку да конкурсных іспытаў у ВНУ, да цэнтралізаванага тэставання, бо па гэтым пераважна і ацэньваюць працу настаўніка (сёння, праўда, ацэньваюць больш па тым, колькі вучняў уцягнуў у БРСМ).

У пошуках дадатковага заробку некаторыя настаўнікі пагаджаюцца на ўключэнне ў іх працоўны план матэматычных гурткоў, але наведваць ці не наведваць гурток – справа для вучня добраахвотная. Можа атрымацца так, што гурток запланаваны, але жаданцаў не знахо­дзіцца ці знаходзіцца недастаткова. І настаўнік пачынае ўжываць прымусовыя меры ці (у лепшым выпадку) вымушаны адмовіцца ад кіравання гуртком.

Праблема такая не раз паўставала і перад аўтарам гэтага роздуму. Праз памылкі і ўда­чы, праз расчараванні і знаходкі нарадзіўся сякі-такі досвед, якім хочацца падзяліцца з кале­гамі.

Пачну з аднаго рэальнага эпізоду.

Маленькая васьмігодка пад Мінскам. Урок геаметрыі ў 8 класе. Тэма: плошча чаты­рохвугольніка. Даказваю самую ўніверсальную формулу: плошча чатырохвугольніка ёсць паўздабытак яго дыяганаляў на сінус вугла паміж імі. Доказ нескладаны і ўспрымаецца без цяжкасцяў, бо і клас не з слабых, і адпаведная формула для трохвугольніка ўжо засвоена і замацавана на задачах.

S = SABO + SBCO + SCDO + SADO = = 0,5AOBO sin+ 0,5BOCO sin (180o –) + + 0,5 CODO sin + 0,5AODO sin (180o –) = = 0,5 sin(AOBO + BOCO + CODO + AODO) = 0,5(AO + CO)(BO + DO) sin Гэта запісы на дошцы. Астатняе ў вусных каментарах.

Заканчваю і задаю традыцыйнае пытанне:

– Ці ёсць пытанні?

Пытанняў няма, што і чакалася. Разважанне празрыстае і ўспрымальнае.

Яшчэ адно традыцыйнае:

– Якія заўвагі, прапановы? – Тусклым голасам, які толькі падкрэслівае, што ніякіх заўваг-прапаноў не чакаю. Хаця тут ужо хацелася б. Народ купляецца на мой тусклы голас і моўчкі чакае, чым я буду працягваць. Тут я ўжо насычаю голас сарказмам:

– Што ж вы маўчыце? Доказ не закончаны!

Насцярожваюцца, шукаюць. Я ўпэўнены, што не знойдуць, таму не зацягваю паўзу:

– Мы разгледзелі выпадак з выпуклым чатырохвугольнікам. Але ці будзе тое ж у чатырохвугольніка нявыпуклага?

Рысую новы чарцёж і паўтараю разважанне.

S = SABO – SBCO + SАDO – SСDO = = 0,5AOBO sin– 0,5BOCO sin + + 0,5 АODO sin(180o –) – 0,5СODO sin (180o –) = = 0,5 sin(AOBO – BOCO + АODO – СODO) = = 0,5(AO – CO)(BO + DO) sin

Зноў: – Якія пытанні? Якія заўвагі, прапановы?

Тут ужо нічога не чакаю і адразу збіраюся пераходзіць да наступнага пункта плана. Але погляд натыкаецца на чыюсьці паднятую руку. Гэта Лена Шаблоўская. Лена – перамож­ца раённай матэматычнай алімпіяды і ў матэматыцы нешта кеміць. Але тут нават ёй не хо­чацца верыць, бо ніякіх варыянтаў у гэтым разважанні не бачу. Можа, паддалася на мой сарказм і вырашыла хоць неяк абараніць гонар лепшай часткі класа, прапанаваўшы сякое-такое неістотнае спрашчэнне ў запісах. Час на гэта губляць не хочацца, яго, як заўсёды, не хапае, трэба выканаць запланаванае. Неахвотна прапаную ёй выказаць сваю думку.

Лена выходзіць да дошкі (“Як жа марудна яна выходзіць!”) і павольна (“Божа, як марудна!”) дамалёўвае на малюнку некалькі ліній і літар. Далей пачынае тлумачыць:

– Выканаем паралельны перанос дыяганалі ВD уздоўж другой дыяганалі так, каб гэтыя ад­рэзкі перасекліся. Тады нявыпуклы чатырохву­гольнік АВСD пераўтворыцца ў выпуклы чаты­рохвугольнік AB1CD1. Але пры гэтым не зме­няцца ні вугал паміж дыяганалямі, ні даўжыні дыяганаляў, ні плошчы трохвугольнікаў АВС і АDС, з якіх складаецца чатырохвугольнік, таму не зменіцца і плошча чатырохвугольніка. Тым самым, даказаная формула дзейнічае і ў гэтым выпадку.

Вось як! Варыянт Лены несумненна лепшы за той, які я паказаў. З аднаго боку хо­чацца адзначыць гэта, падзякаваць дзяўчыне за цікавую знаходку, з іншага боку хочацца ўтрымаць і гонар свайго мундзіра. Я пачынаю шукаць нейкія зачэпкі да Ленінага разважання (раю не кідацца тут на настаўніка з папрокамі, успомнім Лао Цзы: “Калі ў цябе нарадзілася думка, выпрабуй яе высмейваннем”):

– “… каб адрэзкі перасекліся”? Але ж пункт перасячэння можа аказацца ўнутраным пунктам адрэзка, а можа канцавым. Як быць у другім выпадку?

– Тады чатырохвугольнік ператворыцца у трохвугольнік АВ₁D₁ з той жа плошчай. Але ж можна так падабраць вектар перамяшчэння, каб …

Я разумею, што Лена хоча выключыць памежныя выпадкі і спыняю яе. Мне як раз гэ­тыя выпадкі падаюцца найбольш цікавымі.

– Як будзе вылічвацца плошча атрыманага такім чынам трохвугольніка?

– Палавіна здабытку В₁D₁ на АС і на сінус вугла φ.

Я паварочваюся да класа і, надаючы свайму голасу ўрачыстасці, гавару:

– Аказваецца, плошчу трохвугольніка можна вылічваць паўздабыткам яго стараны на любы адрэзак, праведзены да гэтай стараны з супрацьлеглай вяршыні, і на сінус вугла паміж імі. Лена вынайшла формулу, якой няма ні ў адным падручніку матэматыкі. Гэтая формула дарэчы ўтрымлівае ў сабе дзве ўжо вядомыя вам формулы. Бо калі праведзены адрэзак супа­дае з стараной, то атрымаем паўздабытак дзвюх старон на сінус вугла паміж імі. А калі той адрэзак супадае з вышынёй, то атрымаем паўздабытак стараны на вышыню, да яе праведзе­ную, бо сінус прамога вугла роўны адзінцы.

Клас заціх, асэнсоўваючы атрыманую інфармацыю. Адны з павагай глядзяць на Лену, другія з няменшай павагай на формулу. І ў гэтай цішыні аднекуль з задняй парты гучыць:

– А што нам за гэта дадуць?

Аглушальны смех суправаджаецца званком з урока.
Тэкст з расповядам пра гэты ўрок я некалі накіраваў у маскоўскі часопіс “Матема­тика в школе”, на той час адзіны ў СССР часопіс, прысвечаны выкладанню матэматыкі. Там адмовіліся яго надрукаваць, неяк дзіўна патлумачыўшы тую адмову: маўляў, формула, вынайдзеная Ленай, не мае ніякага практычнага значэння. На жаль, у рэдакцыі працавалі людзі, якія нічога ў тым тэксце не зразумелі, бо размова там ішла зусім не пра формулу, якая сапраўды практычнага значэння не мае. Размова ішла аб тым, як зрабіць, каб Лена і яе аднакласнікі заахвоціліся пошукам новага, пошукам маленькіх адкрыццяў, якія хай сабе не маюць ні практычнага, ні тэарэтычнага значэнняў. Бо як жа інакш яны навучацца рабіць адкрыцці, якія ўжо маюць значэнне? А праблема навучыць гэтаму мае вялікае педагагічнае (чытай: чалавечае) значэнне.
Пасля таго ўрока ў класе быў нейкі перыяд крыху павышанай зацікаўленасці матэма­тыкай, які я, на той час недастаткова дасведчаны настаўнік, не здолеў скарыстаць. Дый тую шко­лу хутка пакінуў.

Але ўражанне ўрок пакінуў (дзякуй Лене) і, працуючы з іншымі класамі, я імкнуўся не прапускаць сітуацый, калі вучань нечакана вынаходзіць нешта новае, хай сабе гэтае новае будзе вельмі малюсенькім.

– А як параўноўваюцца дробы з рознымі назоўнікамі, я вам сёння не скажу, – інтры­гую я на будучыню. Але бачу ўзнятую руку.

– Што, Саша?

– А я ўмею параўноўваць дробы з рознымі назоўнікамі.

Можа, зазірнуў у падручнік наперад?

– Ну ідзі пакажы.

Ён выбягае да дошкі. У тым узросце яны ўсе жвавыя, але гэты асабліва. Выседзець пяць хвілін на ўроку спакойна – для яго пэўны вычын. Вось і тут: не выходзіць, выбягае, нават з падскокамі.

– Напрыклад, трэба параўнаць дробы 2/5 і 3/4. Вылічым значэнне гэтых дробаў ад ад­наго і таго ж ліку, напрыклад, ад 20.

Піша: 20:5∙2 = 8, 20:4∙3 = 15.

– 8 менш за 15, таму і 2/5 менш за 3/4.

– А як знайсці той лік, ад яго трэба вылічваць значэнне дробу? – цікаўлюся я.

– Трэба падабраць такі лік, які дзеліцца на абодва назоўнікі.

Вось як! Ён яшчэ не ведае, што той лік будзе называцца агульным назоўнікам, а лікі 8 і 15 стануць лічнікамі новых дробаў. Але патрэбная працэдура нейкім чынам ужо склалася ў яго галаве.

Я паведамляю класу, што варыянт Сакалова цалкам прыймальны, што так можна параўноўваць любыя дробы з рознымі назоўнікамі. Бачу, што ім ужо хочацца праверыць і засвоіць ідэю свайго сябра, і прапаную некалькі няпланавых заданняў на параўнанне дробаў з рознымі назоўнікамі, якія ўсе зацікаўлена выконваюць. (Надалей, нават пасля таго, як я паказаў ім праграмны “афіцыйны” спосаб параўнання дробаў, “зяблікі” часцей карысталіся спосабам Сакалова; праўда, паступова ўсе перайшлі на праграмны, які ў сваіх разважаннях скарыстоўваў настаўнік.)

Дома асэнсоўваю нечаканасць урока і разумею, што сітуацыю трэба скарыстаць. На­заўтра прынёс у клас прыгожа аформлены альбом з назвай “Кніга патэнтаў”. На першай старонцы прыгожа аформлены запіс:

Аўтару адкрыцця выдаю прыгожа аформленую паштоўку з адпаведным тэкстам.

Кніга патэнтаў робіць ўражанне на вучняў. Цяпер усім хочацца патрапіць у гэтую кнігу і яны слухаюць мяне зусім інакш. Галовы працуюць над праблемай, што можна дадаць да таго, аб чым гаворыць настаўнік, як патрапіць у кнігу патэнтаў. Досвед падобнай дзейна­сці нулявы, таму “знаходкі” нікчэмныя ці нават памылковыя. У кнізе патэнтаў з’явілася ня­шмат запісаў, але ажыятаж у памкненні атрымаць аўтарскае пасведчанне быў досыць вялі­кім. Цікава было назіраць за гэтай з’явай.

Напрыклад, развязваем задачу “Маса індыка у 5 разоў большая за масу пеўня, а маса пеўня на 8 кг меншая за масу індыка. Якая маса кожнай птушкі?” Абазначаем масу пеўня х кг, складаем і развязваем раўнанне 5х – х = 8. Назаўтра нехта прапануе абазваць масу індыка у кг (літара другая – ім і гэта задецца істотным) і складае раўнанне у – у:5 = 8.

– Ну і як жа ты будзеш развязваць гэтае раўнанне? – цікаўлюся. Калі б развязаў, то я палічыў бы вынік дастаковым кнігі патэнтаў. Усяго і трэба было здагадацца перапісаць раў­нанне у – 0,2 у = 8. Але чалавек чэша патыліцу і не ведае, як адказаць на маё пытанне. Выказ­ваю спачуванне і паказваю, чаго не хапіла. На другі дзень нехта нясе аналагічны развязак іншай задачы.

– Добра. – Заахвочваю я. – Але сёння гэта ўжо не новае.

Урокі пачынаў выслухоўваннем новых ідэй. Але калі-нікалі гэта зацягвалася і не пас­пяваў выканаць запланаванае. Пачаў пакідаць на гэта па пяць хвілін у канцы ўрока.

– А я ведаю, што катэт насупраць вугла ў трыццаць градусаў роўны палове гіпатэну­зы.

(Канешне ж, узяў у старэйшага брата падручнік геаметрыі і вычытаў.)

– Мы табе павінны так паверыць ці ты гатовы даказаць гэта?

Даказаць ён не гатовы.

Калі ж ідэя была цікавай і я задумваўся аб тым, ці вартая ідэя кнігі патэнтаў, як ні дзіўна, у класе знаходзіліся крытыкі. Што тут спрацоўвала – зайздрасць да поспеху адна­класніка ці што іншае? Я палічыў, што крытычнасць тут карысная справа і заахвочваў такія захады. Аўтар ідэі павінны быць здольным абараняць яе. Здаралася, што мне самому даводзі­лася абараняць ідэю.

Напрыклад, аднойчы паказаў, як будаваць пункт, сіметрычны дадзенаму пункту ад­носна дадзенай прамой: на перпендыкуляры адкладваем роўны адрэзак з другога боку ад прамой. Узняў руку Дзіма Зязюлін:

– А можна і не перпендыкуляр. Можна правесці прамую пад любым вуглом.

Па маёй просьбе выходзіць і паказвае.

– З любога пункта М на восі сіметрыі можна правес­ці прамую праз дадзены пункт А, а з другога боку восі сі­метрыі адкласці вугал NMB роўны вуглу NMA і на праме­ні МВ паставіць пункт В так, каб МА = МВ. Пункты А і В будуць сіметрычнымі адносна прамой МN. – Гэта сапраўды так – пагаджаюся я і задумваюся аб значнасці прапанаванай навінкі: як бы да кнігі патэнтаў арыгінальнасці мала, але Дзіма, сарамлівы сераднячок, рэдка праяўляе ініцыятыву. Тут бы падтрымаць! Але ў класе ўжо шчыруюць крытыкі:

– Пачакайце. – спыняю я крытыкаў. – Давайце ўявім, што пабудаванне сіметрычнага пункта адбыва­ецца не на паперы, а на мясцовасці. Правядзенню перпендыкуляра замінае там

нейкая натуральная пе­рашкода, напрыклад, возера. Тады ідэя Дзімы выра­туе праблему. Замаўкаюць, удумваюцца і пагаджаюцца, што ідэя ўсё ж вартая кнігі патэнтаў. Урэшце вырашыў не губляць на гэта час урока і прапанаваў тым, хто мае цікавыя ідэі, заставацца пасля ўрокаў. Так натуральным чынам стварыўся

Зразумела, што калі ставіцца да такой дзейнасці звышпатрабавальна, то кніга патэнтаў папаўняцца амаль не будзе і зацікаўленасць вучняў прыглушыцца. Трэба ўмець знаходзіць новае ў іх прымітыўненькіх прапановах і нават трэба калі-нікалі наўмысна ствараць адпавед­ныя сітуацыі, напрыклад, нейкай “выпадкова” кінутай настаўнікам фразай, якая зачэпіцца за свядомасць вучня і праз колькі дзён ён прынясе гэтую ідэю як сваю.

Вось вучымся дзяліць звычайныя дробы. Працэдура дзялення яшчэ не засвоеная і шмат блытаніны, памылак. Стаіць ля дошкі і думае, як падзяліць пяць шостых на тры вось­мыя. Нарэшце нешта ўспомніў:

– Трэба прывесці да агульнага назоўніка.

– Прывядзі, – абыякава пагаджаюся я.

Той прыводзіць: : = : =

І задумваеца. У класе ўжо пасміхаюцца. Я спакойна чакаю.

– Але ж 20 на 9 не дзеліцца! – Здзіўляецца нарэшце аўтар ідэі.

– Чаму ж не дзеліцца? Цяпер у вас любыя лікі дзеляцца. Пяць падзяліць на восем – атрымаецца пяць восьмых.

– Дык што, тут атрымаецца дваццаць дзевятых? – Усё яшчэ сумняваецца той. Ён ра­зумее, што нешта тут не так, бо, здаецца, настаўнік, паказваючы дзяленне дробаў, не дзяліў лічнік на лічнік.

Я паціскаю плячыма і прапаную выканаць дзяленне таму, хто гэта ўжо ўмее рабіць. Атрымліваецца на самой справе дваццаць дзевятых.

– Ну вось, як бачыце, можна было дзяліць і звядзеннем да агульнага назоўніка.

– Дык што, – пытаецца ён у мяне на перапынку, – я магу атрымаць патэнт на вына­ходніцтва?

– Не ведаю. Прыходзь на гурток з ідэяй, там разбярэмся.

Праз некалькі дзён чалавек прыносіць сваю ідэю на гурток. Як ні дзіўна, зацікаўленае абмеркаванне гэтай ідэі заняло ўсю гадзіну. Чамусьці гэты варыянт паказаўся вучням больш простым, чым той, які паказаў настаўнік (можа, таму, што прывядзенне да агульнага назоў­ніка ўжо дрэнна-бедна засвоілі і гэта стала знаёмай і зразумелай працэдурай?), і тут узніклі сумненні: калі б гэты спосаб дзялення быў правільным, то яго паказаў бы настаўнік. Але ж настаўнік паказаў іншы спосаб! Усе шукалі ў гэтай ідеі нейкую памылку. Шукалі і не знахо­дзілі. Амаль пераканала адпаведнае пераўтварэнне ў літарнай форме:

:=∙=.

Кажу “амаль пераканала”, бо некаторыя нават пасля гэтага сумняваліся (“А чаму ж вы нам так не паказвалі?” – “Бо я ніколі так не рабіў. І ў падручніку паказана інакш.” – “Але ж так прасцей!” –“Ну гэта каму як.”)

Давялося яшчэ нагадаць пра дзяленне іменаваных лікаў:

(15 см) : (3 см) = 5; (12 кг) : (16 кг) = (якую частку складае 12 кг ад пуда);

(28 чалавек) : (42 чалавекі) = (якую частку класа складаюць хлопчыкі).

Іменаваная велічыня пры дзяленні скарачаецца. Так і тут: 20 дваццаць чацвёртых падзяліць на 9 дваццаць чацвёртых = (назоўнікі скарачаюцца як іменаваныя велічыні).

Чакаў, што нехта прынясе ідэю аб дзяленні дробаў звядзеннем іх да агульнага лічніка. Але туды іх думка чамусьці не павярнула. На адным з гуртковых заняткаў паказаў. І крыху паіранізаваў: маўляў, была рэальная магчымасць заняць старонку ў кнізе патэнтаў, але вы яе ўпусцілі. (“А вы сябе занясіце ў кнігу патэнтаў,” – параілі.)
Пра адну ідэю хочацца распавесці асобна. Гаворка тут не аб матэматычным адкрыцці, а аб метадычным. І адкрыццё сапраўды вартаснае.

Навучыўшы крыху сваіх вучняў працаваць з лістамі апорных сігналаў (ЛАС), я пачаў даваць заданні на іх стварэнне. Вось і пры вывучэнні аперацый з дадатнымі і адмоўнымі лі­камі прапанаваў скласці апору для множання такіх лікаў. Гаворка натуральна ж ішла пра множанне знакаў, бо множанне модуляў ужо было засвоена. На наступным уроку нехта па­казаў просценькую таблічку з трыццаці двух сігналаў:

Знакі дадзеных лікаў знаходзяцца ў кружочках, знак іх здабытку ці дзелі шукаем у квадраціках пры руху насустрач. Схема Гайкова несумненны крок наперад, яна кампактная і лёгказапамінальная. Гэта я і сказаў “зяблікам”. Вось, маўляў, што значыць думка студэнта. Меркаваў, што гэтым усё тут і закончыцца. Але нечакана адчуў нейкае супраціўленне. “Зяб­лікі” даволі крытычна паставіліся да схемы Гайкова, сказалі, што там шмат лішніх сігналаў. Напрыклад, множанне плюса на мінус паказана аж чатыры разы.

Вынікам спрашчэння стала вось такая фігура (12 сігналаў):

Мне яна падалася менш запамінальнай, але “зяблікі” былі задаволеныя сваім удзелам і я прызнаў, што для гэтай задаволенасці ёсць падставы.

Назаўтра перад урокам Саша Крысін падышоў і паведаміў, што схему з знакамі можна яшчэ спрасціць.

– Прынясеш ідэю на гурток, – спачатку вырашыў я не губляць на гэта час урока. Але ўбачыўшы, што таго аж распірае ад жадання выказацца, прапанаваў яму паказаць новую схему на ўроку. Той намаляваў на дошцы тры кругі, два сініх і адзін чырвоны, паставіўшы ў сініх кругах мінусы, а ў чырвоным – плюс.

– Мінус на мінус (ён закрыў рукамі два мінусы) будзе плюс, мінус на плюс (закрыў кружочкі з мінусам і плюсам) будзе мінус. А плюс на плюс мы і ў першым класе ўмелі множыць. У класе заапладзіравалі. Не стрымаўся і я, далу­чыўся да апладысментаў. Так гэтая схема і стала называцца ў нас схемай Гайкова-Крысіна. Пазней, калі мы пакруцілі гэтую схему на гуртку, знайшлі ёй яшчэ адно прымяненне. Акрамя правіла зна-