1. Множество. Операции над множествами




Дата канвертавання28.04.2016
Памер118.57 Kb.
1. Множество. Операции над множествами.

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые. Множество – совокупность некоторых объектов.

Объекты, образующие множество называются элементами или точками этого множества.

Множество, не содержащее ни одного элемента называется пустым.

Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то множество В называется подмножеством множества А.

Два множества называются равными если они состоят из одних и тех же элементов.



Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств.

Пересечением двух множеств А и В называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств.

Разностью двух множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

Дополнением множества А называется множество АС, состоящее из элементов множества В, не принадлежащих А.

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми.

Множество, элементы которого удовлетворяют неравенству a x b, называется отрезком; неравенству a < x < bинтервалом; неравенствам
a < x b или a x < bполуинтервалом.

2. Функция. Способы задания функции.

Если каждому элементу х множества Х ставится в соответствие вполне определенный элемент y множества Y, то говорят, что на множестве Х задана функция y = f (x). При этом х называется независимой переменной (аргументом), yзависимой переменной, а f обозначает закон соответствия.

Множество Х называется областью определения функции,а Y – областью значений функции.

Способы задания функции:

- аналитический способ (функция задана формулой вида y = f (x));

- табличный способ;

- графический способ;

- словесный способ.

3. Свойства функции.

- Четность и нечетность. y = f (x) четная, если f (-x)=f (x) и нечетная, если f (-x)=- f (x).

- Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Возрастающие и убывающие функции назы-ваются монотонными.

- Ограниченность. Функция называется ограниченной, если существует такое число М > 0, что | f (x)| ≤ М для любого х є Х.

- Периодичность. Функция называется периодической с периодом Т ≠ 0, если для любых х f (x + T)= f (x)

4. Числовая последовательность. Предел последовательности.

Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число аn, то говорят, что задана числовая последовательность n}

Число А называется пределом числовой последовательности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε > 0 найдется такой номер N, зависящий от ε, что для всех членов последовательности с номерами n > N верно неравенство | an – A|< ε.

Число А называется пределом числовой последовательности, если для любого положительного числа ε > 0 найдется номер N, начиная с которого все члены последовательности будут заключены в ε-окрестности точки А, какой бы узкой она ни была.



5. Предел функции.

Предел функции в бесконечности.

Число А называется пределом функции при аргументе, стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительно-го числа ε > 0, найдется такое положительное S > 0, зависящее от ε, что для всех х таких, что |x| > S, верно неравенство: | f(x) – A| < ε.



Предел функции в точке.

Пусть функция задана в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть мо-жет, самой точки х0. Тогда число А называется пределом функции при х, стремящемся к х0, если для любого, даже сколь угодно малого положитель-ного числа ε > 0, найдется такое положительное число δ > 0, зависящее от ε, что для всех х, не равных х0 и удовлетворяющих условию | xx0 | < δ, вы-полняется неравенство | f(x) – A | < ε.



6. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

Функция α(х) называется бесконечно малой величиной при хх0 или х→∞, если ее предел равен нулю.



Теорема. Если функция имеет при хх0 (х→∞) предел, равный А, то ее можно представить в виде суммы этого числа А и бесконечно малой α(х) при хх0 (х→∞)

Свойства б. м. в.:

- Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

- Произведение б. м. в. на ограниченную функцию есть величина бесконеч-но малая.

- Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел ко-торой не равен нулю, есть величина бесконечно малая.

Функция f (x) называется бесконечно большой величиной при xх0, если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа М, найдется такое положительное число δ, зависящее от М, что для всех x, не равных x0 и удовлетворяющих условию | xx0 | < δ, будет верно неравенст-во | f (x)| > M.

Свойства б. б. в.:

- Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая.

- Произведение б. б. в. на функцию, предел которой не равен нулю есть ве-личина бесконечно большая.

- Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имею-щую предел, есть величина бесконечно большая.



Теорема. Если функция α(х) есть б. м. в., то функция f (x)=1/α(х) является величиной бесконечно большой. И обратно, если функция f (x) является б. б. в., то функция α(х)=1/ f (x) есть величина бесконечно малая.

7. Первый и второй замечательные пределы.

Первый замечательный предел: lim sin x / x = 1(при х->0)

SAOB < Sсект. AOB < SAOC

½ R2 sin x < ½ R2 x < ½ R2 tg x

1 < x / sin x < 1/cos x

cos x < sin x / x < 1

lim cos x = 1

lim 1 = 1

lim sin x / x = 1.



Второй замечательный предел: lim(1 + 1/n)n = e (при n->∞)

8. Непрерывность функции. Свойства функций, непрерывных в точке.

Функция называется непрерывной в точке, если она удовлетворяет следующим условиям:

- функция определена в точке;

- имеет конечный предел при xx0;

- этот предел равен значению функции в точке.

Функция называется непрерывной в точке, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: lim ∆y = 0 (при ∆x→0)

Свойства:

- если две функции непрерывны в точке, то их сумма, произведение и частное являются функциями, непрерывными в этой точке.

- если функция непрерывна в точке x0 и f (x) > 0, то существует такая окрестность точки x0, в которой f (x) > 0.

- если функция y = f (u)непрерывна в точке u0, а функция u = φ (x) непре-рывна в точке u0 = φ (x0), то сложная функция y = f (φ (x)) непрерывна в точке x0.

Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

- если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

- если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значения.

- если функция непрерывна на отрезке и значения на концах отрезка имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка x0, такая, что f(x0) = 0.



9. Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.

Точка x0 называется точкой разрыва функции, если эта функция в данной точке не является непрерывной.



Точки разрыва:

- первого рода (существуют конечные пределы слева и справа, не равные друг другу);

- второго рода (хотя бы один из пределов слева или справа бесконечен или не существует);

- устранимого разрыва (предел функции при xx0 существует, но не равен x0).



10. Определение производной функции.

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной, при стремлении последней к нулю.

Если функция в точке имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка, называется дифференцируемой на этом промежутке.

11. Геометрический, механический и экономический смысл произв.

Геометрический смысл производной:

f ' (x)= tg α

Физический смысл производной:

f ' (s)= vмгн.

Экономический смысл производной:

f ' (s) – производительность труда в момент t0.


12. Основные правила дифференцирования.

- производная постоянной равна нулю;

- производная аргумента равна единице;

- (u + v)’ = u’ + v

- (uv)’ = uv + uv’ => постоянный множитель можно выносить за знак производной ( (cu)’ = cu’), (uvw)’ = uvw + uvw+ uvw

- (u/v)’ = (u’v – uv’)/v 2


13. Возрастание и убывание функции.

Если производная дифференцируемой функции положительна (отрица-тельна) внутри некоторого промежутка, то она возрастает (убывает) на этом промежутке.

Если функция возрастает (убывает) внутри некоторого промежутка, то можно утверждать, что производная неотрицательна (неположительна) на данном промежутке.

14. Экстремум функции.

Точка называется точкой максимума (минимума) функции, если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство f (x)≤ (≥) f (x0)

Для того чтобы функция имела экстремум в точке, необходимо, чтобы ее производная равнялась нулю или не существовала.

Если при переходе через точку x0 производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то точка x0 есть точка максимума (минимума).

Если первая производная дважды дифференцируемой функции в точке равна нулю, а вторая производная в этой точке положительна (отрицатель-на), то данная точка есть точка минимума (максимума).

15. Выпуклость функции. Точки перегиба.

Функция называется выпуклой вниз – вогнутой (выпуклой вверх) на промежутке, если для любых двух значений x1, x2 из этого промежутка выполняется неравенство f (½ (x1 + x2))≤ (≥) ½ (f (x1) + f (x2))

Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает)

Если вторая производная положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка, то функция выпукла вниз (вверх) на этом проме-жутке.



Точкой перегиба называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Вторая производная функции в точке перегиба равна нулю.

Если вторая производная при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то данная точка является точкой перегиба.

16. Асимптоты графика функции.

Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки от начала координат.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой этой точки и хотя бы один из пределов функции при xx0 слева или справа равен бесконечности, тогда прямая x = x0 является вертикальной асимптотой.

Пусть функция определена при достаточно больших x и существует конечный предел функции при x→∞, тогда прямая y = b является горизон-тальной асимптотой.

Пусть функция определена при достаточно больших x и существуют конечные пределы lim (f (x)/x)= k и lim (f (x)kх)= b при x→∞, тогда прямая y = kx + b является наклонной асимптотой.



17. Общая схема исследования функции.

- D (y);


- четность – нечетность;

- вертикальные асимптоты;

- горизонтальные или наклонные асимптоты;

- экстремумы и интервалы монотонности;

- интервалы выпуклости и точки перегиба;

- точки пересечения с осями и дополнительные точки.



18. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.

lim ∆y/∆x = f’(x)

∆y/∆x = f’(x)+ α(∆x)

∆y = f’(x)x + α(∆x) ∆x



Дифференциал функции – главная, линейная относительно ∆x часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной: dy = f’(x)x.

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой пере-менной.



Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда x получает приращение ∆x.



Свойства дифференциала:

- dc = 0



- d(cu)= с du

- d(u ± v)=du ± dv

- d(uv)= u dv+du v

- d(u/v)=(u dv – du v)/v2

- инвариантность (dy = f’(u) du)



- f (x+x)≈f (x)+ f’(x)x

19. Первообразная функции и неопределенный интеграл.

Функция F(x) называется первообразной для функции f (x) на промежутке, если в каждой точке этого промежутка F’(x) = f (x).

Если F1(x) и F2(x) – первообразные для функции f (x) на некотором проме-жутке, то найдется такое число С, что будет верно равенство: F2(x)=F1+ C

Совокупность всех первообразных для функции f (x) называется неопределенным интегралом.



20. Свойства неопределенного интеграла.

- производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функ-ции;

- дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выра-жению;

- неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого;

- постоянный множитель можно выносить за знак интеграла;

- интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций.



21. Определенный интеграл.

Пусть на [a, b] задана функция. Разобьем отрезок [a, b] на n элементарных отрезков точками x0, x1, x2,..., xn, на каждом отрезке выберем некоторую точку ξ i и положим ∆x i. Сумму вида ∑ f (ξ)x i называют интегральной суммой

Пусть предел интегральной суммы при стремлении max ∆x i к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек x1, x2, ..., xn и точек ξ 1, ξ2, ..., ξn. Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции на [a, b].

Свойства определенного интеграла:

- постоянный множитель можно вынести за знак интеграла;

- интеграл суммы равен сумме интегралов;

- если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей;

- если f (x) g (x), то ∫ f (x)dx ≤ ∫ g (x)dx

- если функция у = f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то найдется такое значение ξ є [a, b], что ∫ f (x)dx = f (ξ)(ba)



Пусть функция у = f (x) непрерывна на отрезке и F (x) – любая первообраз-ная для f (x). Тогда определенный интеграл от функции f (x) равен прираще-нию первообразной на этом отрезке, т. е. ∫ f (x)dx = F(b) – F(a).

Формулы дифференцирования.


f(x)

f’(x)

f(x)

f’(x)

C

0

e u

e u ∙u’

x

1

a u

a u ln a∙u’

u + v

u’+ v’

ln u

u’/ u

uv

u’v + uv’

loga u

u’/ u∙ln a

uvw

u’vw + uv’w+ uvw’

sin u

cos u ∙ u’

Cu

Cu’

cos u

- sin u ∙ u’

u/v

(u’v-uv’)/v 2

tg u

u’/ cos 2 u

c/v

-c/v 2

ctg u

- u’/ sin 2 u

u(φ(x))

u’(φ)∙ φ’

arcsin u

u’/ √(1- u 2)

u n

nu n-1∙u’

arccos u

- u’/ √(1- u 2)

u

u’/2√u

arctg u

u’/ (1+ u2)

1/ u

-u’/u 2

arcctg u

- u’/ (1+ u2)


Формулы интегрирования.


f(x)

f(x)

f(x)

f(x)

0dx

C

dx/√(a 2- x 2)

arcsin(x/a)+C

x ndx

x n+1 .

(n+1) +C

dx/(a 2+ x 2)

1 .

a arctg(x/a)+C

dx/ x

ln|x|+C

dx/(a 2- x 2)

ln|(x-a)/(x+a)|/2a+C

a x dx

a x .

ln a +C

dx/√( x 2+a)

ln|x+√(x2+a)|+C

e x dx

e x +C

dx/cos 2x

tg x +C

sin x dx

- cos x+C

dx/sin 2x

- ctg x +C

cos xdx

sin x+C

//–//–//–

//–//–//–


База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка