§ Паняцце лініі. Гладкая лінія. Элементарная лінія. Лінія




Дата канвертавання07.05.2016
Памер57.93 Kb.



Лініі ў еўклідавай прасторы





§ 2. Паняцце лініі. Гладкая лінія.

1. Элементарная лінія. Лінія. Сярод мноства ліній вылучаюць элементарныя лініі. Дадзім азначэнне.

А з н а ч э н н е. Элеменарнай лініяй называецца мноства , гомеамофнае некатораму лікаваму прамежку.

Інакш кажучы, мноства называецца элементарнай лініяй, калі існуе некаторы гомеамарфізм , дзе – некаторы лікавы прамежак.

П р ы к л а д 1. Няхай – акружнасць за выключэннем аднаго пункта . Гэта мноства з’яўляецца элементарнай лініяй паколькі, напрыклад, цэнтральнае праецыраванне з цэнтрам у пункце гомеаморфна адлюстроўвае мноства на прамую, якая датыкаецца акружнасці ў пункце, процілеглым пункту .

П р ы к л а д 2. Няхай – мноства пунктаў парабалы . Гэта мноства таксама з’яўляецца элементарнай лініяй, паколькі артаганальнае праецыраванне на вось , з’яўляецца гомеаморф-ным адлюстраваннем парабалы на прамую.

А з н а ч э н н е. Замкнутай дугой называецца элементарная лінія, гомеаморфная некатораму адрэзку .

А з н а ч э н н е. Адкрытай дугой называецца мноства гомеаморфнае некатораму інтэрвалу .

Напрыклад, мноства пунктаў акружнасці, якое вызначаецца ўмовай ёсць замкнутая дуга, паколькі гэта мноства гомеаморфнае, напрыклад, адрэзку .

Гомеамарфізмам , які адлюстроўвае лінію на адрэзак з’яўляецца праецыраванне лініі паралельна восі на вось (Рыс. 1, а).

Мноства пунктаў акружнасці, якое вызначаецца ўмовай ёсць адкрытая дуга, паколькі гэта мноства гомеаморфнае, напрыклад, інтэрвалу .

У якасці гомеамарфізма , які адлюстроўвае лінію на інтэрвал , можна ўзяць праецыраванне лініі паралельна восі на вось (Рыс. 1, б).


а) б)

Рыс. 1


2. Параметрычныя ўраўненні элементарнай лініі.

Няхай – элементарная лінія ў . Гэта значыць, дадзен некаторы гомеамарфізм . Разгледзім прамавугольную сістэму каардынат . Кажнаму значэнню паставім у адпаведнасць вектар з пачаткам у пункце і канцавым пунктам (рыс. 2, а).




а) б)

Рыс. 2
Пры гэтым вызначаецца некаторая вектар-функцыя



, .Каардынатныя функцыі ,

, , называюцца параметрычнымі ўраўненнямі дадзенай элементарнай лініі .

3.Лінія. А з н а ч э н н е. Мноства называецца лініяй , калі яна ўяўляя сабой аб’яднанне канечнага альбо злічонага мноства элементарных ліній.

П р ы к л а д 1. Няхай – акружнасць. Акружнасць не з’яўляецца элементарнай лініяй (можна даказаць, што не існуе гомеаморфнага адлюстравання акружнасці на прамежак). Акружнасць з’яўляецца лініяй, паколькі яе можна ўявіць, напрыклад, як аб’яднанне двух элементарных ліній: адна элементарная лінія –, дзе – некаторы пункт акружнасці, а другая, дзе – пункт акружнасці дыяметральна процілеглы пункту . Кожная з ліній і з’яўляецца элементарнай, паколькі гомеаморфная прамой. Напрыклад, цэнтральнае праецыраванне з цэнтрам у пункце з’яўляецца гомеаморфным адлюстраваннем на прамую, якая датыкаецца акружнасці ў пункце – дыяметральна процілеглым пункту (рыс. 2, б).

П р ы к л а д 2. Няхай – гіпербала. Гіпербала не з’яўляецца элементарнай лініяй, але з’ўляецца лініяй ( Чаму?).

А з н а ч э н н е. Пункт называецца звычайным пунктам лініі , калі існуе наваколле такое, што мноства – элементарная лінія.

Пункт лініі называецца асобым, калі ён не з’яўляецца звычайным.

Напрыклад, любы пункт акружнасці з’яўляецца звычайным пунктам, паколькі для любога пункта існуе наваколле такое, што ёсць адкрытая дуга (рыс. 3, а).

Няхай лінія уяўляе сабой мноства пунктаў "васьмёркі"(дзве акружнасці, якія маюць адзіны агульны пункт )(рыс. 3, б), тады пункт з’яўляецца асобым, паколькі для любога наваколля мноства не гомеаморфнае элемен-тарнай лініі. Кожны пункт "васьмеркі" , які не супадае з пунктам , з’яўляецца звычайным.


а) б) в)

Рыс. 3
А з н а ч э н н е. Лінія, кожны пункт якой ёсць звычайны пункт, называецца простай лініяй.

Згодна азначэнням эліпс і акружнасць з’яўляюцца простыміі, але не элементарнымі лініямі.

А з н а ч э н н е. Пункт называецца ўнутраным пунктам лініі , калі иснуе наваколле такое, што мноства гомеаморфнае інтэрвалу.

Напрыклад, любы пункт акружнасці з’яўляецца яе ўнутраным пунктам.

Напрыклад, няхай – вобраз адрэзка пры некаторым гомеамарфізме , тады вобразы і – канцавыя пункты лініі (рыс. 3, в).



4. Гладкая лінія. Рэгулярныя і бірэгуляныя лініі. Разгледзім паняцце гладкай лініі.

А з н а ч э н н е. Няхай , , , – параметрычныя ўраўненні элементарнай лініі . Элементарная лінія называецца гладкай лініяй класа , дзе -натуральны лік, калі функцыі , , маюць непарыўныя вытворныя да парадка ўключна.

Напрыклад, элементарная лінія (дуга акружнасці радыуса з цэнтрам у пачатку сістэмы каардынат) параметрычныя ўраўненні якой , , , з’яўляецца гладкай класа , дзе любы натуральны лік, паколькі функцыі і , маюць непарыўныя выт-ворныя любога парадку .

А з н а ч э н н е. Простая лінія называецца гладкай лініяй класа ( 1), калі для кожнага яе ўнутранага пункта існуе - наваколле такое, што – элементарная гладкая класа( 1) лінія.

А з н а ч э н н е. Элементарная гладкая класа лінія , называецца рэгулярнай у пункце , калі ў пункце выконваецца ўмова, што .

Элементарная гладкая класа лінія , называецца рэгулярнай на прамежку, калі яна рэгулярная ў кожным пункце .

Напрыклад, элементарная лінія, параметрычныя ўраўненні якой ,, , , з’яўляецца рэгулярнай на інтэрвале .

А з н а ч э н н е: Элементарная гладкая класа лінія , называецца бірэгулярнай у пункце ,калі вектары і не калінеярныя.

Элементарная гладкая класа лінія , называецца бірэгулярнай на прамежку, калі яна бірэгулярная ў кожным пункце .

А з н а ч э н н е . Простая лінія называецца гладкай класа , калі для кожнага яе ўнутранага пункта існуе – навакол-ле такое, што – элементарная гладкая класа лінія.


Пытанні да § 2


  1. Дайце азначэнне элементарнай лініі.

  2. Як вызначаюцца параметрычныя ўраўненні элементарнай лініі?

  3. Як вызначаецца лінія? Прывядзіце прыклад лініі, якая не з’яўляецца элементарнай лініяй.

  4. Якая лінія называецца простай? Прывядзіце прыклад лініі, якая мае некаторае канечнае мноства асобых пунктаў.

  5. Растлумачце, чаму эліпс з’яўляецца лініяй, але не з’яўляецца элементарнай лініяй.

  6. – дзве прамыя, якія перасякаюцца. Ці з’яўляецца элементарнай лініяй?

  7. Дакажыце, што эліпс і акружнасць гомеаморфныя лініі.

  1. Прывядзіце прыклад лініі, якая з’яўляецца адначасова простай і элементарнай.

  2. Прывядзіце прыклад лініі, кожны пункт якой з’яўляецца ўнутраным.

  3. Якая элементарная лінія называецца гладкай? Прывядзіце прыклад гладкай элементарнай лініі.

  4. Дайце азначэнне простай гладкай лініі. Прывядзіце прыклад простай гладкай лініі, якая не з’яўляецца элементарнай.

  5. Якая лінія называецца рэгулярнай (бірэгулярнай)?

13. Элементарная лінія дадзена параметрычнымі ўраўненнямі: , ,, . Ці з’яўляецца рэгулярнай?

14. Ці з’яўляецца гіпербала простай і элементарнай лініяй?








База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка