Задача аб вольных і вымушаных ваганнях Няхай цела масы m падвешана на спружыні, верхні канец якой нерухома замацаваны




Дата канвертавання09.05.2016
Памер279.74 Kb.




§ 22. Прыкладанні дыферэнцыяльнах раўнанняў у фізіцы. Вольныя ваганні

1º. Задача аб вольных і вымушаных ваганнях

Няхай цела масы m падвешана на спружыні, верхні канец якой нерухома замацаваны.

У стане раўнавагі вага цела ўраўна­важваецца пругкай сілай спружыны.

Па закону Гука гэтая сіла прапарцыянальна даўжыні s адрэзка, на які расцягнута спружына.

Тады маем роўнасць

(1)
дзе C — каэфіцыент прапарцыянальнасці.

Праз цела вертыкальна ўніз правядзём вось Oy, і стану раўнавагі нададзім значэнне y = 0.

Вывядзем цела са стану раўнавагі, для чаго адвядзем цела ўніз на значэнне



y = y0.

Цела пачне рухацца. Адхіленне ад стану раўнавагі ў момант часу t абазначым праз y(t). Рух цела апісваецца функцыяй y = y(t).

Саставім раўнанне для знаходжання гэтай функцыі.

У кожны момант часу на цела ўздзей­нічаюць наступныя сілы:

1) сіла цяжа́ру F1 = mg, якая цягне ўніз;

2) пругкая сіла спружыны, якая цягне ўверх:



F2 = – C(s + y);

3) сіла супраціўнення асяроддзя, якая прапарцыянальна скорасці руху і накіравана супраць напрамку скорасці:



F3 = – ky,

дзе k — каэфіцыент прапарцыянальнасці.

Такім чынам, на цела ўздзейнічае сіла

F = F1 + F2 + F3 = mgC(s + y) – ky = | карыстаемся (1) | =

Згодна з другім законам Ньютана

адкуль

my = – Cyky, (2)

Калі на цела акрамя трох сіл уздзейнічае яшчэ вонкавая сіла Fв(t), тады раўнанне (2) мае выгляд



my = – Cyky + Fв(t),

і атрымліваем раўнанне



my + ky + Cy = Fв(t). (3)

Заўвага. Сіла Fв(t) можа не ўздзейніць непасрэдна на цела. Напрыклад, калі верхні канец спружыны рухаецца ў вертыкальным напрамку па закону y = (t), тады і ўзнікае вонкавая сіла на цела.

Раўнанне (3) пераўтвараем



my + ky + Cy = Fв(t) |

Для зручнасці апісання каранёў абазначым = 2p, = 2. Тады атрымліваем раўнанне

(4)
Азначэнне. ЗДР (4) называецца дыферэнцыяльнам раўнаннем вымушаных ваганняў у асяродзі с супраціўленнем.
Азначэнне. Калі супраціўлення асяродзя няма (p = 0), раўнанне (4) мае выгляд
(5)
і называецца раўнаннем вымушаных ваганняў у асяродзі без супраціўлення.
Азначэнне. Калі вонкавая сіла адсутнічае, раўнанне (4) мае выгляд

y + 2py + 2y =0 (6)

і называецца дыферэнцыяльным раўнаннем вольных ваганняў у асяродзі з супраціўленнем.


Азначэнне. Калі вонкавая сіла адсутнічае і супраціўлення асяродзя няма (p = 0), раўнанне (4) мае выгляд

y + 2y =0 (7)

і называецца дыферэнцыяльнам раўнаннем вольных ваганняў у асяродзі без супраціўлення.


2º. Вольныя ваганні у асяродзі без супраціўлення

Разгледзім раўнанне



y + 2y =0 (7)

Гэта ЛАДР 2-га парадку з пастаяннымі каэфіцыентамі. Каб знайсці рашэнне, трэба саставіць ХР

адкуль

1,2 =  i.



Агульнае рашэнне раўнання (7) мае выгляд

y(t) = C1cos1t + C2sin1t.

Рашэнне пераўтвараем наступным чынам.

Спачатку ўводзім велічыню
C1cos1t + C2sin1t = A = 

Існуе лік (вугал) такі, што = sin, = cos.

Гэта бачна нават з геаметрычных разважанняў. Таму
 = A(sin cos1t + cos sin1t) = Asin(1t + ).

Такім чынам, маем агульнае рашэнне выгляду

(8)

Велічыню A называюць амплітудай вагання, велічыню 1частатой, а велічыню пачатковай фазай.



Рух цела з'яўляецца перыядычным (перыяд ). Графік руху — сінусоіда. Ваганні называюцца вольнымі гарманічнымі.
3º. Вольныя ваганні у асяродзі з супраціўленнем

Разглядаем раўнанне



y + 2py + 2y =0. (6)

Будуем ХР

(9)

адкуль
Уласцівасці каранёў залежаць ад суадносін паміж велічынямі p і .



Разгледзім тры выпадкі:

1) p < ,

2) p > ,

3) p = .


1) p < .

Няроўнасць азначае, што сіла супраціўлення асяродзя нязначная ў параўнанні з сілай спружыны.

Абазначым , тады карані ХР (9) маюць выгляд

1,2 = – pi1.

Агульнае рашэнне выглядае так

y(t) = ept(C1cos1t + C2sin1t).

Рашэнне раўнання вольных ваганняў мае выгляд



y(t) = Aeptsin(1t + ). (10)

Пад час t   y(t)  0.

Такія ваганні называюцца затухаючымі.

2) p > .

Супраціўненне асяродзя вельмі значнае ў параўнанні з сілай спружыны.

Рашэнні ХР (9) маюць выгляд

Калі , тады

1,2 = – ph,

а раўнанне вольных ваганняў мае рашэнне выгляду

(11)

Калі t   y(t)  0 і ваганняў практычна няма. Рух называецца аперыядычным.







3) p = .

Супраціўленне асяродзя параўнальна з сілай спружыны.

Карані ХР роўныя паміж сабой

Рашэнне дыферэнцыяльнага раўнання мае выгляд



y(t) = C1ept + C2tept. (12)

Г
рафічны відарыс аналагічны паряэднему, але магчымы адзін рух праз гарызантальную вось.



§ 23. Прыкладанні дыферэнцыяльнах раўнанняў у фізіцы. Вымушаныя ваганні

1º. Вымушаныя ваганні ў асяродзі без супраціўлення

Разгледзім раўнанне



y + 2y = Fв(t) (1)

Няхай вонкавая сіла з'яўляецца сінусаідальнай

Абазначым = H і атрымліваем раўнанне

(2)

Гэта ЛНДР 2-га парадку з пастаяннымі каэфіцыентамі і спецыяльнай правай часткай. Яго агульнае рашэнне складаецца з агульнага рашэння адпаведнага аднароднага раўнання і частковага рашэння неаднароднага (зыходнага):



y(t) = yа(t) + ỹ(t).

Знойдзем рашэнне адпаведнага аднароднага раўнання. Аднароднае раўнанне мае выгляд



y + 2y = 0.

У § 22 мы ўжо разглядалі гэтае раўнанне. Яго ХР

2 + 2 = 0, (3)

з коранямі

1,2 =  i.

Агульнае рашэнне аднароднага раўнання



yа(t) = Asin(t + ).

Будзем зараз шукаць частковае рашэнне неаднароднага раўнання.

Правая частка раўнання (2) мае спецыяльны выгляд

f(t) = Hsinqt = He0tsinqt,

і вызначае камплексны лік

Выгляд частковага рашэння ỹ(t) будзе залежаць ад таго, ці супадае лік iq з коранем ХР (3) (1,2 =  i).

Іншымі словамі, ці супадае асабістая частата сістэмы з частатой q вонкавай сілы.

Разгледзім выпадак, калі частоты не супадаюць (q).

Тады частковае рашэнне раўнання (2) шукаем у выглядзе

Знаходзім вытворныя

ỹ(t) = – Mqsinqt + Nqcosqt,

ỹ(t) = – Mq2cosqtNq2sinqt

і падстаўляем у (2)

Разглядаем каэфіцыенты,

каля cosqt : – Mq2 + 2M = 0, M(2q2) = 0, M = 0;

каля sinqt : – Nq2 + 2N = H, N(2q2) = H, .

Агульнае рашэнне раўнання (2) мае выгляд



y(t) = Asin(t + ) + sinqt.

Рух складаецца з двух ваганняў з рознымі частотамі.

Калі q, амплітуда двугога вагання нарастае. Гэтага трэба пазбягаць у механічных сістэмах і вырарыстоўваць у радыёпрымальніках пры настройцы частаты.
2º. З'ява рэзанансу

Будзем лічыць, што q = — асабістая частата сістэмы супадае з частатой q вонкавай сілы.

Тады раўнанне (11) мае выгляд

(4)

і лік iq з'яўляецца коранем ХР (3).

Частковае рашэнне раўнання (4) шукаем у выглядзе

Ізноў знаходзім вытворныя



ỹ(t) = Mcosqt + NsinqttMqsinqt + tNqcosqt,

ỹ(t) = –Mqsinqt + NqcosqtMqsinqt + NqcosqttMq2cosqttNq2sinqt =

= – 2Mqsinqt + 2NqcosqttMq2cosqttNq2sinqt.

Падстаўляем у (4)

Разглядаем каэфіцыенты,

каля cosqt : 2NqtMq2 + q2tM = 0, 2Nq = 0, N = 0;

каля sinqt : – 2MqtNq2 + q2tN = H, .

Агульнае рашэнне мае выгляд

y(t) = Asin(t + ) tcosqt.

Рух складаецца з двух ваганняў аднолькавай частаты, але амплітуда другога вагання неабмежавана нарастае.



Азначэнне. З'ява, калі пры t   амплітуда вагання неабмежавана нарастае, называецца з'явай рэзанасу.

3º. Вымушаныя ваганні ў асяродзі з супраціўленнем

Лічым, што вонкавая сіла сінусаідальная і разгледзім раўнанне



(5)

Лічым таксама, што супраціўленне асяродзя малое p < .

Агульнае рашэнне складаецца з агульнага рашэння адпаведнага аднароднага раўнання і частковага рашэння неаднароднага (зыходнага):

y(t) = yа(t) + ỹ(t).

Рашэнне yа(t) мы ўжо атрымалі у § 22:



yа(t) = Aeptsin(1t + ),

дзе .

Лік iq з правай часткі раўнання (5) не супадае з коранямі адпаведнага ХР.

Частковае рашэнне ỹ(t) трэба шукаць у выглядзе

Знаходзім вытворныя

ỹ(t) = – Mqsinqt + Nqcosqt,

ỹ(t) = – Mq2cosqtNq2sinqt

і падстаўляем у (5)

Разглядаем каэфіцыенты,

каля cosqt : – Mq2 + 2pNq + 2M = 0, (2q2)M + 2pqN = 0,

каля sinqt : – Nq2 – 2pMq + 2N = H, – 2pqM + (2q2)N = H,

,

Агульнае рашэнне раўнання (5) мае выгляд



y(t) = Aeptsin(1t + ) – R(2pqcosqt – (2q2)sinqt),

дзе .

Пераўтвараем выраз 2pqcosqt – (2q2)sinqt.

Можна знайсці такі, што

cos = , sin = .

Мы ўжо аднойчы так рабілі:

2pqcosqt – (2q2)sinqt =

= (coscosqt – sinsinqt) =

=cos(qt + ).

Канчаткова маем


Калі t дастаткова вялікае, асабістыя ваганні можна не ўлічваць. Але, калі супраціўленне асяродзя p вельмі малое, а частоты і q блізкія, выніковая амплітуда вагання можа быць вельмі вялікай.
§ 24. Сістэмы дыферэнцыяльнах раўнанняў

1º. Асноўныя паняцці

Азначэнне. Сукупнасць дыферэнцыяльных раўнанняў выгляду

(1)

дзе y1, y2, …, yn — шукаемыя функцыі ад незалежнай зменнай x, называецца сістэмай n звычайных дыферэнцыяльных раўнанняў першага парадку.

Азначэнне. Рашэннем сістэмы (1) дыферэнцыяльных раўнанняў на адрэзку [ab] называецца любая сукупнасць n функцый

y1 = 1(x), y2 = 2(x), … , yn = n(x),

якія вызначаны і непарыўна дыферэнцавальны на адрэзку [ab] і для  x  [ab] абарачаюць сістэму (1) у набор тоеснасцяў.



Азначэнне. Працэс знаходжання рашэнняў сістэмы (1) называецца інтэграваннем сістэмы.
Азначэнне. Графік рашэння ў прасторы Rn+1 з пунктамі (x, y1, y2, …, yn) называецца інтэгральнай крывой.
Калі функцыі F1, F2, …, Fn дазваляюць вырашыць сістэму дыферэнцыяльных раўнанняў адносна вытворных, атрымліваецца сістэма выгляду

(2)


Азначэнне. Сістэма дыферэнцыяльных раўнанняў выгляду (2) называецца сістэмай ў нармальнай форме ці нармальнай сістэмай.

2º. Задача Кашы. Існаванне і адзінасць рашэння

Разгледзім нармальную сістэму дыферэнцыяльных раўнанняў (2). Лічым, што правыя часткі сістэмы (2) зададзены ў нейкім абсягу D прасторы Rn+1.

Пачатковыя ўмовы для сістэмы (2) звычайна задаюцца ў выглядзе

(3)


дзе (x0, , , ..., ) — нейкі пункт абсягу D.
Азначэнне. Сукупнасць сістэмы (2) і пачатковых умоў (3) называецца задачай Кашы (2), (3) для нармальнай сістэмы дыферэнцыяльных раўнанняў.

Геаметрычна задача Кашы — гэта задача пошуку інтэгральнай крывой сістэмы (2), якая праходзіць у D праз пункт

А зараз сфармулюем аналаг тэарэмы Пікара для нармальнай сістэмы.



Тэарэма. Няхай зададзена задача Кашы (2), (3). Калі:

1) правыя часткі сістэмы (2) непарыўныя па ўсіх аргументах у нейкім абсягу D з пунктам (x0, , , ..., ) унутры;

2) правыя часткі сістэмы (2) маюць абмежаваныя вытворныя па аргументах y1, y2, ..., yn у абсягу D;

тады задача Кашы (2), (3) мае адзінае рашэнне, якое вызначана ў нейкім наваколлі пункта x0 і цалкам належыць абсягу D.



Без доказу.

3º. Агульнае і частковае рашэнні

Разгледзім нармальную сістэму дыферэнцыяльных раўнанняў (2). Лічым, што правыя часткі сістэмы задавальняюць ўмовам тэарэмы п. 2º у абсягу D.



Азначэнне. Агульным рашэннем сістэмы (2) у абсягу D называецца сукупнасць функцый

(4)

вызначаных у некаторым абсягу змянення зменных x, C1, C2, …, Cn і непарыўна дыферэнцывальных па x, калі

1) сістэма (4) вырашальна у абсягу D адносна адвольных канстантаў C1, C2, …, Cn:



(5)

2) сукупнасць (4) функцый з'яўляецца рашэннем сістэмы (2) для ўсіх значэнняў канстантаў C1, C2, …, Cn, якія могуць быць атрыманы з формулаў (5).



Азначэнне. Рашэнне сістэмы (2) называецца , калі кожны пункт адпаведнай інтэгральнай крывой з'яўляецца пунктам адзінасці.
Відавочна, што ўсялякае рашэнне сістэмы (2), якое атрымліваецца з агульнага рашэння (4) для канкрэтных значэнняў канстантаў C1, C2, …, Cn, з'яўляецца частковым.
§ 25. Сувязь паміж сістэмамі дыферэнцыяльных раўнанняў і дыферэнцы­яльнымі раўнаннямі n-га парадку.

1º. Прывядзенне нармальнай сістэмы да дыферэнцыяльнага раўнання n-га парадку

Лічым, што правыя часткі нармальнай сістэмы



(1)

дыферэнцавальны n разоў.

Прадыферэнцыруем першае раўнанне сістэмы n – 1 разоў у сілу сістэмы. Гэта азначае, калі пад час пераўтварэнняў у выразах атрымліваюцца вытворныя y1, y2, …, yn, замест іх падстаўляем правыя часткі з сістэмы (1):



... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...



Разам з першым раўнаннем сістэмы (1) атрымалі новую сістэму



(2)

Бярэм першыя n – 1 раўнанні сістэмы (2):



(3)

і вырашаем сістэму (3) адносна y2, ..., yn. Яны будуць залежаць ад x, y1, y1, …, :



(4)

Выразы для y2, ..., yn з (4) падстаўляем у апошняе раўнанне сістэмы (2) і атрымліваем шукаемае раўнанне n-га парадку адносна y1:



.

Прыклад 1.

Дыферэнцыруем першае раўнанне ў сілу сістэмы і атрымліваем

Адкуль адразу вынікае раўнанне другога парадку адносна y1

2º. Прывядзенне дыферэнцыяльнага раўнання n-га парадку да нармальнай сістэмы

Няхай маем дыферэнцыяльнае раўнанне n-га парадку



. (5)

Абазначым


Тады


yn = y(n)

і з дапамогай абазначэнняў і раўнання (5) атрымліваем сістэму




Прыклад 2.

.

Абазначаем


Запісваем сістэму
§ 26. Лінейныя сістэмы дыферэнцыяльных раўнанняў

1º. Паняцце лінейнай сістэмы

Азначэнне. Нармальная сістэма дыферэнцыяльных раўнанняў называецца лінейнай, калі правыя часткі сістэмы з'яўляюцца функцыямі, лінейнымі адносна y1, y2, ..., yn:
(1)
Будзем лічыць, што ўсе каэфіцыенты aij(x) і fi(x) з'яўляюцца непарыўнымі функцыямі на нейкім адрэзку [a, b]. У гэтым выпадку ўмовы тэарэмы існавання і адзінасці рашэння выконваюцца.
Азначэнне. Калі ўсе функцыі fi(x)  0 на адрэзку [a, b], лінейная сістэма (1) называецца аднароднай (ЛАС). У адваротным выпадку сістэма называецца неаднароднай (ЛНС).
2º. Фундаментальная сістэма рашэнняў

Як у выпадку ЛАДР n-га парадку, агульнае рашэнне ЛАС можа быць пабудавана з дапамогай частковых рашэнняў ЛАС, калі яны складаюць лінейна незалежную на адрэзку [a, b] сістэму.

Рашэннем сістэмы n дыферэнцыяльных раўнанняў з'яўляецца функцыянальны вектар y1(x), y2(x), ..., yn(x), які задавальняе сістэме.
Азначэнне. Сістэма функцыянальных вектараў

(2)

называецца лінейна незалежнай на адрэзку [a, b], калі не існуе такіх адначасова роўных нулю лікаў 1, 2, ..., n, пры якіх на [a, b] выконваюцца n роўнасцяў



(3)
Азначэнне. Сукупнасць n лінейна незалежных на адрэзку [a, b] рашэнняў ЛАС называецца
Аналагічна выпадку ЛАДР n–га парадку мае месца
Тэарэма 1. Для таго, каб сістэма рашэнняў ЛАС

(4)

была лінейна незалежнай на адрэзку [a, b], неабходна і дастаткова, каб дэтермінант



W(x) = (5)

не абарочваўся ў нуль у якім-небудзь пункце адрэзку [a, b].



Без доказу.
Азначэнне. Дэтермінант W(x) (5) называецца

для функцыянальных вектараў (2).


Мае месца

Тэарэма 2. Калі фундаментальная сістэма (4) рашэнняў ЛАС вядома, агульнае рашэнне ЛАС можа быць пабудавана па формуле

(6)

дзе C1, C2, …, Cn — адвольныя канстанты.



Без доказу.
3º. Інтэграванне ЛАС з пастаяннымі каэфіцыентамі. Паняцце аб метадзе Эйлера

Разгледзім ЛАС выгляду

(7)

дзе aij — сапраўдныя лікі.

Знайсці агульнае рашэнне ЛАС можна некалькімі метадамі. Калі сістэма мае зручны выгляд, можна скарыстаць метад непасрэднага інтэгравання, ці метад паслядоўнага выключэння.

Азнаёмімся з метадам Эйлера знаходжання фундаментальнай сістэмы рашэнняў сістэмы (7), якім можна карыстацца ў любым выпадку.

Рашэнне сістэмы (1) будзем шукаць у выглядзе

(8)


дзе , 1, 2, ..., n — невядомыя лікі.

Падстаўляем (8) у (7), скарачаем на і атрымліваем наступную сістэму алгебраічных раўнанняў для знаходжання лікаў 1, 2, ..., n



(9)

Сістэма (9) мае нетрывіяльная рашэнне толькі ў выпадку, калі



= 0. (10)

Азначэнне. Раўнанне, якое задаецца формулай (10), называецца характарыстычным раўнаннем (ХР), а яго карані — характарыстычнымі лікамі ЛАС (7).

Разгледзім тры выпадкі:

а) усе карані ХР сапраўдныя і розныя;

б) усе карані ХР розныя, але магчымы камплексныя;

в) сярод каранёў ХР сустракаюцца кратныя.
4º. Метад Эйлера. Выпадак розных сапраўдных каранёў ХР

Калі карані ХР 1, 2, ..., n з'яўляюцца сапраўднымі і рознымі, падстаўляем іх па чарзе ў сістэму (9) і знаходзім адпаведныя рашэнні 1, 2, ..., n.

Кораню 1 будзе адпавядаць рашэнне сістэмы 11, 12, ..., 1n,

кораню 2 будзе адпавядаць рашэнне сістэмы 21, 22, ..., 2n, і г.д.,

кораню n будзе адпавядаць рашэнне сістэмы n1, n2, ..., nn.

Адпаведна будуюцца частковыя рашэнні

Агульнае рашэнне будуецца па тэарэме 2.
Прыклад 1.

Рашэнне сістэмы шукаем у выглядзе .

Характарыстычнае раўнанне мае выгляд

Карані 1 = 2, 2 = 3.

Будуем сістэму для знаходжання 1, 2 па 1 = 2:

Сістэма зводзіцца да аднаго раўнання . Адзін з лікаў можна абіраць адвольна. Лічым 1 = 1, 2 = 1, адпаведнае рашэнне ЛАС

Для кораня 2 = 3 . Лічым 1 = 1, 2 = 2, адпаведнае рашэнне ЛАС

Агульнае рашэнне




5º. Метад Эйлера. Выпадак розных каранёў ХР, сярод якіх ёсць камплексныя

Пакажам, як знайсці сапраўдныя рашэнні ЛАС (7), якія адпавядаюць камплексным караням ХР кратнасці 1.

Няхай ХР мае камплексны корань 1 = a + ib. Тады абавязкова ХР мае і камплексны спалучаны корань 2a – ib. Знойдзем пару рашэнняў сістэмы (7), якая адпавядае гэтай пары каранёў ХР.

Карыстаемся формай (8) рашэння.

Камплексны корань 1 = a + ib падстаўляем у сістэму (9) і знаходзім адпаведныя лікі 1, 2, ..., n, магчыма камплексныя.

Будуем камплекснае частковае рашэнне сістэмы (7), якое адпавядае кораню 1,



. (11)

Можна даказаць, што сапраўдная і ўяўная часткі камплекснага рашэння (11), з'яўляюцца лінейна незалежнымі рашэннямі зыходнай сістэмы (7).


Прыклад 2.

Будуем ХР


Карані 1 = i, 2 = –i.

Будуем камплекснае рашэнне для кораня 1 = i

.

Будуем сістэму для знаходжання 1, 2 па 1 = i


Маем . Лічым 1 = 1, 2 = i, адпаведнае рашэнне ЛАС

Знойдзем сапраўдную і ўяўную часткі рашэння

Агульнае рашэнне




6º. Метад Эйлера. Выпадак, калі сярод каранёў ХР сустракаюцца кратныя
У выпадку, калі сярод каранёў ХР ЛАС сустракаюцца кратныя, карыстаюцца наступным рэзультатам.

Тэарэма 3. Калі корань ХР ЛАС з пастаяннымі каэфіцыентамі мае корань кратнасці k, яму адпавядае рашэнне сістэмы (7) выгляду

(11)


дзе — мнагасклады ступені не вышэй k – 1, якія маюць у сукупнасці k адвольных каэфіцыентаў.

Без доказу.
Калі — сапраўдны корань, то з (11) атрымліваюцца k лінейна незалежных рашэнняў ЛАС (7).

Калі — камплексны корань, то і рашэнні (11) камплексныя. Трэба вылучаць сапраўдную і ўяўную часткі камплексных рашэнняў і знайсці 2k рашэнняў, якія адпавядаюць камплекснаму караню і спалучанаму караню.


Прыклад 3.

Будуем ХР

Карані ХР 1 = 1, 2,3 = –2.

Для кораня 1 = 1 з сістэмы (9) атрымліваем .

Лічым 1 = 1, 2 = 1, 3 = 1, адпаведнае рашэнне

.

Для кораня = –2 кратнасці k = 2 рашэнне шукаем у выглядзе

Падстаўляем у зыходнае раўнанне і атрымліваем

A = C = E = 0, F = – BD.

Таму маем рашэнне выгляду



.

Каб атрымаць два лінейна незалежныя рашэнні, спачатку бярэм B = 1, D = 0, а потым B = 0, D = 1:



,

.

Агульнае рашэнне





§ 27. Увядзенне элементарных функцый з дапамогай дыферэнцыяльных раўнанняў
1. Асноўныя паняцці

Існуюць элементарныя функцыі, якія можна азначыць рознымі спосабамі. Напрыклад, трыганаметрычныя функцыі sin x, cos x можна ўвесці як стасункі паміж старанамі прамавугольнага трохвугольніка і як сумы адпаведных ступянёвых шэрагаў.

У гэтым параграфе мы разгледзім аналітычны падыход да азначэння элементарных функцый, які грунтуецца на выкарыстанні тэорыі дыферэнцыяльных раўнанняў. Сутнасць падыхода ў тым, што функцыю можна азначыць як рашэнне задачы Кашы для пэўнага дыферэнцыяльнага раўнання і аналітычна вывесці ўсе яе ўласцівасці.

Будзем выкарыстоўваць наступныя дапаможныя рэзультаты з тэорыі дыферэнцыяльнах раўнанняў.

Няхай зададзена ЛАДР n–га парадку з пастаяннымі каэфіцыентамі

(1)


дзе p1, p2, …, p n — канстанты,

y = y(x) — невядомая функцыя,

і пачатковыя ўмовы
y(x0) = y0,

y(x0) = y0, (2)

... ... ...

y(n–1)(x0) = y(n–1)0.

Мае месца



Тэарэма (Пікара для ЛАДР n–га парадку з пастаяннымі каэфіцыентамі).

Задача Кашы (1), (2) мае на прамежку (– , + ) адзінае n разоў дыферэнцавальнае рашэнне.


Вынік 1. Калі пачатковыя ўмовы (2) нулявыя (y0 = y0 = ... = y(n–1)0 = 0), тады рашэнне задачы (1), (2) трывіяльнае (нулявое).

Доказ. Трывіяльная (нулявая) функцыя рашэннем задачы (1), (2) з'яўляецца, а па тэарэме такое рашэнне адзінае.

Вынік 2. Рашэнне задачы Кашы (1), (2) мае непарыўныя вытворныя любога парадку.

Доказ. З (1) вынікае роўнасць

y(n) = – p1y(n–1) p2y(n–2) – … – pny .

Правая частка роўнасці мае вытворную, значыцца, мае вытворную і левая частка. Дыферэнцыруем роўнасць. Г.зн. існуе вытворная y(n +1). І гэтак далей.



2. Паказнікавая фукнцыя (экспанента)

Разгледзім задачу Кашы



y – y = 0, (3)

y(0) = 1.

Па тэарэме існуе адзінае рашэнне гэтай задачы. Абазначым яго праз e(x).

Пакажам, што гэтае рашэнне мае ўсе ўласцівасці функцыі ex (экспаненты).

1)

Сапраўды, з дыферэнцыяльнага раўнання маем роўнасць e(x) = e(x). Дыферэн­цаваннем з яе атрымліваем e(x) = e(x), ці e (x) = e(x) = e(x). Г.зн. e(x) = e(x) і г.д.


2)

Спачатку пакажам, што e(x)  0. Ад супраціўнага.

Няхай існуе пункт x1 такі, што e(x1) = 0. Тады разгледзім задачу Кашы

y – y = 0, y(x1) = 0.

Гэтая задача, згодна з вынікам 1, мае толькі трывіяльнае рашэнне y(x)  0. Але гэтая функцыя не можа быць рашэннем задачы (3), паколькі там ўмова y(0) = 1. Такім чынам, e(x)  0 для любога x.

Пакажам цяпер, што e(x) не можа быць меней за 0. Зноў ад супраціўнага.

Дапусцім, што існуе пункт x2 такі, што e(x2) < 0. Але ў пункце 0 маем e(0) = 1. Тады па тэарэме Бальцана-Кашы для непарыўнай функцыі e(x) паміж пунктамі x2 і 0 існуе пункт x3, дзе e(x3) = 0. А мы ўжо паказалі, што гэта немагчыма.


3)

З дыферэнцыяльнага раўнання для e(x) маем e(x) = e(x). Тады з няроўнасці



e(x) > 0 вынікае няроўнасць e(x) > 0. Гэтага дастаткова.

4)


Роўнасць называецца тэарэмай складання.

Для доказу ўводзім дапаможную функцыю v(x) = e(x + a) – e(x)e(a) і пакажам, што v(x)  0. Для гэтага пакажам, што v(x) з'яўляецца рашэннем задачы Кашы



y – y = 0, y(0) = 0. (4)

Знаходзім выраз для вытворнай



v(x) = e(x + a) – e(x)e(a).

Карыстаючыся дыферэнцыяльным раўнаннем для e(x), робім замену вытворных e(x + a), e(x) на функцыі e(x + a) і e(x). Атрымліваем



v(x) = e(x + a) – e(x)e(a) = v(x).

Г. зн. v(x) задавальняе раўнанню y – y = 0.

Знойдзем v(0):

v(0) = e(0 + a) – e(0)e(a) = e(a) – 1e(a) = 0.

Такім чынам, v(x) — рашэнне задачы (4) і па выніку 1 v(x)  0, г. зн.



v(x) = e(x + a) – e(x)e(a)  0  e(x + a)  e(x)e(a).
3. Трыганаметрычныя функцыі sinx і cosx

Разгледзім дзве задачы Кашы



y' + y = 0, (5)

y(0) = 0, y'(0) = 1; (6)

y' + y = 0, (5)

y(0) = 1, y'(0) = 0. (7)

Рашэнні задач існуюць па тэарэме.

Абазначым рашэнне задачы (5), (6) праз s(x), а рашэнне задачы (5), (7) праз c(x).

Пакажам, што s(x) мае ўсе ўласцівасці функцыі sin x, а функцыя c(x) — уласці­васці cos x.


1)

Паколькі па выніку 2 рашэнне задачы Кашы (5), (6) мае вытворныя любога парадку, раўнанне (5) для s(x) у выглядзе



s''(x) + s(x) = 0

дыферэнцыруем. Атрымліваем раўнанне

(s''(x))' +s'(x) = 0 ці (s'(x))'' + s'(x) = 0.

Г. зн., што функцыя u(x) = s'(x) з'яўляецца рашэннем раўнання (5), паколькі



u''(x) + u(x) = 0.

Для функцыі u(x) знойдзем пачатковыя умовы:



u(0) = s'(0) ={ другая з умоў (6) } = 1,

u'(0) = s''(0) ={ карыстаемся раўнаннем (5) } = – s(0) = { першая з умоў (6) } = 0.

Такім чынам, u(x) з'яўляецца рашэннем задачы (5), (7) і з адзінасці рашэння вынікае u(x) = c(x), ці s'(x) = c(x).

Аналагічна даказываецца роўнасць с'(x) = – s(x) (даказаць самастойна).

2)


Абсягі азначэння функцый s(x) і c(x) роўныя мноству сапраўдных лікаў R. Мноства R сіметрычнае адносна пункта 0.

Пакажам, што c(x) = c(– x) для любога xR (цотнасць функцыі c(x) ).

Будуем дапаможную функцыю

w(x)  c(x) – c(–x).

Пакажам, што яна з'яўляецца рашэннем задачы Кашы



y'' + y = 0, (5)

y(0) = 0, y'(0) = 0. (8)

Маем w''(x) = (c(x))'' – (c(–x))''.

Карыстаемся раўнаннем (5) у выглядзе y''(x) = – y(x) для c(x) і для c(–x). Такім чынам вызваляемся ад вытворных другога парадку:

w''(x) = – c(x) + c(– x).

Падстаўляем w(x) і w''(x) у (5):



w''(x) + w(x)  [– c(x) + c(– x)] + [c(x) – c(– x)] = 0.

Правяраем пачатковыя ўмовы



w(0)  c(0) – c(– 0) = 0,

w'(x)  (c(x))' – (c(– x))' = c'(x) + c'(– x) = – s(x) – s(– x),

w'(0) = – s(0) – s(– 0) = 0 – 0 = 0.

Такім чынам, w(x)  c(x) – c(– x) з'яўляецца рашэннем задачы Кашы (5), (8), г. зн. трывіяльнай функцыяй (w(x)  0). Адкуль маем c(x) = c(– x).

Роўнасць s(x) = – s(– x) даказаць самастойна.

3)

Будуем дапаможную функцыю



u(x) = s2(x) + c2(x).

Знойдзем яе вытворную



u'(x) = 2s(x)s'(x) + 2c(x)c'(x) = 2s(x)c(x) + 2c(x)(– s(x)) = 0.

Атрымалі, што u(x) = const на R.

Але u(0) = s2(0) + c2(0) = 0 + 1 = 1  u(x)  1 для любога xR.

4)
для любых x, aR.

Формулы вядомыя як тэарэмы складання.

Дакажам формулу для c(x + a).

Уводзім функцыю

v(x)  c(x + a) – c(x)c(a) + s(x)s(a).

Правяраем, ці задавальняе яна раўнанню (5).

Знаходзім вытворную другога парадку:

v'(x) = c'(x + a) – c'(x)c(a) + s'(x)s(a) = – s(x + a) + s(x)c(a) + c(x)s(a),

v''(x) = – s'(x + a) + s'(x)c(a) + c'(x)s(a) = – c(x + a) + c(x)c(a) – s(x)s(a).

Падстаўляем v(x) і v''(x) у (5). Маем



v''(x) + v(x) = 0.

А зараз пра пачатковы ўмовы:



v(0)  c(0 + a) – c(0)c(a) + s(0)s(a) = c(a) – 1·c(a) + 0·s(a) = 0.

v'(0) = – s(0 + a) + s(0)c(a) + c(0)s(a) = – s(a) + 0·c(a) + 1·s(a) = 0.

Функцыя


v(x)  c(x + a) – c(x)c(a) + s(x)s(a)

з'яўляецца рашэннем задачы Кашы (5), (8) і павінна быць нулявой. Адсюль і вынікае канчатковы рэзультат.



Доказ першай формулы зрабіць самастойна.

Аналагічна можна даказаць перыядычнасць і іншыя ўласцівасці.


База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка