Вопрос Как расположить числа,,,, sin, cos, tg, ctg в порядке возрастания?




Дата канвертавання18.04.2016
Памер50.29 Kb.
Вопрос 1. Как расположить числа , , , , sin , cos , tg , ctg  в порядке возрастания?

Ответ. Как всегда, прежде чем начинать вычисления, попытайтесь понять, о чем нас спрашивают. Взято некоторое число . Затем к нему применяют различные операции – извлечение квадратного корня, возведение в «минус первую степень», взятие двоичного логарифма, нахождение значений тригонометрических операций с этим числом. Для ответа на вопрос надо вспомнить, как осуществляются операции. При этом часто мы не можем указать точное значение результата, но для задачи достаточно найти приближенное значение.

1) . Зная, что   3,14, отметим, что   0,52, т. е. чуть больше половины.

2) . Извлекая квадратный корень из числа, меньшего единицы, мы увеличим это число. Прикинув, что 0,72 = 0,49, заметим, что чуть больше, чем 0,7.

3) . «Минус первая» степень дроби – это ее переворачивание. Число, обратное к 0,5, это 2, значит чуть меньше числа 2.

4) . Надо прежде всего сравнить с нулем – логарифмы по основанию 2 (и любому основанию, большему 1) чисел, меньших 1, отрицательны. Пока хватит информации  < 0. Однако, помня, что    и , получим, что .

5–8) Наконец, мы дошли до тригонометрии. На этом этапе мы рассматриваем синус, косинус, тангенс и котангенс как некоторые операции над числами, вычислять значения которых надо уметь.

Прежде всего, надо помнить, что для чисел, соответствующих углам в 0, 30, 45, 60 и 90 градусов, эти значения известны из планиметрии. Лучше их помнить наизусть. соответствует 30, sin 30 =  (катет, лежащий против угла 30, равен половине гипотенузы). Значения других операций можно найти, зная значения синуса: cos  = ; tg  =   0,6; ctg  =   1,7.

Сделанных вычислений достаточно. Выпишем числа:

0,52; 0,7; 2; –1; 0,5; 0,85; 0,6; 1,7.

Запишем ответ:  < sin  <  < tg  <  < cos  < ctg  < .

Вопрос 2. Как вычисляются значения тригонометрических операций?

Ответ. Полезно помнить следующие простые случаи.

1) Исходное число равно 0, , , , – см. предыдущий вопрос.

2) С помощью периодичности и формул приведения (придется их повторить) исходное число сводится к указанным выше.

3) Известно значение одной операции, тогда можно найти значения всех других с точностью до знака. Для определения знака нужна дополнительная информация (например, знание четверти, в которое лежит данное число).

По известному синусу (косинусу) все находится легко (см. пред. вопрос). Сложнее, если задан тангенс (котангенс). Полезно держать в памяти формулу 1 + tg2 =  (или ).

4) Применяются формулы сложения и удвоения аргумента, которые позволяют расширить набор исходных значений, для которых можно без применения калькулятора найти значения тригонометрических операций. Все эти формулы запомнить трудно, но полезно помнить их структуру, внешний вид.


Вопрос 3. 1) Вычислите .

2) Вычислите sin 750 + cos 420.

3) Найдите значение выражения 4 sin2x + 2 cos2x, если cos x = –0,2.

4) Найдите значение выражения 3 – ctg2x  sin2x, если cos x = 0,2.

5) Вычислите .

6) Вычислите .

7) Вычислите .

8) Упростите выражение .

9) Упростите выражение .

10) Упростите выражение .

11) Упростите выражение .

12) Найдите значение выражения sin ( – ) + 2 cos  sin  при  = 12,  = 18.

13) Найдите cos , если tg  = 2 и угол  лежит в третьей четверти.

Ответ. 1) ; ctg  = 1; cos  = 0. Ответ: 5 – 1 + 0 = 4.

2) sin 30 = ; cos 60 = . Ответ:  +  – 1.

3) 4 sin2x + 2 cos2x = 4 – 4 cos2x + 2 cos2x = 4 – 2 cos2x.

Ответ: 4 – 2  0,04 = 3,92.

4) ctg2x  sin2x = . 3 – cos2x.

Ответ: 3 – 0,04 = 2,96.

5) Стоит разность выражений типа sin  cos. Это синус разности. (Полезно запомнить, что у синуса суммы или разности стоит между слагаемыми знак + или –, а у косинуса наоборот – у суммы минус, а у разности плюс.)

Ответ: sin (63 – 33) = sin 30 = .

6) sin 37  cos 37 – это половина синуса 74. После этого, вычислив половину, получим синус суммы.

Ответ: sin (16 + 74) = sin 90 = .

7) Формула удвоения. Ответ: 2  sin 30 = 1.

8) . Уничтожится член . Ответ: .

9) Первые два слагаемых дадут cos (4 + 2) = cos 6. Второе слагаемое равно –sin 6. К сожалению, слагаемые не подобны. Ответ: cos 6 – sin 6.

10) Кругом двойные углы. Ответ:  = tg 2.

11) Полезно помнить, что (sin  + cos )2 преобразуется к синусу двойного угла. sin2 + 2 sin  cos  + cos2 = 1 + sin 2. Ответ: 1.



12) Раскрыв синус разности и приведя подобные члены, получим синус суммы. Ответ: sin ( + ) = sin 30 = .

13) Твердо помня простую формулу 1 + tg2 = , найдем cos2 = . Учитывая условие того, что  лежит в третьей четверти, где косинус отрицателен, пишем ответ .


База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка