Вызначаны інтэграл раўнамерная непарыўнасць функцыі Няхай функцыя f непарыўная ў некаторым пункце Х




Дата канвертавання01.05.2016
Памер251.26 Kb.
Глава 2. Вызначаны інтэграл
§1. Раўнамерная непарыўнасць функцыі
Няхай функцыя f непарыўная ў некаторым пункце хо мноства Х, г.зн. (xX)(x  xo)f(x)  f(xo) . (1)

Вядома, што  залежыць ад выбара ліку . Але можна паказаць, што  залежыь і ад выбар пункта хо,у якім азначана непарыўнасць функцыі f (самастойна “К.мат.ана.”, т.1, гл.IY, §12).



Узнікае пытанне: ці існуе непарыўная на прамежку Х функцыя , для якой для кожнага  > 0 можна знайсці адпаведнае  > 0, якое бы не залежыла ад зменнай х, г.зн. адно і тояжа для ўсіх пунктаў х  Х ?

Адказ у азначэнні раўнамернай непарыўнасці функцыі.



Азначэнне 1. Функцыя f называецца раўнамерна непарыўнай на прамежку Х, калі для кожнага  > 0 знойдзецца такое  > 0, што для любых двух пунктаў х1, х2  Х, якія задавальняюць няроўнасці x1  x2, выконваецца няроўнасць f(x1)  f(x2) :

(x12X)(x1  x2)f(x1  f(x2) . (2)



Заўвага. Калі функцыя f раўнамерна непарыўная на прамежку Х, то яна і непарыўная ў кожным х  Х.
Геаметрычгы сэнс раўнамернай непарыўнасці функцыі

Уявіце сябе тонкі , але цвёрды прут. Трэба зрабіць муфту даўжыні  з цыліндрычнай адтуліна й дыяметра , якая магла бы легка рухацца ўздоўж прута ад пункта А(a,f(a)) да пункта В(b,f(b)) і занімала становішча, пры якім яе вось была паралельна восі Ох. Даўжыня  залежыць толькі ад  - дыяметра адтуліны. Чым меней , тым карацей муфта.

Рысунак.

Тэарэма Кантара. Калі функцыя f непарыўная на адрэзку [a,b], то яна раўнамерна непарыўная на гэтым адрэзку.

 метадам ад працілеглага.

Няхай функцыя f непарыўная на адрэзку [a,b], але не з’яўляецца раўнамерна непарыўная на гэтым адрэзку. Гэта значыць, што для некаторага  > 0 і любога як мага малога > 0, знойдуцца два пункты х1, х2  [a,b] такіе, што з няроўнасці x1  x2  няроўнасць f(x1)  f(x2)  . (3)

Выбярэм бясконца малую паслядоўнасць . Будзем сцвярджаць, што для заданага  > 0 і любога n  N знойдуцца два пункты х1n, х2n  [a,b] такіе,што для іх выконваецца няроўнасць x1n  x2nn= , (4)але  няроўнасць f(x1n)  f(x2n)   (3*). Мы атрымалі на адрэзку [a,b] дзве паслядоўнасці (х1n) (5) , (х2n) (6). Будзем лічыць, што паслядоўнасць (5) збягаецца да ліку хо  [a,b], г.зн. х1n - хо  0, калі n   (7). Пакажам, што і паслядоўнасць (6) збягаецца да хо, г.зн., што х2n - хо  0, калі n  .

х2n - хо = х2n + x1n - x1n - хо  х2n – хo   х2n - x1n +  x1n - хо.

Адпаведна няроўнасці (4) і сцвярджэння (7) х2n - x1n , х1nо  0 х2n  хо. Мы даказалі, што абедзве паслядоўнасці (х1n) і (х2n) збягаюцца да аднаго ліку х о. Паслядоўнасці (х1n) і (х2n) абмежаваныя і таму для іх працуе тэарэма Бальцана-Кашы, г.зн. можна вылучыць збежныя падпаслядоўнасці (х1nk) i (х2nk), якія таксама збягаюцца да хо. Паколькі фуекцыя f непарыўная ў кожным пункце адрэзка [a,b], то яна непарыўная і ў пункце хо. Адпаведна азначэння паводле Гайнэ паслядоўнасці значэнняў функцыі (f(х1nk)) i (f(х2nk)) павінны імкнуцца да f(хо), а іх рознасць f(х1nk)  f(х2nk) , калі n  . Гэта супярэчыць няроўнасці (3*): f(x1n)  f(x2n)   n у тым ліку і для nk.

Атрыманая супярэчнасць даказвае памылковасць дапушчэння аб тым, што функцыя f не з’яўляецца раўнамерна непарыўнай.

§2. Паняцце вызначаннага інтэграла

п1. Задачы, якія прыводзяць да вызначанага інтэграла

Задача 1. Аб знаходжанні плошчы крывалінейнай трапецыі.

Азначэнне 1. Фігура, абмежаваная прамымі х = а, х = b, y = 0, графікам функцыі y = f(x) (f(x)  x [a,b]), называецца крывалінейнай трапецыяй.

Няхай на адрэзку [a,b] задана непарыўная функцыя f: f(x)  x [a,b].

Выканаем Т – разбіўку адрэзка пунктамі а = хо< х1 < …< хn = b; адрэзак [xk-1, хk] – k – частковы адрэзак разбіўкі Т,

хk = xk - хk-1 – даўжыня k – частковага адрэзку,  = max { хk }, k  N . У кожным k – частковым адрэзку выбярэм адвольныя пункты k  [xk-1, хk], вылічым значэнне функцыі ў кожным пункце k і саставім здабытак f(k) хk - плошча прамавугольніка з вышынёю f(k) і асновай хk .

Сума f(1) х1 + f(2) х2 + … + f(k) хk + … +f(n) хn = = Sn лікава роўна плошчы прыступкавай фігуры, якая складаецца з прамавугольнікаў f(k) хk . Чым меней , тым бліжэй плошча прыступкавай фігуры набліжаецца да плошчы крывалінейнай трапецыі. Таму за плошчу крывалінейнай трапецыі прымем велічыню S:

S = . (1)

Самастойна падрыхтавацць рашэнне задач 2 і 3 па знаходжанню шляху па заданай хуткасці і работы.
п2. Паняцце вызначанага інтэграла
Няхай на адрэзку [a,b] задана непарыўная функцыя f: f(x)  x [a,b].

Выканаем Т – разбіўку адрэзка [a,b] пунктамі а = хо< х1 < …< хn = b; адрэзак [xk-1, хk] – адрэзак [xk-1, хk] – k – частковы адрэзак разбіўкі Т,

хk = xk - хk-1 – даўжыня k – частковага адрэзку,  = max { хk }, k  N . У кожным k – частковым адрэзку выбярэм адвольныя пункты k  [xk-1, хk].

Саставім суму I(T,f, k) = . (2)

Cума (2) называецца інтэгральнай сумай функцыі f на адрэзку [a,b], якая адпавядае разіўцы Т і выбару пункта k. Яе яшчэ называюць сумай Рымана.

Азначэнне 2. Лік І называецца лімітам інтэгральнай сумы I(T,f, k) функцыі f на адрэзку [a,b] пры , калі  >   > , што як толькі  < , то мае месца няроўнасць І - I(T,f, k)  < : (3)

= .

Азначэнне 3. Калі існуе концавы ліміт І інтэгральнай сумы, які не залежыць ад Т – разбіўцы і ад выбара пунктаў k, то ён называецца вызначаным інтэгралам функцыі fна адрэзку [a,b] і абазначаецца сімвалам

: = . (4)

Геаметрычны сэнс: вызначаны інтэграл – плошча крывалінейнай трапецыі.

Заўвага. Калі існуе ліміт (4), то кажуць, што функцыя f інтэгравальная на адрэзку [a,b] ( па Рыману); a , b адпаведна ніжняя і верхняя межы інтэгравання, f(x) – падынтагральная функцыя, х – зменная інтэгравання.

Прыклад 1. Карыстаючысь азначэннем (3), вылічыць вызначаны інтэграл ад функцыі у = с – канстанты.

Прыклад 2. Карыстаючысь азначэннем (3), вылічыць вызначаны інтэграл .

Тэарэма 1 (неабходная ўмова інтэгравальнасці функцыі). Калі функцыя f інтэгравальная на адрэзку [a,b], то яна абмежаваная на гэтым адрэзку.



Вынік. Вызначаны інтэграл ад неабмежаванай функцыі не існуе.



Заўвага 1. Умова абмежаванасці на адрэзку [a,b] функцыі f не з’яўляецца дастатковай умовай яе інтэгравальнасці.
Прыклад. Функцыя Дзірыхле

з’яўляецца абмежаванай для x [a,b], але дакажам, што яна не з’яўляецца інтэгравальнай на [a,b].

Зробім Т – разбіўку адрэзк [a,b].

Няхай k  Q, I(T,f, k) = = 1 (b - a). Калі k І, то

I(T,f, k) = = 0. не існуе. Такім чынам залежыць ад выбара пункта k, што супярэчыць азначэнню (3), а з гэтага вынікае, што функцыя Дзірыхле не з’яўляецца інтэгравальнай на [a,b].


§3. Сумы Дарбу і іх уласцівасці

п1. Паняцце сум Дарбу

Няхай на адрэзку [a,b] азначана непарыўная функцыя f. Па І т.Вайерштраса яна абмежаваная на ім, а г.зн. абмежаваная на кожным частковым адрэзку.

Выканаем Т –разбіўку адрэзка пунктамі а = хо< х1 < …< хk < …< хn = b, адрэзак [xk-1, хk] – k – частковы адрэзак разбіўкі Т. Па ІІ т. Вайерштраса на кожным частковым адрэзку існуюць дакладная ніжняя і верхняя межы мноства значэнняў функцыі f : mk = inf{f(x)}, Mk = sup{f(x)}.

Азначэнне 1. Сумы:

s = m1x1 + m2x2 + …+mkxk + … + mnxn = (1)

i S = M1x1 + M2x2 + …+ Mkxk + … + Mnxn = (2)

называюцца адпаведна ніжняй і верхняй сумамі Дарбу функцыі f разбіўкі Т адрэзка [a,b].

Паколькі f непарыўная функцыя , то s i S – інтэгральныя сумы.

Геаметрычны сэнс: ніжняя сума Дарбу – плошча прыступкавай фігуры, якая ўпісана ў крывалінейную трапецыю і складаецца з прамавугольнікаў з асновамі xk і вышынямі mk; верхняя сума Дарбу – плошча прыступкавай фігуры, у якую ўпісана крывалінейная трапецыя і якая складаецца з прамавыгольнікаў з асновамі xk і вышынямі Mk.

п1. Уласцівасці сум Дарбу

Няхай s, S, I(T,f, k) – сумы Дарбу і інтэгральная сума Рымана.



Лема 1. Для любой Т – разбіўкі адрэзка [a,b] маюць месца няроўнасці:

а) s  I(T,f, k)  S;

б) s  S.



Лема 2. Пры павялічэнні пунктаў разбіўкі Т ніжняя сума Дарбу можа толька павялічваецца, а верхняя сума Дарбу толькі памяншацца.

 для ніжняй сумы Дарбу (для верхняй сумы Дарбу зрабіць самастойны доказ).
Малюнкі

Заўвага. Калі f(x) , то даказаная ўласцівасць мае геаметрычны сэнс: сума плошчаў прамавугольнікаў з асновамі [xk-1, х'] і [x', хk] не меней плошчы прамавугольнікаў з асновамі [xk-1, хk].

Лема 3. Ніжнія сумы Дарбу не болей верхніх сум Дарбу нават іншай разбіўкі.

Няхай s' i S' – ніжняя і верхняя сумы Дарбу разбіўкі Т',

s" i S" – ніжняя і верхняя сумы Дарбу разбіўкі Т",

s i S – ніжняя і верхняя сумы Дарбу разбіўкі Т.

Разбіўка Т аб’ядноўвае разбіўкі Т' і Т ".



Азначэнне 2. Ніжнім інтэгралам Дарбу называецца дакладная верхняя мяжа мноства ніжніх сум Дарбу {s} T – разбіўкі адрэзка [a,b] і абазначаецца I* = sup{s}.



Верхнім інтэгралам Дарбу называецца дакладная ніжняя мяжа мноства верхніх сум Дарбу {S} T – разбіўкі адрэзка [a,b] і абазначаецца I* = inf{S}.

Відавочна, што I*  I*. Таму на падставе уласцівасці inf і sup мае месца няроўнасць s  I*  I* S для любых ніжніх і верхніх сум Дарбу.



Лема 4. Для любых інтэгральных сум I(T,f, k) адпаведнай Т - разбіўкі адрэзка [a,b] маюць месца няроўнасці

 I(T,f, k) - I*  S – s i  I*- I(T,f, k)  S – s.



§4. Неабходныя і дастатковыя ўмовы інтэгравальнасці функцый.

Класы інтэгравальных функцый

Нагадаем азначэнне інтэгравальнай функцыі.



Тэарэма 1. Для таго, каб функцыя f была інтэгравальнай на адрэзку [a,b] неабходна і дастаткова , каб  >   > , што як толькі  < , то мае месца няроўнасць S - s < . (1)



Тэарэма 2. Для таго, каб функцыя f была інтэгравальнай на адрэзку [a,b] неабходна і дастаткова , каб на гэтым адрэзку былі роўныя ніжні і верхні інтэгралы Дарбу: I* = I*. (без доказа)


Класы інтэгравальных функцый

У §2 была даказана тэарэма аб абмежаванасці інтэгравальных функцый і была заўважана, што інтэгралы ад неабмежаваных функцый не існуюць.

Апішам тыя функцыі, які будуць інтэгравальны на адрэзку [a,b] па Рыману.

Тэарэма 3. Непарыўная на адрэзку [a,b] функцыя інтэгравальная на гэтым адрэзку.

Для доказа будзем карыстацца неабходнай і дастатковай умовай інтэгравальнасці, тэарэма Вайерштраса І і ІІ, паняцце раўнамернай непарыўнасці функцыі і тэарэмай Кантара.



Заўвага 1. Мноства ўсіх непарыўных на адрэзку [a,b] функцый абазначаецца C[a,b].

Паколькі кожная з непарыўных функцы інтэгравальная на адрэзку [a,b], то кажуць, што непарыўныя функцыі адносяцца да класу інтэгравальных функцый.



Заўвага 2. Можна даказаць, што функцыя, якая язначана на адрэзку [a,b] і якая мае на ім концавы пункт разрыву І роду (кускова-непарыўная функцыя) інтэгравальная на адрэзку [a,b].

Выснова. Кускова-непарыўная на адрэзку [a,b] функцыя інтэгравальная на гэтым адрэзку і таму адносяцца да класу тньэгравальных функцый..

Тэарэма 4. Манатонна на адрэзку [a,b] функцыя інтэгравальная на гэтым адрэзку.

 для нарастальнай функцыі.



Заўвага 4. Манатонныя на адрэзку [a,b] функцыі адносяцца да класу інтэгравальных функцый.
§5. Уласцівасці вызначанага інтэграла
У азначэнні вызначанага інтэграла лічылася, a < b. Будзем лічыць, што:

а) = - ; б) = 0.

1(адытыўнасць). , калі функцыі f i g інтэгравальныя на адрэзку [a,b].

2 (аднароднасць). = .

3 (лінейнасць). = + +…+.

4 (адытыўнасць на адрэзку). Калі f интэгравальная на адрэзку [a,b] функцыя, с  [a,b], то =+.

5 . Калі f iнтэгравальная на адрэзку [a,b] функцыя і x  [a,b] f(x)  0, то  0.

6. Калі f і g iнтэгравальныя на адрэзку [a,b] функцыі і x  [a,b]

f(x)  g(x) (f(x) < g(x) ), то ( < ).

7. Калі f интэгравальная на адрэзку [a,b], то   .

8 (Тэарэма аб сярэднім). Калі функцыя f непарыўная на на адрэзку [a,b], то існуе пункт с  [a,b] такі, што = f(c)(b - a).

9 (абагульнённая тэарэма аб сярэднім). Калі f і g непарыўныя на адрэзку [a,b] функцыі і g не мяняе свой знак на гэтым адрэзку, то існуе пункт с  [a,b] такі, што = f(c) .

Доказ уласцівасцей зрабіць самастойна.

§6. Вызначаны інтэграл са зменнай верхняй мяжой.

Існаванне першаіснай непарыўнай функцыі.

Формула Ньютана - Лейбніца
Няхай функцыя f непарыўная на адрэзку [a,b], г.зн. інтэгравальная на гэтым адрэзку і на кожным адрэзку [a,х]  [a,b]: а  х  b. Такім чынам існуе або , дзе адрэзку [a,х (акрамя х = а) – зменная велічыня.

Абазначым (х) = (1) і назавём гэты інтэграл інтэгралам са зменнай верхняй мяжой, а функцыю (х) – функцыяй верхняй мяжы, азначанай на адрэзку [a,b].



Тэарэма 1. Калі функцыя f непарыўная на адрэзку [a,b], то функцыя (1) дыферэнцавальная ў кожным пункце адрэзка [a,b], і пры гэтым

(х) = ( ) = f(x). (2)



Вынік 1. Усякая непарыўная на адрэзку [a,b] функцыя мае на ім першаісную. Адной з першаісных з’яўляецца функцыя (х) = .

Заўвага 1. Можна разглядзець і функцыю ніжняй мяжы:

(х) = =   (х) =  f(x).



Прыклад.

Заўвага 2. Геаметрычны сэнс інтэгралам са зменнай верхняй мяжой – плошча крывалінейнай трапецыі з асновай адрэзкам [a,х].
Асноўная формула інтэгральнага злічэння –

формула Ньютана – Лейбніца

Калі функцыя f непарыўная на адрэзку [a,b], то мае месца формула


= F(x)ab = F(b) – F(a) - формула Ньютана – Лейбніца.

Вывад формулы.
§7. Метады інтэгравання вызначаных інтэгралаў

Метад інтэгравання па частках

Тэарэма 1. Няхай функцыі u i v непарыўныя разам са сваімі вытворнымі на адрэзку [a,b], тады мае месца формула

= uvab - . (1)

Доказ зрабіць самастойна.



Прыклад.

Метад інтэгравання заменай зменнай

Тэарэма 2. Няхай функцыя f непарыўная на адрэзку [a,b], функцыя x = u(t) мае ўласцівасці:

  1. непарыўная разам з вытворнай u(t) на адрэзку [,];

  2. t [,] значэнні функцыі u(t) не выходзяць за межы адрэзка [a,b];

  3. u() = a, u() = b.

Тады мае месца формула:

= . (2)



Прыклады.




Інтэгральнае аэначэнне лагарыфма

У главе “Элементарныя функцыі” лагарыфмічная функцыя разгладалася як адваротная да паказнікавай.



Азначэнне 1. Лагарыфмам ліку x > 0 па аснове е называецца і абазначаецца lnx = . (1)

Азначэнне 2. Функцыя, значэнні якой можна знайсці па формуле (1), называецца лагарыфмічнай па аснове е і абазначаецца lnx, а азначэнне , якое задана раўнаннем (1), называецца інтэгральным азначэннем лагарыфма.

Па т.1 §6 (lnx)’ = ()’ = 1/x.




§9. Квадравальныя фігуры

п1. Плошча мнагавугольніка і яе ўласцівасці

Азначэнне 1. Мнагавугольнікам называецца фігура РR2, якую можна прадставіць у выглядзе аб’яднання концавага ліку трохвугольнікаў, якія не маю агульных нутраных пунктаў.

Прыклад.

Плошчу мнагавугольніка абазначым S(P).

У курсе геаметрыі было даказана, што існуе адзінае адлюстраванне S мноства мнагавугольнікаў у мноства сапраўдных лікаў, якое мае наступныя ўласцівасці:

1. Неадмоўнасць: для кожнага мнагавугольніка S(P)  0.

2. Інварыянтнасць: калі А = В, то S(А) = S(В).

3. Адытыўнасць: калі А і В не маюць агульных нутраных пунктаў, то S(АВ) = S(А) + S(В).

4. Нармаванасць: існуе мнагавугольнік адзінкавай плошчы

(,S(А)= 1), які называецца адзінкавым квадратам.

5. Манатоннасць: калі А  В , то S(А)  S(В).
п2. Паняцце квадравальнай фігуры

Няхай Р – фігура ў прасторы R2: P R2. Праз мноствы {A} i {B} абазначым адпаведна мноствы мнагавугольнікаў, якія змяшчаюцца ў Р і якія змяшчаюць Р: {A}Р, {В}  Р, а праз S(А) і S(В) – адпаведна плошчы такіх мнагавугольнікаў.

Паколькі кожны мнагавугольнік А змяшчаецца ў В, то А  В і па ўласцівасці манатоннасці S(А)  S(В) (1). Гэта значыць, што мноства {S(A)} абмежавана зверху плошчай любога мнагавугольніка В, а мноства {S(В)} абмежавана знізу плошчай любога мнагавугольніка А.

Абазначым sup{ S(А) } = S*(P) (2) , inf {S(В)} = S*(P) (3). Па уласцівасці sup і inf:

S(А)  S*(P), S(В)  S*(P)  S*(P)  S*(P).

Заўвага 1. Калі фігура Р не змяшчае ні воднага мнагавугольніка, то будзем лічыць, што S*(P) = 0, клі няма мнагавугольнікаў, якія змяшчаюць Р, то S*(P) = 0.

Азначэнне 2. S*(P) называецца нутраной плошчай (нутраной мерай) фігуры Р, а S*(P) – вонкавай плошчай (вонкавай мерай) фігуры Р.

Азначэнне 3. Калі выконваецца роўнасць S*(P) = S*(P) = S(P) (4), то фігура Р называецца квадравальнай, а лік S(P) – плошчай фігуры Р.

Азначэнне 4. Адлюстраванне (функцыя) S мноства квадравальных фігур у мноства сапраўдных лікаў: S : {P}  R, якое мае уласцівасці (1-5) называецца плошчай на класе квадравальных фігур.

Прыклады.

п3. Крытэрыі квадравальнасці фігуры

Тэарэма 1 (у тэрмінах мнагавугольнікаў). Для таго, каб фігура Р была квадравальнай і мела плошчу S(P), неабходна і дастаткова, каб існавалі дзве паслядоўнасці мнагавугольнікаў (An) i (Bn), якія адпаведна змяшчаюццца і змяшчаюць фігуру Р такія, што .



Тэарэма 2 (у тэрмінах квадравальных фігур). Для таго, каб фігура Р была квадравальнай, неабходна і дастаткова каб існавалі дзве паслядоўнасці квадравальных фігур (Qn) i (Pn), якія адпаведна змяшчаюццца і змяшчаюць фігуру Р такія, што . (без доказа)


§10. Вылічэнне плошчаў фігур

п1. Плошча фігуры ў дэкартавай сістэме каардынат
Няхай фігура Р – крывалінейная трапецыя - фігура, абмежаваная прамымі х = а, х = b, y = 0, графікам функцыі y = f(x) (f(x)  x [a,b]).

Тэарэма 1. Крывалінейная трапецыя – квадравальная фігура і яе плошча можа быць падлічана па формуле S(P) = .

 на падставе крытэрыя квадравальнасці ў тэрмінах мнагавугольнікаў.



Заўвага 1. Аналагічна можна паказаць, што плошча крывалінейнай трапецыі Р, якая абмежавана прамымі y = c, y = d, воссю х = 0 і графікам неадмоўнай , непарыўнай функцыі x = (y), знаходзіцца па формуле

S(P) = .



Заўвага 2. Любы мнагавугольнік – квадравальная фігура.
Вынік 1. Няхай фігура Р абмежавана прамымі х = а, х = b, y = 0, графікам функцыі y = f(x) (f(x)  x [a,b]), то фігура Р – квадравальная і яе плошча S(P) = .

Заўвага 3. У гэтым выпадку фігура Р не з’яўляецца крывалінейная трапецыяй.

Вынік 2. Няхай фігура Р абмежавана прамымі х = а, х = b і графікамі функцый y = f1(x) і y = f2(x) (f2(x) > f1(x)   x [a,b]), S(P) = .

Няхай функцыя f(x) задана параметрычна сістэмай .(1)

Функцыя (t) непарыўная разам са сваёй вытворнай і непарыўная на адрэзку [a,b], функцыя (t)0 t[,]. Г.зн. на адрэзку [a,b] задана непарыўная неадмоўная функцыя y = ( -1(x)), дзе a = (), b = (). Тады плошча крывалінейнай трапецыі, абмежаванай прамымі х = а, х = b і графікам функцыі, якая задана формуламі (1), знойдзецца па формуле

S(P) = . (2)



Заўвага 4. Фомулу (2) можна скарыстаць для вылічэння плошчы фігуры, абмежаванай замкнутай крывой, пры умове: уся крывая абыходзіцца адзіны раз па кірунку гадзінікавай стрэлкі, калі t[,].

Прыклад.
п2. Плошча фігуры ў палярнай сістэме каардынат
Тэарэма 1. Кругавы сектар – квадравальная фігура і яго плошча

S(P) = ½ R2  Sкруга = R2. (без док.)

Зададзім палярную сістэму каардынат. Няхай на адрэзку [,] задана непарыўная функцыя r = f(). Графік – плоская крывая.

Азначэнне 1. Фігура P, абмежаваная прамянямі  = ,  =  і графікам функцыі r = f(), называецца крывалінейным сектарам.

Тэарэма 2. Крывалінейны сектар – квадравальная фігура і яго плошча

S(P) = ½. (3)


Заўвага 5. Калі фігура P, абмежаваная прамянямі  = ,  =  і графікам функцый r = f1(), r = f2(), f2() > f1(), то 1) фігура Р не з'яўляецца крывалінейным сектарам, 2) S(P) = ½.

Прыклад.
§11. Кубавальныя целы

п1. Паняцце мнагагранніка і яго уласцівасці

Азначэнне 1. Мнагаграннікам называецца цела GR3, якое можна прадставіць у выглядзе аб’яднання концавага ліку трохвугольных пірамід, якія не маю агульных нутраных пунктаў.

Аб’ем мнагагранніка абазначым V(G).

У курсе геаметрыі было даказана, што існуе адзінае адлюстраванне V мноства мнагаграннікаў у мноства сапраўдных лікаў, якое мае наступныя ўласцівасці:

1. Неадмоўнасць: для кожнага мнагагранніка V(G)  0.

2. Інварыянтнасць: калі А = В, то V(А) = V(В).

3. Адытыўнасць: калі А і В не маюць агульных нутраных пунктаў, то V(АВ) = V(А) + V(В).

4. Нармаванасць: існуе мнагаграннік адзінкавага аб’ёму (,V(А)= 1), які называецца адзінкавым кубам.

5. Манатоннасць: калі А  В , то V(А)  V(В).


п2. Паняцце кубавальнага цела

Няхай G – цела ў прасторы R3: GR3. Праз мноствы {P} i {Q} абазначым адпаведна мноствы мнагаграннікаў, якія змяшчаюцца ў G і якія змяшчаюць G: {P} G, {Q}  G, а праз V(P) і V(Q) – адпаведна аб’ёмы такіх мнагаграннікаў.

Паколькі кожны мнагаграннік P змяшчаецца ў Q, то P  Q і па ўласцівасці манатоннасці V(P)  V(Q) (1). Гэта значыць, што мноства {V(P)} абмежавана зверху аб’ёмам любога мнагагранніка Q, а мноства {V(Q)} абмежавана знізу аб’ёмам любога мнагагранніка Р.

Абазначым sup{V(P)} = V*(G) (2) , inf {V(Q)} = V*(G) (3). Па уласцівасці sup і inf:

V(P)  V*(G), V(Q)  V*(G)  V*(G)  V*(g).

Заўвага 1. Калі цела G не змяшчае ні воднага мнагагранніка, то будзем лічыць, што V*(G) = 0, калі няма мнагаграннікаў, якія змяшчаюць G, то

V*(G) = 0.



Азначэнне 2. V*(G) называецца нутранным аб’ёмам (нутраной мерай) цела G, а V*(G) – вонкавым аб’ёмам (вонкавай мерай) цела G.

Азначэнне 3. Калі выконваецца роўнасць V*(G) = V*(G) = V(G) (4), то цела G называецца кубавальным, а лік V(G) – аб’ёмам цела G.

Азначэнне 4. Адлюстраванне (функцыя) V мноства кубавальных целаў у мноства сапраўдных лікаў: V : {G}  R, якое мае уласцівасці (1-5) называецца аб’ёмам на класе кубавальных целаў.

Прыклад.
п3. Крытэрыі кубавальнасці цела

Тэарэма 1 (у тэрмінах мнагаграннікаў). Для таго, каб цела G былo кубавальным і мела аб'ём V(G), неабходна і дастаткова, каб існавалі дзве паслядоўнасці мнагаграннікаў (Pn) i (Qn), якія адпаведна змяшчаюццца і змяшчаюць цела G такія, што . (без доказа)

Тэарэма 2 (у тэрмінах кубавальных целаў). Для таго, каб цела G было кубавальным, неабходна і дастаткова каб існавалі дзве паслядоўнасці кубавальных целаў (Pn) i (Qn), якія адпаведна змяшчаюццца і змяшчаюць цела G такія, што . (без доказа)
§12. Вылічэне аб’ёмаў некаторых целаў

п1. Аб'ём прамога цыліндра

Азначэнне 1. Прамым цыліндрам называецца цела, абмежаванае цыліндрычнай паверхняй, дзвюмя паралельнымі плоскасцямі; утваральная (образующая) паверхні перпендыкулярна гэтым плоскасцям, а самі плоскаці пры перасячэнні з паверхняй утвараюць некаторыя крывыя, якія называюцца кіроўнымі (направляющими). Фігуры, абмежаваныя гэтымі крывымі – асновы цыліндра.

Заўвага. Кіроўнымі могут быць розныя крывыя другога парадку.

Тэарэма 1. Прамы цыліндр – кубавальнае цела, а яго абўём вылічваецца па формуле: V(G) = S(P)H (1), дзе Р – квадравальная фігура, S(P) – плошча фігуры Р, Н – вышыня цыліндра. (без доказу)

п2. Аб'ём С-цела

Разгледзім цела G, якое заключана паміж плоскасцямі x = a, x = b, перпендыкулярнымі восі Ох, такое, што :

1) у сечывах гэтага цела плоскасцямі, якія праходзяць праз любыя пункты x  [a,b]  восі Ох, атрымліваюцца квадравальныя фігуры, плошчы якіх S(x);

2) S(x) непарыўная на [a,b] функцыя;

3) дзве праекцыі любых двух сечываю цела G умяшчаюцца адна ў адной.

Азначэнне 2. Цела, якое мае пералічаныя ўласцівасці будзем называць С – целам.

Прыклады.

Тэарэма 2. С – цела – кубавальнае цела і яго аб’ем можна вылічыць па формуле: . (2)



Заўвага 1. Формула (2) даёт магчымасць знайсці аб’ём цела праз плошчу папярэчнага сечыва.



Задача 1. Знайсці аб’ём піраміды з вышыней Н і асновай Р.

Задача 2. Знайсці формулу для вылічэння аб’ему цела абароту.

Задача 3. Знайсці аб’ём конуса.
§13. Даўжыня дугі крывой

п1. Даўжыня дугі ў дэкартавых каардынатах

Няхай крывая АВ задана раўнаннем y = f(x), x  [a,b], f(x) непарыўная на адрэзку [a,b] функцыя . Крывая АВ не мае пунктаў самаперасячэння.

Падзелім АВ пунктамі: A = Mo, M1,…, Mk, Mk+1,…, Mn = B. Злучым іх хордамі. Атрымаем ламаную, якая мае перыметр р. Найбольшы з яе звеньяў абазначым .

Азначэнне 1. Калі існуе концавы ліміт l перыметра р упісанай ў крывую ламанай пры  0: , то ён называецца даўжынёй крывой АВ.

Крывую, даўжыня якой існуе, называюць выпрастальнай (спрямляемой).



Тэарэма 1. Калі функцыя f(x) непарыўная разам са сваёй вытворнай f(x) на адрэзку [a,b], то крывая АВ выпрастальная і яе даўжыня можа быць падлічана па формуле:

(1)

 Бохан і др. Гл.Х, §2.


Няхай крывая АВ задана параметрычна формуламі . (2)

Функцыі (t) і (t) непарыўныя разам са сваімі вытворнымі на адрэзку [,], (t)  0, функцыя (t) манатонная на адрэзку [,], таму яна мае адваротную функцыю t = v(x) манатонную і непарыўную на адрэзку [a,b], дзе a = (), b = (), мае непарыўную вытворную v’(x) = . Тады функцыя y = (t) = ( v(x)) = f(x) непарыўная як складаная ад непарыўных функцый на адрэзку [a,b] разам са свёю вытворнай f ’(x). Вядома, што для функцыі, заданай параметрычна (3); dx = d((t)) = ’(t)dt. Падставім роўнасць (3) у формулу (1)  (4)



Формула (4) – формула даўжыні дугі, якая задана параметрычна.
п2. Даўжыня дугі ў палярных каардынатах

Няхай крывая АВ задана ў палярных каардынатах раўнаннем r = f()   [,]. Функцыя f() мае непарыўную вытворную f’() на адрэзку [,]. Пунктам А і В адпавядаюць пункты  і . Скарыстаем формулы пераходу



. Атрымалі параметрычнае заданне крывой АВ з параметрам . Знойдзем x’ i y’, падставім іх у формулу (4).

Формула (5) - формула даўжыні дугі ў палярных каардынатах.



Заўвага. Падынтэгральны выраз у формулах (1, 4, 5) называецца дыферэнцыялам дугі.
§14. Плошча паверхні абароту

Няхай на адрэзку [a,b] азначана непарыўная, дадатная, дыферэнцавальная функцыя y = f(x), графікам якой з’яўляецца крывая АВ. Пры абароце крывой АВ вакол восі Ох атрымаецца паверхня , якую называюць паверхняй абароту.

Зробім разбіўку адрэзка [a,b] пунктамі а = хо< х1 < …< хn = b,

хk = xk - хk-1,  = max { хk }, k = 0,1,2,….

Адпаведна крывая АВ разабьёцца пунктамі Mk(xk,f(xk)). Злучым пункты хордамі і атрымаем ламаную. Пры абароце яе вакол восі Ох атрымае паверхню Pn, якая з’яўляецца аб’яднаннем паверхняў ссечаных конусаў і цыліндраў, паверхні якіх вылічваюцца па адной з формул: Sc.к. = (r1 + r2)l;

Sц. = 2rl.



Азначэнне 1. Плошчай паверхні абароту будзем называць концавы ліміт плошчы абароту ламанай, калі : . (1)

Азначэнне 2. Калі існуе концавы ліміт (1), то паверхня называецца квадравальнай.

Тэарэма 1. Калі функцыя f(x) непарыўная разам са саей вытворнай на адрэзку [a,b], паверхня абароту графіка функцыі f(x) квадравальная, то плошчу паверхні абароту можна вылічыць па формуле:

або . (2)

 Бохан і др. Гл.Х, §4.



Вынік 1. Няхай функцыя f(x) задана параметрычна формуламі . (t), (t), ’(t) , ’(t) непарыўныя на адрэзку [,] функцыі, ’(t) 0, то (3)

Вынік 2. Няхай крывая АВ – графік функцыі f(x) задана ў палярных каардынатах раўнаннем r = f()   [,]. Функцыя f() мае непарыўную вытворную f’() на адрэзку [,]. Пунктам А і В адпавядаюць пункты  і . Скарыстаем формулы пераходу

. Атрымалі параметрычнае заданне крывой з параметрам . Тады . (4)

Прыклады.

§15. Неўласцівыя інтэгралы

п1. Неўласцівыя інтэгралы на неабмежаваных

прамежках (інтэгралы І роду)

Няхай функцыя f(х) азначаная і непарыўная на прамежку [a,+). Зафіксуем пункт b[a,+). Тады існуе інтэгра Рымана на адрэзку [a,b],



Азначэнне 1. Калі існуе канічны ліміт (1), то ён называецца неўласцівым інтэгралам І роду функцыі f(x) на прамежку [a,+) і абазначаецца (2):

. (3)

Калі ліміт (1) існуе, то неўласцівы інтэграл збягаецца, калі не існуе або роўны , то інтэграл (2) не існуе або разбежны.

Аналагічна азначаецца інтэграл на прамежках ( - ; b] i ( - ; + ):

= + .

Паколькі неўласцівы інтэграл азначаецца праз вызначаны інтэграл, то ён захоўвае ўсе ўласцівасці інтэграла Рымана.



Прыклады.

Заўвага 1. Няхай на прамежку [a,+) азначаная непарыўная неадмоўная функцыя f(х). Разгледзім фігуру, абмежаваную прамой х = а, воссю Ох і графікам функцыі f(х). Зафіксуем пункт b [a,+) . Вядома, што - плошча фігуры Авbа (4). Але S(P) = = .
Геаметрычны сэнс інтэграла (2): калі інтэграл (2) збежны, то фігура (4) квадравальная і яе плошча роўна значэнню інтэграла (2).

Прыклад.
п2. Прыкметы збежнасці неўласцівага інтэграла І роду

Тэарэма 1 (прыкмета параўнання). Няхай функцыі f i g непарыўныя на прамежку [a,+) і х[a,+) 0  f(x)  g(x). Тады са збежнасці  збежнасць , а з разбежнасці  разбежнасць .

Прыклад.

Тэарэма 2. Калі збягаецца (А), то збягаецца інтэграл (В). Інтэграл (В) называецца абсалютна збежным.

Прыклад.

Тэарэма 3(частковая прыкмета параўнання). Калі функцыя f(x) 0 бясконца малая парадку  > 0 па параўнанню з функцыяй 1/x, то збежны пры  > 1 і разбежны пры 0    1.

Прыклад.

п3. Неўласцівыя інтэгралы ад неабмежаваных функцый

(інтэгралы другога роду)
Няхай функцыя f азначана на прамежку (a,b], а на адрэзку [a+,b], дзе 0 <  < b-a, функцыя f інтэгравальная. Пункт х = а будзем называць асаблівым пунктам (особым), калі функцыя f неабмежаваная на прамежку (a,b], а абмежаваная на любым адрэзку [a+,b].

Азначэнне 2. Калі існуе канечны ліміт (5), то ён называецца неўласцівым інтэгралам ІІ рода ад функцыі f(x) і абазначаецца:

(6). У гэтым выпадку інтэграл (6) збежны. Калі ліміт (5) не існуе або роўны , то інтэграл (6) разбежны.

Аналагічна ўводзіцца паняцце неўласцівага інтэграла для выпадкаў:



  1. калі x = b – асаблівы пункт, то ;

  2. калі х = с - асаблівы пункт, дзе с [a,b], то

= +.
п4. Прыкметы збежнасці неўласцівых інтэгралаў ІІ роду
Тэарэма 4 (прыкмета параўнання). Няхай функцыі f i g неабмежаваныя ў наваколлі пункта b і х[a,b) 0  f(x)  g(x). Тады са збежнасці  збежнасць , а з разбежнасці  разбежнасць .

Прыклад.

Тэарэма 2. Няхай функцыя f(x) неабмежаваная ў наваколлі пункта b. Калі збягаецца (А), то збягаецца інтэграл (В). Інтэграл (В) называецца абсалютна збежным.

Прыклад.


База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка