Трыганаметрычныя функцы. Адваротныя трыганаметрычныя функцыі




Дата канвертавання20.03.2016
Памер107.25 Kb.

§6. Трыганаметрычныя функцы.

Адваротныя трыганаметрычныя функцыі




1. Трыганаметрычныя функцыі y = sin x, y = cos x, y= tg x, y= ctg x.


Самастойна разгледзіць кожную функцыю па настуанай схеме:

  1. Азначэнне.

  2. Уласцівасці

  • Абсяг вызначэння і абсяг значэнняў, абмежаванасць

  • Цотнасць, перыядычнасць

  • Непарыўнасць

  • Асімптоты

  • Прамежкі манатоннасці

  • Пункты перасячэння з васямі каардынат

  • Графік

2. Адваротныя трыганаметрычныя функцыі y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y= arcctg x.



Функцыя y = sin x непарыўная на D(f) = R, E(f) = [1,1],перыяд Т = 2n, дзе nZ. Адваротная адпаведнасць функцыі sin не з’яўляецца функцыяй на адрэзку [-1,1], паколькі кожнаму значэнню у адпавядае мноства значэнняў х у сілу перыядычнасці функцыі sin.

Разгледзім звужэнне функцыі sin на адрэзку []:

f(x) = sinx x[].
На адрэзку [] функцыя

f(x) = sinx нарастальная, непарыўная і адпаведна тэарэме 1 §1 існуе адваротная ёй функцыя f-1, якая таксама зўяўляецца нарастальнай і непарыўнай на D(f-1) = =E(f) = [1,1].



Aзначэнне 1. Функцыя f-1, адваротная звужэнню функцыі sin на адрэзку [] называецца арксінусам і абазначаецца arcsin; прычым D(arcsin) = E(sin) =[-1,1], E(arcsin) = D(sin) = [].

Заўвага. Функцыя arcsin з’яўляецца няцотнай функцыяй.

Самастойна разглядзець функцыі cos, tg, ctg , вызначыць для іх адпаведна функцыі arcos, arctg i arcctg, пабудаваць графікі.



§7. Ступеневая функцыя з рацыянальным паказнікам ступені


Нагадаем, як азначаліся ступені сапраўднага ліку а>0 у сярэдняй школе, і іх уласцівасці

Азначэнне 1. Ступенню ліку а>0 з рацыянальным паказнікам r называецца лік, які абазначаецца ar і азначан наступным чынам:

  1. Калі r = nN, то an = a a …  a (множнікі а узятыя n-разоў).

  2. Калі r = 1/n (nN), то a1/n – арыфметычны корань n-ай ступені з ліку а.

  3. Калі r = 0, то ar = 1.

  4. Калі r = m/n (m,n  N не маюць агульных дзельнікаў няроўных 0), то (am)1/n = am/n.

  5. Калі r =  m/n (для m,n тая ж умова), то .

У гэтым параграфе будзем разглядаць функцыю, якая задаецца формулай f(x)=xr, дзе rQ. Спынімся на прыватных выпадках

1. Ступеневая функцыя з натуральным паказнікам ступені r = nN.


Уласцівасці:

  1. D(f) = R, непарыўная, як здабытак непарыўных функцый.

  2. Калі n = 2k-1, то f – нарастальная функцыя на D(f), калі

n = 2k, то f спадае на прамежку ( і нарастае на прамежку .

З няроўнасці 0 х1 2  0 < х1n 2n nN, калі х1 20, то х1n 2n, калі n= 2k, х1n2n , калі n = 2k-1. 



  1. Пры n = 2k-1 фунцыя f неабмежаваная знізу і зверху  E(f) = R, пры n = 2k функцыя f абмежаваная знізу восю Ох і неабмежаваная зверху  E(f) = .

  2. Калі n = 2k-1, то f– няцотная функцыя. калі n = 2k, то f – цотная функцыя  графік (рыс.4).

2. Ступеневая функцыя з паказнікам ступені r = 1/n, nN


1. Няхай n = 2k+1.

Разгледзім ступеневую функцыю f(x) = xn , дзе n = 2k+1: D(f) = , E(f) = . Функцыя f нарастальная і непарыўная на мностве R. Таму па т.1 §1 існуе функцыя f-1, якая таксама нарастальная і непарыўная на E(f). Значэнні гэтай функцыі хR абазначым f-1(х) = і назавём коранем n-ай ступені з ліку х або ступенню ліку х паказніка 1/n. Функцыю f-1 называюць ступеневай функцыяй з паказнікам ступені 1/n. Графік функцыі f-1 сіметрычны графіку функцыі f(x) = xn адносна прамой y=x. (Рыс.4)

2. Няхай n = 2k.

Разгледзім ступеневую функцыю f(x) = xn , дзе n = 2k: D(f) = R, E(f) = . Адваротная адпаведнасць не з’яўляецца функцыяй. Зробім звужэнне функцый f на прамежку . Такім чынам

D(f) = i E(f) = , функцыя нарастальная, непарыўная на D(f). Таму па т.1 §1 існуе функцыя f-1 таксама нарастальная і непарыўная на D(f-1) = E(f). Значэнні гэтай функцыі х абазначым f-1(х) = і назавём коранем n-ай ступені з ліку х або ступенню ліку х паказніка 1/n. Функцыю f-1 называюць ступеневай функцыяй з паказнікам ступені 1/n. Графік функцыі f-1 сіметрычны графіку функцыі f(x) = xn адносна прамой y=x. (Рыс.5)

Рыс.5 Рыс.6



Азначэнне 2. Неадмоўнае значэнне функцыі 0 і nN, незалежна ад цотнасці ліку n, называецца арыфметычным коранем n-ай ступені з ліку х 0 і nN, 0 .

Вядома, што f(f-1(х)) = х, таму = х 0.



Азначэнне 3. Арыфметычным коранем n-ай ступені з неадмоўнага ліку х называецца такі неадмоўны лік, n-ая ступень якога роўна х.

Прыклады: = 3; =5.


3. Ступеневая функцыя з адвольным рацыянальным паказнікам ступені

Рзгледзім адвольны рацыянальны лік r.

Магчымы 3 выпадкі: r = 0, r = m/n, r = m/n, калі m,n N і не маюць агульных множнікаў няроўных 1.

Азначэнне 4. Ступеневай функцыяй з паказнікам 0 называецца функцыя, заданая формулай: f(x) = xo = 1.

Вядома, што гэта функцыя мае D(f) = R і непарыўная на D(f), як сталая.



Азначэнне 5. Ступеневай функцыяй з паказнікам m/n называецца функцыя, заданая формулай: f(x) = xm/n  f(x) = (xm)1/n.

Гэтую функцыю можна разглядаць як кампазіцыю функцый

f(x) = g u, где u(x) = xm, g(x) =x1/n.

У пунктах 1 і 2 было даказана, што функцыі g(x) і u(x) непарыўныя на сваіх абсягах вызначэння, таму па тэарэме аб непарыўнасці складанай функцыі і функцыя f таксама непарыўная на сваім абсягу вызначэння. Менавіта абсягам вызначэння функцыі з’яўляеца або прамежак , або прамежак . Паколькі функцыі g і u нарастальныя на прамежку ,, то і функцыя f нарастальная на прамежку ,.



Азначэнне 6. Ступеневай функцыяй з паказнікам m/n называецца функцыя, якая задаецца формулай:

.

Гэта функцыя непарыўная на D(f) як дзель непарыўных функцый. Абсягам вызначэння з’яўляецца або прамежак (, або аб’яднанне прамежкаў (-,)(,. Пакольк функцыя xm/n нарастае на інтервале (, то f спадае на гэтым інтэрвале.

На заключэнне адзначым ступеневую функцыю f(x)=xr з адвольным рацыянальным паказнікам ступені r, як функцыю, якая вызначана на прамежаку (, і яе значэнне ў адвольным пункце a>0: f(a)=ar вылічаюцца ў адпаведнасці з азначэннем 1.

З улікам уласцівасцей ступеневай функцыі (гл. пп. 1 –– 3) даказаць


Уласцівасці ступені з рацыянальным паказнікам


1. ar > 0 для любых рацыянальных r (вынікае з азначэння 1).

2. Для любых рацыянальных r1, r2 : , , , (ab)r = arbr ,

3.Калі a >1 і рацыянальны лік r >0, то ar >1.

З нарастальнасці функцыі xr для x>0, r>0  ar > ao = 1. 

4. Калі a >1, r1>r2, то

 r1>r2  r1r2 >0 




§8. Ступеневая функцыя з ірацыянальным паказнікам ступені


Няхай a > 1,  - адвольны ірацыянальны лік. Разгледзім якую-небудзь узрастаючую паслядоўнасць рацыянальных лікаў (rn), калі n, прычым rn nN. У сілу ўласцівасці 4 ступені з рацыянальным паказнікам паслядоўнасць нарастальная і абмежаваная зверху лікам дзе r*рацыянальны лік, r*>. Таму паслядоўнасць мае канечны ліміт і ён супадае з sup{} = a (на падставе тэарэмы аб ліміце манатоннай абмежаванай паслядоўнасці).

Т. чынам мы даказалі тэарэму.



Тэарэма. Няхай a>0,  – ірацыянальны лік. Для любой паслядоўнасці рацыянальных лікаў (rn), якая імкнецца да , калі n, адпаведная паслядоўнасць мае канечны ліміт. Гэты ліміт абазначаецца праз a і называецца ступенню ліку а з паказнікам .

Азначэнне 2. Ступенню ліку a>0 з ірацыянальным паказнікам  называецца лік a, які азначаецца

, (1)

дзе (rn) – адвольная паслядоўнасць рацыянальных лікаў, якая імкнецца да ірацыянальнага ліку .



Прыклад. , дзе (rn) , калі n;

rn = 1 + 7/10 + 3/100 + 2/1000 + c4/104 + …+ cn/10n,



= 1,732c4c5…cn….

(rn) – дзесятковае набліжанне да  з недахопам (недостатком).



Заўвага 1. Роўнасць (1), якая ў выпадку ірацыянальнасці  з’яўляецца азначэннем ступені з ірацыянальным паказнікам a, можа быць даказана і ў выпадку рацыянальнага .

Заўвага 2. З дапамогаю азначэнняў (1) і (2) уводзіцца паняцце ступені з любым сапраўдным паказнікам, якая мае тыя ж самыя ўласцівасці, што і ў азначэнні (1) для ступені з рацыянальным паказнікам.
§9. Паказнікавая функцыя
Азначэнне. Паказнікавай функцыяй называецца функцыя, заданая роўнасцю f(x) = ax xR, дзе

Адпаведна азначэнню ступені (азначэнні (1) і (2) §4) сімвал ax трэба разумець так:



  1. Калі x = n N, то an = aa …  a (множнікі а узятыя n-разоў).

2. Калі х = 1/n (n N), то a1/n – арыфметычны корань n-ай ступені з ліку а.

3. Калі х = 0, то aо = 1.

4. Калі х = m/n (m,n  N не маюць агульных дзельнікаў няроўных 0), то (am)1/n = am/n.

5. Калі х =  m/n (для m,n тая ж умова), то .

6. Калі x =  - ірацыянальны лік, то , дзе (rn) – адвольная паслядоўнасць рацыянальных лікаў, якая імкнецца да ірацыянальнага ліку .

Уласцівасці паказнікавай функцыі


1о. D(f) = R.

2o. ax > 0 xR  E(f) = (,.

3o. Калі a > 1, то ax > 1 x >0; калі 0 < a < 1, то ax < 1.

4o. Калі a > 1, то ax - нарастальная функцыя ; калі 0 < a < 1, то ax - спадальная функцыя.

5о. Функцыя ax непарыўная на ўсёй лікавай прамой.

6о. Калі a > 1, то

Калі 0 < a < 1, то

y=0 – гарызантальная асімптота.



§10. Лагарыфмічная функцыя

Разгледзім паказнікавую функцыю f(x) = ax xR, дзе

Калі a>1, то функцыя нарастальная, а калі 0 < a < 1, то спадальная; функцыя непарыўная на мностве R; E(f) = (,. Па т.2 §1 аб існаванні і непарыўнасці адваротнай функцыі вынікае, што існуе адваротная функцыя f-1, якая нарастальная (спадальная) на

D(f-1) = E(f) = (,.



Азначэнне 1. Функцыя f-1 , адваротная паказнікавай функцыі, называецца лагарыфмічнай функцыяй пры аснове а і абазначаецца:

f-1 = loga.

D(log) = (,, E(log) = R.

Графікі паказнікавай і лагарыфмічнай функцый сіметрычны адносна прамой y = x.

Рыс. 7 Рыс.8
Азначэнне 2. Значэнне лагарыфмічнай функцыі ў кожным пункце х>0, г.зн. logaх, называецца лагарыфмам ліку х па аснове а.

Вядома, што f(f-1(х)) = х х D(f-1) = E(f) = (,  - лагарыфмічная тоеснасць.



Азначэнне 2*. Лагарыфмам ліку х>0 па аснове а называецца паказнік ступені, ў якую трэба ўзвесці а, каб атрымаць лік х.

Прыклад.
§11. Ступеневая функцыя з ірацыянальным паказнікам

У §4 было ўведзена азначэнне ступені з ірацыянальным паказнікам для кожнага дадатнага х.

Разгледзім функцыю f(x) = x х( (1) , дзе  - ірацыянальны лік. Гэту функцыю называюць ступеневай функцыяй з ірацыянальным паказнікам. D(f) = (,.

Дакажам, што функцыя x непарыўная на D(f).

Формула (1) прыме выгляд: f(x) =(1*)

Функцыя (1*) – складаная функцыя: f(x) = g(u(x)), дзе g(x)=ex, u(x) = lnx. Паколькі кожная з функцый g і u непарыўная , то і функцыя f непарыўная ў сваім абсягу вызначэння як складаная функцыя.


§12. Клас элементарных функцый

Азначэнне 1.Асноўнымі элементарнымі функцыямі называюцца функцыі са значэннямі:

f(x) = c (cR), f(x) = x (R), f(x) =ax (),

f(x) = logaх (), f(x) = sinx, f(x) = cosx, f(x) = tgx,

f(x) = ctgx, f(x) = arcsinx, f(x) = arccosx, f(x) = arctgx,

f(x) = arcctgx.
Азначэнне 2. Элементарнымі функцыямі называюцца такія функцыі, якія атрыманы з асноўных элементарных функцый з дапамогаю чатырох арыфметычных дзеянняў і кампазіцый гэтых функцый (складаныя функцыі).

У §§6-11 мы паказалі, што асноўныя элементарныя функцыі непарыўныя ў сваіх абсягах вызначэння.



На падставе тэарэмы аб непарыўнасці алгебраічнай сумы, здабытку, дзелі непарыўных функцый і тэарэмы аб непарыўнасці складанай функцыі можна зрабіць вынік, што

кожная элементарная функцыя непарыўная ў сваім абсягу вызначэння.


База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка