Тэма Лінейныя прастор




Дата канвертавання13.05.2016
Памер77.23 Kb.
Тэма 1. Лінейныя прасторы.

1. Вызначыць, ці з’яуляюцца лінейнымі прасторамі над наступныя мноства са звычайнымі аперацыямі складання і множання на лік: а) мноства , якое складаецца з нулявога вектара на дэкартавай плоскасці; б) мноства усіх вектараў дэкартавай плоскасці, якія ляжаць на прамой, якая праходзіць праз пачатак каардынат; в) мноства ўсіх вектараў дэкартавай плоскасці, канцы каторых ляжаць у першай чвэрці; г) ; д) ; е) мноства ; ж) мноства  усіх мнагаскладаў з сапраўднымі каэфіцыентамі ступені не больш за ; з) мноства усіх мнагаскладаў з сапраўднымі каэфіцыентамі ступені роўнай ; і) мноства усіх квадратных матрыц -га парадку.
Тэма 2. Лінейная залежнасць і незалежнасць

1. Няхай , , – вектары з . Знайдзіце лінейныя камбінацыі: а) ; б) .

2. Рашыць раўнанні: а) ; б) .

3. (К.р.) Вызначыць лінейна-залежныя сістэмы з : а) , ; б) , ; в) , ; г) , ; д) , , , ; е) і ; ж) , , , ; з) , , .

4. Дакажыце, што сістэма вектараў, якая змяшчае нулявы вектар лінейна залежная.

5*. Ці вынікае з таго, што , , лінейна незалежныя вектары, тое што вектары , , таксама лінейна незлежныя?

6. Якой умове павінен задавальняць лік каб вектары , , прасторы былі лінейна залежнымі?

7. Дакажыце, што сістэмы вектараў лінейна залежныя і знайдзіце іх нетрывіяльную лінейную камбінацыю, якая роўна : 1) , , ; 2) , , ; 3) , , ; 4) , , , , .

8. Даследуйце дадзеныя сістэмы вектараў на лінейную залежнасць: 1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) , , ; 5) , , ; 6) , , ; 7) , , .
Тэма 3. Ранг сістэмы вектараў. Ранг матрыцы

1. Вылічыць ранг матрыцы:

1) ; 2) ; 3) .



2. (К.р.) Знайсці ранг сістэмы вектараў. Вызначыць, ці з’яўляецца яна лінейна залежнай:

1) , , ; 2) , , , ; 3) , , , , ; 4) , , , , .



3*. Якое значэнне адпавядае найменьшаму рангу матрыцы ?

1) ; 2) .


Тэма 4. Супольныя сістэмы ЛАР*

1. Даследаваць наступныя сістэмы на супольнасць. Супольныя сістэмы рашыць метадам Гаўса:

1) ; 2) ; 3)  4)



2. Пры яком значэнні параметра сістэма мае адзінае рашэнне?

1) 2)



3. Пры яком значэнні параметра сістэма несупольная?

1) 2)


Тэма 5. Базіс і вымернасць прасторы

1. Знайсці ранг і максімальную лінейна незалежную падсістэму сістэмы вектараў: 1) , , , ; 2) , , , .

2. (К.р.) Праверыць, ці з’яўляецца сістэма вектараў базісам прасторы і знайсці каардынаты вектара у гэтым базісе: 1) , , , ; 2) , , , .

3. Ці з’яўляецца сістэма мнагаскладаў базісам прасторы і знайсці каардынаты мнагасклада у гэтым базісе: 1) , , , , ; 2) , , , , ; 3) , , , , .

4. (К.р.) Дапоўніць да базіса сістэмы вектараў: 1) , у прасторы ; 2) , у прасторы .

5. Ці існуе ў прасторы базіс: 1) які складаецца з мнагаскладаў 4-ай ступені; 2) які не змяшчае ні адзін мнагасклад 4-ай ступені; 3) які не змяшчае ні адзін мнагасклад 3-яй ступені?

Тэма 6. Пераўтварэнні каардынат. Падпрасторы

1. Няхай – матрыца пераходу ад базіса , да базіса , . Якія каардынаты мае вектар у базісе , .

2. У прасторы дадзены базісы , і , . Знайсці матрыцу пераходу ад базіса да базіса і каардынаты вектара у кожным з базісаў.

3. Знайсці матрыцу пераходу ад стандартнага базіса , , , прасторы да базіса , , , .

4. Дакажыце, што наступныя падмноствы прасторы з’яўляюцца яе падпрасторамі: 1) ; 2) ; 3) .

5. (К.р.) Знайсці вымернасць і які-небудзь базіс лінейнай абалонкі : 1) , , , ; 2) , , , , ; 3) , , , .

6. Дакажыце, што ў –мернай лінейнай прасторы есць падпрасторы ўсякай вымернасці .

7. Знайсці базісы сумы і перасячэння лінейных прастораў і , дзе: 1) , , , , , ;

2) , , , , , .



8. (К.р.) Знайсці ФСР сістэмы раўнанняў:

1) 2)

3) 4)

9. Знайсці вымернасць падрасторы рашэнняў сістэмы раўнанняў у залежнасці ад параметра :

1) 2)


Тэма 7. Лінейныя адлюстраванні

1. Няхай – фіксаваны вектар з . Вызначыць, якія з наступных пераўтварэнняў прасторы з’яўляюцца лінейнымі:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .



2. Вызначыць, якія з наступных пераўтварэнняў прасторы з’яўляюцца лінейнымі:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .



3. Вызначыць, якія з наступных пераўтварэнняў прасторы з’яўляюцца лінейнымі:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .


Тэма 8. Эўклідавыя прасторы

1. Якія з наступных формулаў вызначаюць скалярны здабытак у прасторы : 1) ; 2) , дзе ; 3) ; 4) ; 5) .

2. Дакжыце, што наступныя формулы вызначаюць скалярны здабытак: 1) на , дзе ; 2) на .

3. Дакажыце, што: 1) , дзе ; 2) .

4. Няхай і – ненулявыя вектары ў эуклідавай прасторы, – вугал паміж імі. Дакажыце, што: 1) вугал не змяняецца пры множанні абоіх вектараў на адзін і той жа лік; 2) вугал роўны 0 альбо тады і толькі тады, калі гэтыя вектары лінейна залежныя.

5. (К.р.) У эўклідавай прасторы знайсці вуглы паміж наступнымі парамі вектараў: 1) , ; 2) , ; 3) , .

6. (К.р.) У эўклідавай прасторы знайсці даўжыні старон і вуглы трохвугольніка, які ўтвораны вектарамі , , , калі: 1) , ; 2) , ; 3) , .
Тэма 9. Артаганальныя вектары

1. У прасторы знайсці вектар, які артаганальны вектарам , , .

2. Пры якіх сістэмы вектараў прасторы з’яўляюцца артаганальнымі: 1) , ; 2) , ; 3) , .

3. Няхай , , , , – ортаўнармаваны базіс прасторы . Знайсці вугал паміж вектарамі і , калі іх каардынаты ў базісе : 1) , ; 2) , .

4.Вектары , , , утвараюць ортаўнармаваны базіс прасторы . Пры яком значэнні наступныя вектары (з каардынатымі ў базісе ) утвараюць артаганальны базіс? Зрабіць нарміроўку гэтага базіса. , , , .

5. (К.р.) Пабудаваць ортаўнармаваны базіс лінейнай абалонкі вектараў прасторы : 1) , , , ; 2) , , , ; 3), , .
Тэма 10. Артаганальныя і самаспалучаныя аператары*

1. Ці з’яўляецца артаганальным аператар, калі яго матрыца ў некаторым ортаўнармаваным базісе мае выгляд:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ?



2. Лінейны аператар эўклідавай прасторы ў базісе , , дадзены сваей матрыцай. Ці з’яўляецца гэты аператар артаганальным?

1) ; 2) .



3. Ці з’яўляецца самаспалучаным аператар, калі яго матрыца ў некаторым ортаўнармаваным базісе мае выгляд:

1) ; 2) ; 3) ?



4. Знайсці артаганальную матрыцу , якая дыяганалізуе сіметрычную матрыцу , і запісаць дыяганальны выгляд гэтай матрыцы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .



5. Пры яком значэнні аператар, які дадзены сваей матрыцай у некаторым ортаўнармаваным базісе, з’яўляецца адначасова артаганальным і самаспалучаным:

1) ; 2) ?



Тэма 11. Квадратычныя формы*

1. Прывесці квадратычную форму да кананічнага выгляду: 1) метадам Лагранжа, запісаць адпаведнае пераўтварэнне; 2) з дапамогай артаганальнага пераўтварэння:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;



6) .






База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка