Тэма 2: Дастасаванні вызначанага інтэграла да вылічэння плошчы плоскай фігуры, даўжыні дугі крывой, аб'ёма цела і плошчы паверхні авароту ( г.)




Дата канвертавання29.03.2016
Памер124.6 Kb.
Тэма_2: Дастасаванні вызначанага інтэграла да вылічэння плошчы плоскай фігуры, даўжыні дугі крывой, аб'ёма цела і плошчы паверхні авароту ( г.).
Пытанні для самакантролю.

  1. Даць азначэнне ўмежаванага (акрэсленага) многавугольніка ў плоскую фігуру.

  2. Даць азначэнне квадравальнай плоскай фігуры.

  3. Сфармуляваць неабходную і дастатковую ўмовы квадравальнасці плоскай фігуры.

  4. Даць азначэнне крывалінейнай трапецыі (у дачыненні да восі Ox і восі Oy).

  5. Сфармуляваць тэарэму адытыўнай плошчы.

  6. Ці з'яўляецца квадравальнай крываленейная трапецыя?

  7. Геаметрычны сэнс вызначанага інтэграла.

  8. Напісаць формулу для вылічэння плошчы фігуры, што задавальняе ўмовамі: f(x)≤0, a ≤ x ≤ b, y≤0.

  9. Як знайсці плошчу фігуры, абмежаванай графікамі функцый: y=0, x=0, x=b, y=f(x), калі f(x) ёсць непарыўная на адрэзку [a, b] функцыя, але яна змяняе знак у некаторым пункце гэтага адрэзку.

  10. Як знайсці плошчу фігуры, абмежаванай графікамі функцый: x=a, x=b, y=f1(x), y=f2(x), (f1(x)≥f2(x)) ?

  11. Напісаць ормулу для вылічэння плошы, калі верхняя мяжа крывалінейнай трапецыі задаецца параметрычнымі роўнасцямі. Як знайсці ліміты інтэгравання?

  12. Даць азначэнне крывалінейнага сектара.

  13. Назваць формулу для вылічэння плошчы крывалінейнага сектара.

  14. Ці можна назваць крывалінейнай трапецыяй фігуру, абмежаванай лініямі: y=a, x=b, y=f1(x), f1(x)≥c, y=c, c>0?

  15. Назваць формулы для вылічэння плошчы фігуры: а) у дэкартавых каардынатах; б) у выпадку параметрычнага задання граніцы; в) у палярных каардынатах.

  16. Сфармуляваць азначэнне кубавальнага цела. Прывесці прыклады кубавальных цел.

  17. Асноўныя ўласцівасці кубавальных цел. Сфармуляваць уласцівасць адытыўнасці аб'ёма цела.

  18. Назваць формулу для вылічэння аб'ёма цела праз плошчу сечыва гэтага цела плоскасцю, перпендыкулярнай да восі Ox у пункце x€[a, b] гэтай восі.

  19. Назваць формулу аб'ёма цела, што ўтвараецца пры авароце вакол восі Ox крываленейнай трапецыі .

  20. Назваць формулу аб'ёма цела, што ўтвараецца пры авароце вакол восі Oy.

  21. Назваць формулы для вылічэння аб'ёма цела, што ўтвараецца пры авроце фігуры, абмежаванай крывой , якая задаецца: а) парметрычнымі раўнаннямі; б) у палярных каардынатах, вакол восіOx.

  22. Якая крывая называецца выпрастальнаю крывою. Сфармуляваць азначэнне даўжыні дугі крывой.

  23. Сфармуляваць уласцівасць адытыўнасці даўжыні дугі плоскай крывой.

  24. Сфармуляваць сцвярджэнне аб выпрастальнай крывой, што задаецца параметрычнымі раўнаннямі.

  25. Назваць формулы для вылічэння даўжыні дугі крывой, што задаецца: а) яўным раўнаннем у дэкартавай сістэме каардынатаў; б)палярным раўнаннем.

  26. Сфармуляваць азначэнне дыферэнцыяла даўжыні дугі крывой. Геаметрычны сэнс дыферэнцыяла дугі.

  27. Назваць формулы дыферэнцыяла даўжыні дугі крывой, што задаюцца: а) яўным раўнаннем у дэкартавай сістэме каардынатаў; б) параметрычнымі раўнаннямі; в) палярным раўнаннем.

  28. Сфармуляваць азначэнне цела авароту і яго плошчы.

  29. Назваць формулы для вылічэння плошчы паверхні авароту ў выпадках, калі дуга крывой задаецца а) яўным раўнаннем у дэкартавай сістэме каардынатаў; б) у параметрычнай форме; в) палярным раўнаннем.

Літаратура

  1. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. М., 1968, т.1, с. 354-361, 361-366, 370-379, 382-384.

  2. Бохан К.А. и др. Курс математического анализа. М., 1972, т.1, с. 404-417, 418-427, 418-427, 430-439.



Вариант 1

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой ρ=2(1-cos φ)

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой y2=(x-1)3 ад пункта А(1;0) да пункта В(6;).

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф: y=ex, х=0, у=0, х=1 вакол восі Ох.

  4. Вылічыць плошчу паверхні,якая утвараецца пры авароце дугі крывой L: x2=4+y, у=2 вакол восі Оу.



Вариант 2

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой ρ=3

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой y=1-ln cos x (0≤x≤)

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф:y=2-, х+у=2 вакол восі Оу.

  4. Вылічыць плошчу паверхні,якая утвараецца пры авароце дугі крывой L: y=1+sin t ,x=cos t вакол восі Ох.



Вариант 3

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой y=x2, y=3-x;

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой ρ=2cos3() ;

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф:x=cos3t, y=sin3t, вакол восі Ох.

  4. Вылічыць плошчу паверхні,якая утвараецца пры авароце дугі крывой L:(-1≤x≤1) , вакол восі Ох.



Вариант 4

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой x=7cos3t, y=7sin3t.

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой + =.

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф:x=cos2t, y=5sin t, вакол восі Оу.

  4. Вылічыць плошчу паверхні,якая утвараецца пры авароце дугі крывой L: y2=4+x, x=2 вакол восі Ох.


Вариант 5

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой ху=6, х+у-7=0.

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой ρ=5(1+cos).

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф:y2=, х=3 вакол восі Ох.

  4. Вылічыць плошчу паверхні,якая утвараецца пры авароце дугі крывой L: x=2(t-sin t), y=2(1-cos t), (0 ≤ t ≤)



Вариант 6

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой x=3(cos t –t sin t), y=3(sin t – t cos t), y=0.

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой y2=x5,x=5.

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф:y2=(x-1)3, х=2 вакол восі Ох.

  4. Вылічыць плошчу паверхні,якая утвараецца пры авароце дугі крывой L:x=cos3t, y=sin3t вакол восі Ох.



Вариант 7

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой y2=4x , x2=4y.

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой x=4cos3t , y=4sin4t.

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф: x=, y=, y=0вакол восі Ох.

  4. Вылічыць плошчу паверхні,якая утвараецца пры авароце дугі крывой L: ρ=2cos, вакол палярнай восі.



Вариант 8

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой y2=(4-x3), x=0.

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой ρ=3(1-cos).

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф:x=3cos2t,y=4sin2t ; (0≤t≤) вакол восі Оу.

  4. Вылічыць плошчу паверхні,якая утвараецца пры авароце дугі крывой L:3y=x2, (0≤x≤0) вакол восі Ох.

Вариант 9

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой x=2cos3t , y=2sin2t

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой +=

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф: +=, x=0, y=0 вакол восі Ох.

  4. Вылічыць плошчу паверхні,якая утвараецца пры авароце дугі крывой L:x=t-sin t ; y=1-cos t, (0≤t≤) вакол восі Ох.



Вариант 10

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой x2=4y, y=

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой ρ=6cos3 , 0≤.

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф:y=x-x2, y=0 вакол восі Ох.

  4. Вылічыць плошчу паверхні,якая утвараецца пры авароце дугі крывой L: x=2cos3t, y=2sin3t, вакол восі Ох.



Вариант 11

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой y=, y=x3

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой ρ=sin3() , (0≤).

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф: y3=x2, y=1, вакол восі Ох.

  4. Вылічыць плошчу паверхні,якая утвараецца пры авароце дугі крывой L: x=cos t, y=3+sin t вакол восі Ох.



Вариант 12

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой ρ=4cos

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой ρ=2sin3 () , (0≤).

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф:x=6(t-sin t), y=6(1-cos t)вакол восі Ох.

  4. Вылічыць плошчу паверхні,якая утвараецца пры авароце дугі крывой L: y2=2x, адсечанай прамой 2x=3 вакол восі Ох.


Вариант 13

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой ρ=3cos

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой x=2(cos t + t sin t), y=2(sin t + tcos t)

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф:y2=4x, x2=4y вакол восі Ох.

  4. Вылічыць плошчу паверхні,якая утвараецца пры авароце дугі крывой L: x=3cos3t, y=3sin3t вакол восі Ох.



Вариант 14

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой ρ=3sin

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой x=4cos3t, y=4sin3t.

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф:y=x2, 8x=y2 вакол восі Оу.

  4. Вылічыць плошчу паверхні,якая утвараецца пры авароце дугі крывой L: ρ=, вакол палярнай восі.



Вариант 15

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой y2=x+1, y2=9-x

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой ρ=5sin

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф:x*y=4, 2x+y-6=0 вакол восі Ох.

  4. Вылічыць плошчу паверхні,якая утвараецца пры авароце дугі крывой L: x=3(t-sin t), y=3(1-cos) (0 ≤ t ≤ ) вакол восі Ох.



Вариант 16

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой ρ2=2sin .

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой x=2cos3t, y=2sin3t

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф: y=sin x, y=0 (0≤x≤) вакол восі Ох.

  4. Вылічыць плошчу паверхні,якая утвараецца пры авароце дугі крывой L: y= , адсечанай прамой y= вакол восі Оу.


Вариант 17

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой ρ=2(1+cos )

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой y2=(x+1)3 , x=4.

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф:y2=x, x2=y, вакол восі Ох.

  4. Вылічыць плошчу паверхні, якая утвараецца пры авароце дугі крывой L: y= , адсечанай прамой y=x вакол восі Ох.



Вариант 18

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой ρ=2+cos

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой y2=x3 ад A(0,0) да B(4,8)

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф: +=1, вакол восі Оу.

  4. Вылічыць плошчу паверхні,якая утвараецца пры авароце дугі крывой L: x=cos t, y=2+sin t вакол восі Ох.



Вариант 19

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой ρ=2+cos

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой y2=(x-1)3 ад A(0,0) да B(5,-8)

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф:y2=4-x, x=0, вакол восі Оу.

  4. Вылічыць плошчу паверхні,якая утвараецца пры авароце дугі крывой L:x=10(t-sin t), y=10(1-cos t), (0≤t≤) вакол восі Ох.



Вариант 20

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой y2=x3, x=2

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой x=5cos2t , y=5sin2t, (0≤t≤)

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф: +=1, вакол восі Ох.

  4. Вылічыць плошчу паверхні,якая утвараецца пры авароце дугі крывой L: ρ2=4cos, вакол палярнай восі.


Вариант 21

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой y=x2, y=2-x2.

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой x=9(t-sin t), y=9(1-cos t) (0≤t≤)

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф: ρ=2(1+cos), вакол палярнай восі.

  4. Вылічыць плошчу паверхні,якая утвараецца пры авароце дугі крывой L: 3y=x3 (0≤x≤1), вакол восі Ох.



Вариант 22

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой y2=9x, y=3x.

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой x=7(t-sin t), y=7(1-cos t), (≤t≤)

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф:y2=(x+4)3, x=0 вакол восі Ох.

  4. Вылічыць плошчу паверхні,якая утвараецца пры авароце дугі крывой L: ρ=6sin, вакол палярнай восі.



Вариант 23

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой y=x+1, y=cos x, y=0

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой y= + (0≤x≤2)

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф: 2y=x2, 2x+2y-3=0 вакол восі Ох.

  4. Вылічыць плошчу паверхні,якая утвараецца пры авароце дугі крывой L: ρ2=9cos, вакол палярнай восі.



Вариант 24

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой x=cos t , y=2sin t

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой x=t2 , y=t-t3

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф:x3=(y-1)2, x=0, y=0 вакол восі Ох.

  4. Вылічыць плошчу паверхні,якая утвараецца пры авароце дугі крывой L: ρ=cos , вакол палярнай восі.


Вариант 25

  1. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) плошчу плоскай фігуры, абмежаванай крывой y2=x3, x=0 , y=4

  2. Вылічыць (з дакладнасцю да двух знакаў пасля коскі) даўжыню дугі крывой ρ=2(1-cos)

  3. Вылічыць аб’ём цела, што утвараецца пры авароце фігуры Ф: x= cos t , y=2sin t, вакол восі Оу.

  4. Вылічыць плошчу паверхні,якая утвараецца пры авароце дугі крывой L: ρ=2sin, вакол палярнай восі.


База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка