Тэарэма піфагора фрагмент магчымага падручніка для гуманітарыяў




Дата канвертавання18.05.2016
Памер235.19 Kb.
ТЭАРЭМА ПІФАГОРА

(фрагмент магчымага падручніка для гуманітарыяў1)


Няхай дадзены прамавугольны трохвугольнік з катэтамі а і b і гіпатэнузай с. Возьмем два аднолькавыя квадраты з стараной а+b і адрэжам ад кожнага па 4 трохвугольнікі, роўныя дадзенаму, як паказана на малюнку 1. Тады ад першага застанецца квадрат* са стараной с (яго плошча с2), а ад другога – два квадраты*, адзін са стараной а і плошчай а2, другі са ста­раной b і плошчай b2 . Ад роўных фігур адрэзалі пароўну, таму плошчы фігур, якія засталіся, павінны быць роўнымі. Атрымалі, што с2 = а2 + b2.




Малюнак 1
Гэтую роўнасць упершыню нібыта даказаў старажытнагрэчаскі навуковец Піфагор, таму яна носіць імя Піфагора. Словамі тэарэма чытаецца так: квадрат гіпатэнузы прама­вугольнага трохвугольніка роўны суме квадратаў яго катэтаў.
Карыстаючыся гэтай тэарэмай можна праводзіць разлікі старон прамавугольнага трох­вугольніка: ведаючы два яго катэты, можна разлічыць даўжыню гіпатэнузы, а ведаючы адзін з катэтаў і гіпатэнузу, можна разлічыць даўжыню другога катэта. Напрыклад, калі катэты маюць даўжыні 3 м і 4 м, то гіпатэнуза с = = = = 5 (м).

.

Трохвугольнік са старанамі, прапарцыянальнымі лікам 3, 4 і 5, часта называюць егі­пецкім трохвугольнікам. Яшчэ з даўніх часоў жыхары ўзбярэжжаў Ніла (цяперашні Егіпет) карысталіся вяроўкай, падзеленай вузлікамі на 12 роўных частак, для адмервання на зямных надзелах прамых вуглоў. Гэта асабліва патрэбна было вясной, калі пасля паводак на Ніле па­трэбна было аднаўляць змытыя паводкай межы сваіх усадзьбаў. Вяровачку нацягвалі ў выг­лядзе трохвугольніка так, каб тры часткі вяровачкі ўтваралі адну старану, чатыры – другую, а пяць – трэцюю. Вугал паміж меншымі старанамі такога трохвугольніка – прамы.


Тройкі цэлых лікаў, з якіх квадрат аднаго роўны суме квадратаў двух іншых, называ­юць піфагоравымі тройкамі лікаў. Акрамя тройкі 3, 4 і 5, гэта тройкі 5, 12 і 13; 7, 24 і 25; 8, 15 і 17; 20, 21 і 29 ды шмат іншых, уключаючы тройкі лікаў, прапарцыянальных названым.

(Паспрабуйце даказаць, што сума лікаў любой такой тройкі цотная. Гэта нескладана. А калі зможаце яшчэ даказаць, што адзін з такіх лікаў абавязкова кратны пяці, то вы добра арыентуецеся ў свеце натуральных лікаў.2)

Трохвугольнікі з такімі старанамі прамавугольныя. Гэта вынікае з тэарэмы, адварот­най тэарэме Піфагора: калі квадрат адной стараны трохвугольніка роўны суме квадра­таў дзвюх іншых яго старон, то такі трохвугольнік прамавугольны.



Справядлівасць яе падмацуем наступным разважаннем. Калі для трохвугольніка са старанамі а, b i c выконваецца роўнасць c2 = a2 + b2, то разгледзім яшчэ адзін трохвугольнік – прамавугольны з катэтамі а, b і гіпатэнузай х. Па тэарэме Піфагора для такога трохвугольніка маем: х2 = a2 + b2. Параўнаўшы гэта з роўнасцю, дадзенай для першага трохвугольніка, атры­маем: х2 = с2, адкуль х = с. А таму гэтыя трохвугольнікі роўныя па трох старанах. Але ж другі з іх прамавугольны. Першы, такім чынам, таксама прамавугольны, што і чакалася ат­рымаць.

Пры вылічэнні невядомага катэта прамавугольнага трохвугольніка карысна помніць формулу рознасці квадратаў: а2b2 = (а b)(а + b). Яна можа спрасціць і паскорыць вылі­чэнні. Калі, напрыклад, гіпатэнуза с = 18 см, а катэт а = 14 см, то катэт b = = = = 8 (см).

Сёння існуе ўжо некалькі сотняў розных доказаў тэарэмы Піфагора, з некаторымі з іх вы яшчэ, магчыма, пазнаёміцеся ў старшых класах. А прыведзены вышэй доказ паводле адной з навелаў Джэймса Олдрыджа быў вынайдзены шасцігадовым хлапчуком, які любіў маляваць і разглядваць розныя геаметрычныя фігуркі, а яго прымушалі займацца музыкай.3

Як даказваў гэтую тэарэму сам Піфагор (ці, магчыма, хтосьці з яго вучняў), зараз наў­рад ці магчыма даведацца. Ёсць версія, што гэты доказ звязаны з малюнкам, дзе да выявы прамавугольнага трохвугольніка прыбудаваныя тры квадраты (малюнак 2). Такі малюнак ат­рымаў жартоўную назву "піфагоравы штаны" (расіяне да гэтага дадаюць "на все стороны ра­вны", але ж гэта як разумець: калі гэтых "старон" дзве – па адзін і па другі бок ад гіпатэнузы, – то сапраўды сума плошчаў двух меншых квадратаў роўная плошчы большага, а калі "ста­рон" тры, як гэта часта разумеюць, тады атрымоўваецца лухта).3


Малюнак 2
Паспрабуйце засвоіць майстэрства выкарыстання тэарэмы Піфагора і ёй адваротнай на наступных задачах.4

1. Разлічыце даўжыню гіпатэнузы прамавугольнага трохвугольніка, у якога вядомы даўжыні двух катэтаў:

а) а = 20 м, b = 21 м, с = ? б) k = 12 дм, m = 6 дм, n = ? в) х = 2 м, у = 4 дм, z = ?

2. Разлічыце даўжыню невядомай стараны прамавугольніка, калі вядомыя дыяганаль і другая старана:

а) с = 65 мм, b = 16 мм, а = ? б) u = 19 м, w = 6 м, v = ? в) s = 15 см, d = 6 дм, t = ?

3. Назавіце дзве піфагоравы тройкі лікаў, сярод якіх ёсць лік 9.

4. Назавіце які-небудзь лік, які ўваходзіць у тры піфагоравы тройкі лікаў.

5. Дадзены два чатырохвугольнікі, у кожнага з якіх дыяганаль перпендыкулярная да дзвюх старон (малюнак 3). Перыметр якога з чатырохвугольнікаў большы?

40


41 24 30


3 24

Малюнак 3




П



7

3

М

Малюнак 4

6. а) Ад метэастанцыі М, размешчанай у полі, да пасёлка П 7 км, да дарогі 3 км (малюнак 4). Як хутчэй даехаць роварам ад станцыі да пасёлка - напрасткі па полі ці бліжэйшым кірункам да дарогі, затым па дарозе да пасёлка, калі хуткасць па полі 5 км/гадз, а па дарозе 10 км/гадз? б) А калі б да пасёлка было 5 км?

(На самой справе ёсць больш выгодны маршрут у падобных сітуацыях, але для такіх разлі­каў вам трэба навучыцца даследаваць функцыі з дапамогай вытворных, гэта вывучаецца ў насту­пных класах.)





7. Колькі дроту спатрэбіцца для вырабу канфігурацыі, па­казанай на малюнку 5, калі памеры прамавугольніка 24 см і 18 см і кожная старана падзелена на 3 роўныя часткі?

Ці можна вырабіць такую канфігурацыю з аднаго кавалка дроту па­трэбнай даўжыні?










Малюнак 5

8. Вылічыць даўжыню хорды акружыны, перпендыкулярнай да дыяметра, калі хорда падзяляе гэты дыяметр на адрэзкі 81 сі і 25 см.

9. Як далёка бачна пры пагодзе з самалёта, які ляціць на вышыні 6 км над паверхняй акіяна? Радыус зямнога шара лічыць роўным 6378 км. Адказ даць з дакладнасцю да 10 км. Як зменіцца дальнасць кругагляду, калі самалёт падымецца на 1 км вышэй?

10. На якія адрэзкі дзеліць большую старану трохвугольніка вышыня, да яе праведзе­ная, калі стораны трохвугольніка 29 см, 36 см і 25 см?

11. На якія адрэзкі дзеліць меншую старану трохвугольніка вышыня, да яе праведзе­ная, калі стораны трохвугольніка 13 см, 4 см і 15 см.

12. Адносіна старон трохвугольніка 5:6:7. У якой адносіне дзеліцца большая яго ста­рана вышынёй, да яе праведзенай?

13. Даказаць, што ў чатырохвугольніку з перпендыкулярнымі дыяганалямі сумы квад­ратаў супрацьлеглых старон аднолькавыя. (Ёсць і адваротная тэарэма: калі ў чатырохву­гольніку сумы квадратаў супрацьлеглых старон аднолькавыя, то яго дыяганалі перпен­дыкулярныя; але даказаць яе вы зможаце пазней, напрыклад, пры вывучэнні вектараў.)

14. Скарыстоўваючы вынік папярэдняй задачы, разлічыце перыметр чатырохвугольні­ка з перпендыкулярнымі дыяганалямі, калі вядомы даўжыні трох яго старон: 7 см, 20 см і 15 см.

15. У чатырохвугольніку АВСК вядомы даўжыні ўсіх старон і адной дыяганалі. Разлі­чыць даўжыню другой дыяганалі, калі АВ = 20, ВС = 34, СК = 3, АК = 15, ВК = 25.

16. Дзве стараны чатырохвугольніка маюць даўжыні 15 см, а дзве іншыя па 8 см. Адна з дыяганаляў мае даўжыню 17 см. Якая даўжыня другой дыяганалі?

17. У чатырохвугольніку АВСК вядомы даўжыні ўсіх старон і адной дыяганалі. Разлі­чыць даўжыню другой дыяганалі, калі АВ = 12, ВС = 17, СК = 10, АК = 15, ВК = 21.

18.У чатырохвугольніку PTMN вядомы даўжыні ўсіх старон і адной дыяганалі. Разлі­чыць даўжыню другой дыяганалі, калі PT = 13 дм, TM = 25 дм, MN = 3 м, PN = 2 м, TN = 11 дм.

19. У чатырохвугольніку KPOT: KP = 13, PO = 39, OT = 36, KT = 20, PT = 21. OK = ?

Адказы, падказкі, парады, раздуміны 5
1. а) Адказ пашукайце ў тэксце; б) 6 дм; в) калі ў вас атрымаўся лік 5, тады вы не­чага не дадумалі, калі ж не 5, то гляньце ў пункт 29.

2. а) Дыяганаль разбівае прамавугольнік на два прамавугольныя трохвугольнікі і ста­но­віцца гіпатэнузай кожнага з іх. Зразумела, што гіпатэнуза большая за катэт, таму с – гіпа­тэнуза; цяпер катэт а = = = 63 (мм); такім чынам вы знайшлі яш­чэ адну піфагораву тройку лікаў: 16, 63 і 65; б) 5 дм; в) 1,5 дм (калі ж вы лічылі ў сантыметрах, то адказ у пункце 51).

3. Калі 9 - гэта даўжыня гіпатэнузы, то, абазначыўшы катэты а і b (а  9 і b  9), атры­ма­ем дзякуючы Піфагору: а2 + b2 = 81, або а2 = 81 – b2, гэта значыць, што 81– b2 павінен быць квадра­там нейкага натуральнага ліку. Але ні адзін з лікаў 81 – 1 = 80; 81 – 4 = 77; 81 – 9 = 72; 81 – 16 = 65; 81 – 25 = 56; 81 – 36 = 45; 81 – 49 = 32; 81 – 64 = 17 квадратам не з'яўляецца. Та­му 9 не можа быць даўжынёй гіпатэнузы, 9 не можа быць большым у піфагоравай тройцы лі­каў. Працяг – у пункце 30.

4. Такі лік знайсці зусім не цяжка, як гэта падаецца на першы погляд. Дастаткова ўспомніць, што кожная піфагорава тройка лікаў задае вялікае мноства піфагоравых троек лі­каў, прапарцыянальных ім. Калі, напрыклад, лікі 5, 12 і 13 утвараюць піфагораву тройку, то піфагоравымі з’яўляюцца таксама тройкі 10, 24 і 26 або 15, 36 і 39 або 50, 120 і 130 і г.д.→ пункт 64.

5. Карыстаючыся тэарэмай Піфагора ў кожным з чатырох прамавугольных чатырохву­гольнікаў, няцяжка вылічыць даўжыню чацвёртай стараны аднаго і другога чатырохвуголь­ніка, а затым і іх перыметры: 84+3 і 78+6. Засталося разабрацца (натуральна ж, без вылічальных прыстасаванняў), які ж з гэтых лікаў большы. Далейшая дапамога ў пункце 72.

6. а) Напрасткі спатрэбіцца 7:5 = 1,4 гадзіны. А па крывым маршруце толькі да дарогі трэба 3:5 = 0,6 гадзін. А далей? Далей у пункце 48.

7. Перад намі некалькі егіпецкіх трохвуголь­нікаў – з катэтамі 6 см і 8 см (а таму гіпатэнуза 10 см) і з катэтамі 12 см і 16 см (а таму гіпатэнуза 20 см). Такім чынам, агульная даўжыня патрэбнага дроту 4∙10 + 4∙20 + 2(24+18) = 204 (см).

З аднаго кавалка дроту патрэбную канфігу­рацыю вырабіць можна гл. мал. 6



Малюнак 6








Малюнак 7

8. Тут ёсць простае рашэнне, калі скарыстаць цікавую ўласці­васць хорд, якія перасякаюцца. Але пра гэтую ўласцівасць вы даведае­цеся пазней. Цяпер жа можна скарыстаць тэарэму Піфагора. Праўда, на малюнку 7 пакуль што не бачна ніякіх трохвугольнікаў. → пункт 63.


9. Паколькі зямля мае прыблізна форму шара, то дальнасць кругагляду з самалёта вы­значаецца даўжынёй датычнай. Калі ўспомніць, што радыус, праведзены ў пункт дотыку, перпендыкулярны датычнай, то маем справу з прамавугольным трохвугольнікам. Далей – пункт 75.

10. Няхай у трохвугольніку АВС з старанамі АВ = 29 см, ВС = 25 см і АС = 36 см пра­ведзена вышыня ВН. Патрабуецца вылічыць даўжыні адрэзкаў АН і СН. Заўважаем, што ВН – агульны катэт двух прамавугольных трохвугольнікаў... (далей – гл. пункт 77).

11. Задача здаецца падобнай на папярэднюю. Таму і пачнем гэтак жа. Няхай у трохву­гольніку АВС з старанамі АВ = 13 см, ВС = 15 см і АС = 4 см праведзена вышыня ВН. Патра­буецца вылічыць даўжыні адрэзкаў АН і СН. Заўважаем, што ВН - агульны катэт двух пра­мавугольных трохвугольнікаў... (далей – гл. пункт 21).

12. Дадзеную адносіну трэба разумець так: калі а, b, с - стораны трохвугольніка, то

а : 5 = b : 6 = с : 7 = k. Таму а = 5 k, b = 6 k, с = 7 k. Працяг у пункце 47.

13. Няхай у чатырохвугольніку АВСТ дыяганалі перасякаюцца ў пункце О. О – гэта вяршыня чатырох прамых вуглоў у прамавугольных трохвугольніках. Раздолле для Піфаго­ра!  пункт 41.

14. У тэксце задачы нічога не гаворыцца аб парадку размяшчэння гэтых старон. Таму трэба разглядаць усе магчымыя выпадкі. Колькі іх?  пункт 40.

15. Не сказана, якія стораны роўныя – супрацьлеглыя ці суседнія. Таму мы вымушаны разгледзець абодва выпадкі. Няхай спачатку роўнымі будуць супрацьлеглыя стораны, тады гэты чатырохвугольнік - паралелаграм. Ну і што? Далей – пункт 24.

16. Не названыя адзінкі вымярэння, таму будзем лічыць іх аднолькавымі і рабіць вылі­чэнні з лікамі. Трохвугольнік АВК відавочна егіпецкі, таму прамавугольны (на аснове тэарэ­мы, адваротнай тэарэме Піфагора). Не ведаем, навошта гэта трэба, але няхай будзе: пры ра­шэнні задачы любая інфармацыя можа аказацца нечакана карыснай. Для вылічэння даўжыні АС прывабна было б скарыстаць тэарэму Піфагора, але для гэтага трэба, каб адрэзак АС быў катэтам ці гіпатэнузай нейкага прамавугольнага трохвугольніка. Дзе б знайсці такі трохву­гольнік? Працяг роздуму ў пункце 56.


17. Задача нібыта такая ж, як і папярэдняя, таму пачнем рашаць яе гэтак жа. Няхай АМ і СТ - вышыні трохвугольнікаў АВК і СВК. Іх даўжыні няцяжка вылі­чыць: АМ = 12, СТ = 8. Але цяпер КМ і КТ няроўныя: КМ = 9, КТ = 6.  пункт 70.

В

А М С


Т

К

Малюнак 8



18. І гэтая задача падобная на дзве папярэднія. Пачнем падобнае ж рашэнне. Няхай РС і МВ - вышыні трохвугольнікаў РТN i TMN (выконвайце адпаведны малюнак). Іх можна разлічыць праз формулы плошчаў (тут выгадна скарыстаць формулу Герона): РС = 12 дм, МВ = 24 дм. Таму РМ можна разглядаць як дыяганаль прамавугольніка РАМК і для вылічэння РМ па тэарэме Піфагора трэба ведаць стораны гэтага прамавугольніка. Працягвайце гэты шлях, потым для параўнання зазірніце ў пункт 61.

19. Такія задачы ўжо надакучылі. Але падабенства яе да папярэдніх задач не павінна выклікаць праблем з рашэннем. Пачнем традыцыйна. У трохвугольніку РТК вышыня КН =12 і таму РН = 5 (дзякуй Піфагору!). У трохвугольніку РОТ вышыня ОВ = 36 і таму РВ = 15 (дзякуй Піфагору!). Не заблыталіся нават у тым, што вышыня ОВ па-за межамі свайго трох­вугольніка, бо ён тупавугольны? Такім чынам, дыяганаль ОК становіцца дыяганаллю прама­вугольніка, адна старана якога ёсць сума названых вышынь (12+36=) 48, а другая – роз­насць... не! не рознасць, а сума адрэзкаў РН і РВ (5+15=) 20. І яе вылічыць зноў дапаможа Піфагор: ОК = == 52. З выпуклым чатырохвугольнікам такім чынам па­кончана, засталося разабрацца з нявыпуклым. Спачатку – ці магчымы ён?  пункт 76.

2019. Праблемы тут ужо няма, дыяганаль ОК цяпер становіцца дыяганаллю прамавугольніка, адна старана якога ёсць рознасць вышынь трохвугольнікаў (36 – 12 = 24), а другая зноў 20. У гэтым выпадку ОК = = = 4. Здаецца, цяпер усё. Але ці не бянтэжаць вас тыя роўныя сінусы?  пункт 74.

2111. Абазначым АН = х см. З раўнання 169 – х2 = 225 – (4 – х)2 атрымаем х = –5 (см). Адмоўная даўжыня - гэта сюрпрыз! Ён прымушае задумацца. Можа, такога трохвугольніка не існуе? Але ж не: сума дзвюх меншых старон (13+4) большая за трэцюю, – існуе. Як быць? Можа, спачатку вылічыць вышыню праз плошчу, якую знайсці па формуле Герона? Далей – пункт 53.

223. 9, 40 і 41; 9, 12 і 15.

2311. Любы мінус гаворыць аб тым, што трэба змяніць кірунак. Калі ты глядзіш уверх, то мінус параіць табе паглядзець уніз. Так і тут. Адрэзак АН мы адкладвалі спачатку ад пункта А у бок пункта С. Атрыманы мінус і падказвае адкласці яго ў іншы бок. Шукайце адпаведны сэнс у мінусах, калі яны будуць з'яўляцца на шляхах вашых рашэнняў. І тады мінусы будуць не злыднямі, якія толькі замінаюць, а добрымі дарадцамі.

2413. Ну і што? Пакуль нічога. Але заўважым, што 8, 15 і 17 (дзве стараны і дыяганаль) утвараюць піфагораву тройку лікаў: 82 + 152 = 172. Тады па тэарэме, адваротнай тэарэме Пі­фагора, трохвугольнік з такімі старанамі прамавугольны. Ну і што? Пра тое ў пункце 54.

2513. Калі роўнымі будуць пары сумежных старон дадзенага чатырохвугольніка (дарэчы, та­кі чатырохвугольнік называюць дэльтоідам), тады ўзні­кае новае пытанне: якая з дыяганаляў мае даўжыню 17 см? Ці зноў прыдзецца разглядаць два выпадкі?  пункт 46.

2614. Калі падоўжыць тыя перпендыкуляры і праз канцы дыяганалі АС правесці прамыя, паралельныя дыяганалі ВК, то ўтворыцца прамавугольнік з дыяганаллю АС. Што ўяўляюць сабой стораны гэтага прамавугольніка?  пункт 45.



2714. Палюбуйцеся на чатырохвуголь­нік на малюнку 9. У яго тыя самыя стораны і тая ж дыяганаль ВК. Але дыяганаль АС іншая.  пункт 69.


B

C

A



K
Малюнак 9

2816. Вось з другой стараной тая ж загадка: два выпадкі ці адзін? Аднак першы выпадак відавочны, таму закончым разлікі з ім. Старана АМ = АВ + ВМ = РС + ВМ = 12 + 24 = 36 (дм). Цяпер, дзякуючы Піфагору: РМ = = = 10 (дм). Як быць з другім выпадкам?  пункт 42.

291. Сапраўды, спачатку трэба зрабіць аднолькавыя адзінкі вымярэння, напрыклад дэ­цыметры: х = 20 дм, у = 4 дм. Адказ – у пункце 50.

303. Выявілася, што 9 - гэта даўжыня катэта, тады другі катэт абазначым х, а гіпатэнузу - у (ух). Адпаведна Піфагору маем: у2х2 = 81 або (ух)(у + х) = 81. Але ж піфагорава тройка змяшчае толькі натуральныя лікі, таму ух і у + х таксама натуральныя. Працяг – у пункце 71.

3115. На жаль, пабудаванне мала дапамагае: пункт сіметрычны пункту А адносна ВК так блізка размешчаны ад прамой СК, што дакладна сказаць, з якога боку ён ад гэтай прамой, немагчыма. Не выключана нават, што ён на гэтай прамой ляжыць. Трэба шукаць дадатковую аргументацыю. Мабыць, давядзецца параўноўваць велічыні вуглоў АКВ і СКВ (ці АВК і СВК), напрыклад, праз іх сінусы.  пункт 67.

3211. У падобнага рода тупіковых сітуацыях бывае карысным зрабіць дакладны (па магчымасці) чарцёж. Успомніце, як будуецца трохвугольнік па трох старанах і – за справу. Сустрэнемся ў пункце 49.

3317. Вы разглядалі выпуклы чатырохвугольнік? А калі ён не выпуклы?  пункт 68.

3413. Адказ см можа вас супакоіць. Калі ж вы не ведаеце, як ён атрымаўся, зазірні­це да падказкі 55. Калі ведаеце, то ўсё адно зазірніце, каб параўнаць свае разважанні з разва­жаннямі, прыведзенымі там (такія параўнанні заўсёды карысныя).

3515. Першы адказ: . Другі: 5. Але ці магчымы другі адказ?  пункт 62.

3613. Але ж у прамавугольніка дыяганалі роўныя. Таму першы адказ атрыманы: калі роўнымі з'яўляюцца супрацьлеглыя стораны дадзенага чатырохвугольніка, то другая яго ды­яганаль мае даўжыню 17 см. Цяпер трэба разгледзець іншую сітуацыю. Аб тым у пункце 25.

3714. Хто мае вочы, той убачыць, што адрэзак МТ ёсць рознасць адрэзкаў ВТ і ВМ (ці КТ і КМ), якія (хто мае вочы, той убачыць) з'яўляюцца катэтамі прамавугольных трохву­гольнікаў з вядомымі гіпатэнузай і другім катэтам.  пункт 58.



3816. Таму трэба яшчэ параўнаць вуглы РТС і МТВ. SinРТС = 12:13 = 0,92..., sinМТВ = 24:25 = 0,96.  PТC   MТB. Гэта азначае, што другі выпадак выглядае так, як па­казана на малюнку 10. Фігура PTMN – не чатырохвуголь­нік, таму задача мае адзіны адказ: 10 дм (калі змаглі яго знайсці і аргументаваць без нашай дапамогі, віншуем!).


Р М


Т

N

Малюнак 10



398. Падумаем, што можна атрымаць з дадзеных. Напрыклад, можна вылічыць даўжы­ню дыяметра: 81 + 25 = 106 (см). А ведаючы дыяметр, знойдзем даўжыню радыуса: 106 : 2 = 53 (см).  пункт 73.

4018. Іх тры. Калі х см – даўжыня невядомай стараны, то адпаведна папярэдняй зада­чы: х2 + 400 = 225 + 49 або х2 + 225 = 400 + 49 або х2 + 49 = 400 + 225.  пункт 65.

4117. АВ2 = ОА2 + ОВ2, ВС2 = ОВ2 + ОС2, СТ2 = ОС2 + ОТ2, АТ2 = ОА2 + ОТ2. А што па­трабуецца ў задачы?  пункт 66.

4216. Параўнаем сінусы вострых вуглоў: sinPNC = 12:20 = 0,6; sinMNB = 24:30 = 0,8. Атрымалі, што  PNC   MNB. Ці дапамагае гэта нам?  пункт 59.

4315. Як жа з гэтым разабрацца? Мабыць, давядзецца выканаць больш-менш дакладнае пабудаванне ў абраным маштабе (напрыклад, за адзінку можна ўзяць адрэзак у 3 мм).  пункт 31.

4414. Калі вам падалося, што развязак задачы закончаны, то вы дужа памыляецеся. У задачы магчымы іншы адказ, паспрабуйце яго знайсці. Ці пашукаем разам у пункце 27.

4514. Адна старана – гэта сума двух праведзеных перпендыкуляраў. Другая – адлегласць паміж іх асновамі. Калі знойдзем даўжыні старон прамавугольніка, то патрэбную дыяганаль вылічым па тэа­рэме Піфагора.  пункт 60.

4613. Не, два выпадкі разглядаць не прыдзецца: калі дзве стараны трохвугольніка па 8 см, то трэцяя павінна быць меншай за 16 см. Таму даўжыню 17 см можа мець толькі тая дыя­ганаль, якая сцягвае няроўныя стораны. Такім чынам, зноў маем справу з прамавугольным трохвугольнікам, назавем яго АВD, у якога вядомыя катэты АВ = 15 см, АD = 8 см і гіпатэ­нуза ВD = 17 см. Другі трохвугольнік АСD роўны першаму па трох старанах. Засталося ўду­мацца ў гэтую сітуацыю.  пункт 34.

4712. Рашаючы гэтую задачу прыёмам, адпаведным таму, які прымяняўся ў задачы 8, ат­рымаем, што большая старана трохвугольніка (7k) падзеліцца на адрэзкі x = k і y = k. Адказ: 19:30.

486. Неабходную даўжыню дарогі дапаможа вылічыць Піфагор: 2 км. Агульны час тут атрымаецца такім: 0,6+2:10 = 0,6+:5  0,6+4:5 = 0,6+0,8 = 1,4 (скарыстана ня­роўнасць  4). Так што па крывой дарозе бывае хутчэй. А як яшчэ хутчэй? – пра тое паз­ней. б) У гэтым выпадку час на дарогу аднолькавы.

4911. Сюрпрыз раскрыў свае таямніцы: трохвугольнік існуе, але не такі, якім мы яго спачатку бачылі, ён тупавугольны. І вышыня апускаецца не на старану АС, а на яе падаў­жэнне. Такім чынам, меншая старана трохвугольніка ні на якія адрэзкі вышынёй не дзеліцца. Адказ ёсць. Але ж карысна паразважаць над атрыманай раней адмоўнай даўжынёй. Матэма­тычныя формулы не могуць прыводзіць да глупстваў, у кожнай нечаканасці можна знайсці схаваны сэнс. Пашукайце яго і тут. Не атрымаецца, – пашукаем разам у пункце 23.

501. 4 дм.

512. 15 см.

5210. 21 см і 15 см.

5311. Паўперыметр р = (15 + 13 + 4) : 2 = 16. Тады S = = 24 = 0,5 АСВН, адкуль ВН = 12 (см). Цяпер з прамавугольнага трохвугольніка АВН атрымаем АН = = 5 (см). Непрыемнага мінуса тут няма, але ад гэтага не лягчэй: частка адрэзка большая за адрэзак! Праблема застаецца. Працяг роздуму ў пункце 32.

5413. Ну і што? Ды тое, што паралелаграм становіцца прамавугольнікам. Ну і што?  пункт 36.

5513. Другая дыяганаль падзяляе чатырохвугольнік на два раўнабокія трохвугольнікі, для кожнага з якіх адрэзак ВD змяшчае бісектрысу вугла пры вяршыні. А бісектрыса ў такім выпадку з'яўляецца і вышынёй. Таму дыяганалі чатырохвугольніка ўзаемна перпендыкуляр­ныя. Засталося вылічыць вышыню прамавугольнага трохвугольніка і падвоіць яе. А выліч­ваць вышыню трохвугольніка вы ўжо можаце рознымі спосабамі – ці праз формулы плош­чаў, ці праз тэарэму Піфагора. Нагадваем: адказ у пункце 34.

5614. Апусціўшы з пунктаў А і С перпендыкуляры на ВК, атрымаем два прамавуголь­ныя трохвугольнікі з гіпатэнузамі, якія ў суме даюць патрэбную дыяганаль. Даўжыні гэтых перпендыкуляраў разлічыць няцяжка (гл., напрыклад, задачу 8), але як знайсці даўжыні дру­гіх катэтаў?  пункт 26.



578. Радыус становіцца гіпатэнузай прамавугольнага трохвугольні­ка, адзін з катэтаў якога ёсць палова шуканай хорды (ведаем жа, што дыя­метр, перпендыкулярны да хорды, дзеліць яе папалам), а другі знаходзіц­ца адыманнем: 53 – 25 = 28 (см). Засталося, дзякуючы Піфагору, вылічыць даўжыню другога катэта і памножыць на два. Адказ: 90 см.





Малюнак 11

5814. ВМ = = 16, ВТ = = 16. Гэта сюрпрыз, але хутчэй прыем­ны: пункты М і Т супадаюць і - шуканая дыяганаль роўна суме адрэзкаў АМ і СТ. Адказ: 42. Падумайце крыху пра атрыманы вынік і зазірніце ў пункт 44. Абавязкова зазірніце.

5916. Не, не дапамагае. Бо яшчэ сумніўна, ці перасякуцца адрэзкі ТМ і NР, калі трохву­гольнік NРТ адкінуць (адлюстраваць сіметрычна) па другі бок адрэзка NТ.  пункт 38.

6014. Няхай АМ і СТ – названыя перпендыкуляры да ВК. Калі ў вас атрымалася, што АМ = 12, СТ = 30, то вы не памыліліся. Такім чынам, адна старана прамавугольніка 12 + 30 = 42. Другая ж старана роўна адрэзку МТ. Як вылічыць яго даўжыню?  пункт 37.

6116. Адпаведна Піфагору (як часта даводзіцца карыстацца паслугамі гэтага мудрага чалавека!) NС = = 16 (дм) - ужо сюрпрыз: NС  NТ, але з гэтым сюрпрызам раз­бярэмся лёгка, проста трохвугольнік РТN тупавугольны і вышыня апушчана не на старану NТ, а на яе падаўжэнне. Аналагічна: NВ = =18 (дм) - тое ж патлумачэнне. Такім чынам, ВС = 18 – 16 = 2 (дм) - адна старана патрэбнага прамавугольніка вядомая. Працяг у пункце 28.



6215. Калі мы адкінем (сіметрычна адлюструем) трохвуголь­нік АВК на другі ад адрэзка ВК бок, дык ці не атрымаецца фігура, паказаная на малюнку 12, якая чатырохвугольнікам не з'яўляец­ца?  пункт 43.




Малюнак 12

638. Спробы разгледзець вось гэтыя трохвугольнікі (гл. малюнак 13) не прыводзяць да мэты, бо ў гэтых трохву­гольніках вядомая толькі адна старана.  пункт 39.







Малюнак 13

644. Папярэдняй падказкі, мабыць, дастаткова, каб здагадацца, што трэба ўзяць любыя тры піфагоравы тройкі і знайсці агульнае кратнае для, напрыклад, найменшых з гэтых троек. Возьмем тройкі 3, 4 і 5; 5,12 і 13; 8, 15 і 17. Найменшым агульным кратным для лікаў 3, 5 і 8 ёсць лік 120. Заменім узятыя тройкі тройкамі прапарцыянальных ім лікаў так, каб першым з лікаў быў лік 120. Адказ: 120, 160 і 200; 120, 288 і 312; 120, 225 і 255. (Гэткім жа чынам можна знайсці лік, які ўваходзіць хоць у сотню розных піфагоравых троек.)

6518. Першае раўнанне (х2 = –126) не мае каранёў. З другога і трэцяга раўнанняў атры­маем адказы: 4 см або 24 см.

6617. Гаворка ідзе пра сумы квадратаў супрацьлеглых старон. АВ2 + СТ2 = ОА2 + ОВ2 + ОС2 + ОТ2 , ВС2 + АТ2 = ОВ2 + ОС2 + ОА2 + ОТ2 . Правыя часткі роўнасцяў аднолькавыя, таму і левыя аднолькавыя: АВ2 + СТ2 = ВС2 + АТ2, што і чакалася атрымаць. Толькі ж ці гэта ўсё?  пункт 33.

6715. З прамавугольных трохвугольнікаў АКМ і СКТ маем: sinАКМ = 12:15 = 0,8; sinСКТ = 8:10 = 0,8. Сінусы вострых вуглоў роўныя, таму і самі вуглы роўныя. З чаго і выні­кае, што прамень, сіметрычны праменю КА адносна прамой ВК, супадзе з праменем КС і з гэтай прычыны другога чатырохвугольніка не атрымаецца. Адказ адзіны: .




6817. Для невыпуклага чатырохвугольніка нічога не зменіцца. Толькі што пункт О будзе па-за чатырохву­голь­нікам. Але ж ён зноў вяршыня чатырох прамаву­гольных трохвугольнікаў (гл.малюнак 14) і тыя ж раз­важанні паў­тараюцца.


А

Т В

О
С


Малюнак 14

6914. Не, новыя вылічэнні праводзіць не трэба. Проста ў гэтым выпадку дыяганаль АС роўна рознасці адрэзкаў СТ і АМ. Поўны адказ выглядае так: 42 або 18. Прыміце да ведама гэты вынік: пры развязванні геаметрычных задач трэба разглядаць усе магчымыя выпадкі размяшчэння фігур ці ці іх частак.

7015. Гэта толькі крыху ўскладняе вылічэнні: АС цяпер становіцца дыяганаллю прама­вугольніка з старанамі 9 – 6 = 3 і 12 + 8 = 20 (або 12 – 8 = 4?).  пункт 35.

713. Якія натуральныя лікі даюць у здабытку 81? 181, 327 і 99. Апошні выпадак адпа­дае, бо ух у + х. Тады атрымаем дзве сістэмы раўнанняў: ух = 1 і у + х = 81 або ух = 3 і у + х =27. З іх і атрымаем патрэбнае. Адказ у пункце 22.

725. Мы не ведаем, які з знакаў  , = ці  паставіць паміж лікамі 84+3 і 78+6. Будзем лічыць, што літара і замяняе той невядомы нам знак і пачнем выконваць пераўтва­рэнні, якія не змяняюць знака. Перанясем 78 у левы бок: 6+3 і 6. Узвядзем абедзве часткі ў квадрат (для дадатных лікаў знак не зменіцца): 36+36+90 і 36∙7  126+36 і 252. Перанясем 126 у правы бок: 36 і 126. Падзелім на 6: 6 і 21. Яшчэ раз узвядзем у квадрат: 360 і 441. Цяпер бачна, які з знакаў паставіць: 360  441. Але нашы пераўтварэнні знака не змянялі, таму перыметр першага чатырохвугольніка меншы. Гэта адказ.

738. Калі вядомая даўжыня радыуса, то ёсць сэнс прыгледзецца да трохвугольніка, стараной якога з’яўляецца радыус. Правядзем радыус да аднаго з канцоў хорды.  пункт 57.

7419. Калі вуглы не роўныя, а іх сінусы роўныя, то такія вуглы ў суме складаюць 180о. Але сума вуглоў ТРК і ТРО ў выпадку выпуклага чатырохвугольніка – гэта вугал КРО. Што ж гэта за чатырохвугольнік, адзін з вуглоў якога разгорнуты? Гэта ўжо не чатырохвугольнік і ніякай дыяганалі там вылічваць не трэба. Таму першы з атрыманых адказаў трэба адкінуць як немагчымы. Адказ для гэтай задачы адзіны: 4. Вось як: бывае, што выпуклага чатырохвугольніка , адпаведнага ўмове задачы, не існуе, а нявыпуклы – калі ласка.

759. Даўжыню датычнай знойдзем па тэарэме Піфагора:

= =  280 (км). Прыбліжаны адказ тут натуральны, таму што і дадзеныя лікі нельга лічыць дакладнымі. З вышыні 7 км дальнасць кругагляду павялічыцца прыблізна на 20 км.

7619. Зразумела, што трохвугольнік ОРТ не можа змясціцца ў межах трохвугольніка КРТ, бо ў яго стораны большыя. Таму для існавання нявыпуклага чатырохвугольніка трэба, каб трохвугольнік КРТ пры сіметрыі адносна прамой РТ апынуўся ўнутры трохвугольніка ОРТ. А для гэтага трэба, каб вуглы Р і Т трохвугольніка КРТ былі меншымі за адпаведныя вуглы трохвугольніка ОРТ. Параўнаем іх сінусы: sinРТК = 12:20 = 0,6, sinРТО = 36 : (36) = ; sinРТК < sinРТО. Цяпер для вуглоў з вяршыняй Т: sinТРК = , sinТРО = = . Сінусы роўныя! Але ж сказаць, што вуглы роўныя, не можам: першы з іх востры, другі – тупы. Першы відавочна меншы, тут і сінусы не трэ было вылічваць. Атрымліваецца, што нявыпуклы чатырохвугольнік існуе і яго дыяганаль трэба вылічваць.  пункт 20.



7710. Па тэарэме Піфагора для аднаго і другога трохвугольніка атрымаем: ВН2 = 292 – АН2 = 252 – СН2 . Калі АН = х см, то СН = (36 – х) см. Атрымалі раўнанне: 841 – х2 = 625 – (36 – х)2. Адказ у пункце 52.


Заўвагі

1 Неяк пачаў гаварыць з заслужанай настаўніцай Беларусі Дз.Алейнікавай пра неда­хопы дзейных падручнікаў геаметрыі. Дзіна Канстанцінаўна ўсміхнулася і сказала: “А я не бядую, што падручнікі няўдалыя. Калі я навучу сваіх чытаць няўдалыя падручнікі, то яны змогуць разбірацца з іншымі матэматычнымі тэкстамі. А матэматыкі рэдка пішуць прыгожа і даступна.” Што ж, калі стаць на яе пазіцыю, то добраўспрымальныя падручнікі для матэма­тычных класаў і не патрэбныя. Але ж трэба падумаць і пра класы нематэматычнага профілю. Там ужо не трэба рыхтаваць да чытання грувасткіх матэматычных тэкстаў. Гуманітарыям патрэбен падручнік з інфармацыяй, якая можа ім спатрэбіцца, і пісаны мовай, прыдатнай для іх. Як такі падручнік мог бы выглядаць? Перад вамі спроба маленькай прыступкі да яго.

2 Закіды за межы пазначанай тэмы вельмі карысныя. Ненавязліва рассыпаныя па тэкс­це пытанні, прапановы, роздумы (аўтар называе ўсё гэта свербідумкамі), якія выводзяць дум­кі вучня за межы тэмы а нават за межы падручніка, нейкі вучань можа проста абмінуць, не заўважыць і не думаць аб гэтым. Розум жа другога незнарок зачэпіцца за гэтае пытанне і яно пачне “свярбець” у галаве, не даваць спакою. Нарэшце чалавек звернецца да настаўніка ці пашукае (магчыма, з падказкі таго ж настаўніка) дадатковую літаратуру. Разумны настаўнік абавязкова пастараецца зрабіць так, каб яго вучні такія пытанні і прапановы заўважалі і за­думваліся над імі.

3 Фрагменты літаратурных сюжэтаў, каляматэматычны фальклёр, гістарычныя факты і легенды (калі яны да месца і калі не перабіраць меры) толькі ўпрыгожаць матэматычныя звесткі падручніка, прыцягнуць да іх больш пільную ўвагу навучэнцаў. Падручнік (а разам з ім і настаўнік) дапамогуць прытым навучэнцам крытычна ставіцца да асобных папулярных сцвярджэнняў (кшталту ўсебаковай роўнасці “піфагоравых штаноў”). Вось жа ляпнуў нейкі недарэка, што выключэнні даказваюць правілы, і шмат хто за ім, як папугаі, гэтую лухту паў­тараюць. Атрымліваецца, што чым больш выключэнняў, тым лепшае правіла. Самае лепшае правіла павінна складацца з адных выключэнняў. Але ж выключэнні ніколі не даказваюць правілаў. Яны правілы разбураюць. Каму, як не настаўніку матэматыкі (і падручніку!), пра гэта з вучнямі гаварыць.

4 Не бачыў ні воднага падручніка, дзе б была добрая сістэма задач на выкарыстанне тэарэмы Піфагора. У гэтую тэму чаго толькі ні напхаюць, нават таго, дзе тэарэмай Піфагора і “не пахне”, а задач менавіта для выпрацоўкі навыка прымянення тэарэмы Піфагора і ёй адва­ротнай не хапае. Тут сціплая спроба выправіць гэтую хібу.

5 Гэты раздзел цалкам новы для школьных падручнікаў матэматыкі. Менавіта дзеля яго і задумана гэтая публікацыя. На погляд аўтара, падручнік не толькі павінен даваць пэў­ную інфармацыю, падручнік павінен вучыць ёю карыстацца, павінен вучыць думаць, павінен вучыць рашаць задачы. Тут простых узораў таго, як тая ці іншая задача рашаецца, і адказаў да іншых задач недастаткова. І не трэба перакладваць гэтую праблему толькі на настаўніка. Настаўнікі розныя. Ёсць тыя, хто добра ўсвядоміў сутнасць рашэння задач, умее рабіць гэта сам і ўмее навучыць другіх (хочацца спадзявацца, што такіх болей). Ёсць жа, на жаль, і такія, для каго задача крыху больш складаная, чым тыя, якія ён прапануе сваім вучням на кант­рольных работах, становіцца непрыступнай крэпасцю. І калі здольны да матэматыкі малень­кі чалавек трапляе да такога настаўніка, яму можна паспачуваць, бо яго здольнасці так і зас­тануцца нераскрытымі. Часткова гэтую праблему павінен вырашаць падручнік. Як? Вось, на­прыклад, так, як паказана тут. У кампутарным варыянце гэта магло б выглядаць яшчэ прыва­бней. Хацелася б пачуць водгукі настаўнікаў менавіта аб гэтым раздзеле.
Міхась Булавацкі, настаўнік вышэйшай катэгорыі

Магілёў 212030, а.с.3

bulavacki@mail.ru

Кантрольныя задачы

1. Разлічыць перыметр паралелаграма, калі яго дыяганалі ўзаемна перпендыкулярныя і маюць даўжыні а) 16 см і 3 дм; б) 9 см і 13 см;

2. Разлічыць перыметр паралелаграма, калі яго дыяганалі ўзаемна перпендыкулярныя і маюць даўжыні а) 4м і 9 дм; б) 15 мм і 5 мм.
3. Разлічыць перыметр паралелаграма, калі яго большая старана 41 см, а дыяганаль, перпендыкулярная да стараны, мае даўжыню 9 см.

4. Разлічыць дыяганаль ромба, калі вядомыя яго старана 61 м і другая дыяганаль 120 м.
5. У трохвугольніку з старанамі АВ =17 см, ВС = 10 см і АС = 9 см праведзены вышыня ВН і медыяна ВМ. Разлічыць даўжыню адрэзка МН.

6. З пункта А праведзены да акружнасці датычныя АВ і АС даўжынямі па 10 см. Разлічыць даўжыню хорды ВС, калі радыус акружнасці мае даўжыню 24 см.
7. Разлічыце невядомую дыяганаль чатырохвугольніка АВСК, калі вядомыя яго стораны АВ = 25 м, ВС = 15 м, СК = 20 м, АК = 30 м і дыяганаль ВК = 25 м.

8. Разлічыце невядомую дыяганаль чатырохвугольніка АВСК, калі вядомыя яго стораны АВ = 25 м, ВС = 20 м, СК = 15 м, АК = 30 м і дыяганаль ВК = 25 м.

(Развязкі задач 7 і 8 iстотна адрознiваюцца. Чым? )


* Тое, што гэтыя тры фігуры - квадраты, таксама патрабуе доказу, які вучням няцяжка правесці самастойна.

*



База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка