Раздзел логіка прэдыкатаў




старонка1/4
Дата канвертавання01.05.2016
Памер1.92 Mb.
  1   2   3   4
РАЗДЗЕЛ 3. ЛОГІКА ПРЭДЫКАТАЎ

– Але я не змяя! – сказала Алiса. – Я...я...

Ну скажы, скажы, хто ты такая? – працягвала Галубка. – Адразу бачу, хочаш штосьцi выдумаць.

– Я... Я... дзяўчынка, – сказала Алiса вельмi няўпэўнена, успомнiўшы, колькi разоў яна змянялася за гэты дзень.

– Вось добрая выдумка! – адказала Галубка з вялiкай пагардай. – Бачыла я за сваё жыццё шмат дзяўчынак, але з такой шыяй — нiводнай! Не, мяне не ашукаеш! Ты змяя i бессэнсоўна адракацца. Ты мне яшчэ скажаш, што нiколі не каштавала яйкi.

– Чаму ж не, каштавала, – адказала Алiса. (Яна заўсёды казала праўду). – Але дзяўчынкi, ведаеце, таксама ядуць яйкi, як і змеі.

– Не можа быць, – адказала Галубка. – Але, калi гэта праўда, тады яны таксама змеi! Гэта ўсё, што я магу сказаць.

(Льюiс Кэрал. Прыгоды Алiсы ў краiне цудаў)


§1. Прэдыкаты
Iснуюць логiкавыя разважаннi, якiя не могуць быць запiсаныя i абгрунтаваныя ў рамках алгебры выказванняў. Напрыклад:

(1) Адвольны кубiчны палiном над полем рэчаiсных лiкаў мае рэчаiсны корань. – кубiчны палiном над полем рэчаiсных лiкаў. Значыць, мае рэчаiсны корань.

(2) Кожны матэматык у душы паэт. У ім няма ніякай паэзіі. Значыць, ён не матэматык.

(3) Існуе рэчаісны ірацыянальны лік. Значыць, не ўсе рэчаісныя лікі – рацыянальныя.

(4) Не ўсе непарыўныя на інтэрвале функцыі абмежаваныя на гэтым інтэрвале. Значыць, існуе непарыўная на інтэрвале функцыя, неабмежаваная на гэтым інтэрвале.

(5) Ніводзін студэнт матэматычнага факультэту не спісвае на экзаменах. Максім спісвае на экзаменах. Значыць, Максім не з’яўляецца студэнтам матэматычнага факультэту.

Правільнасць гэтых і падобных разважанняў залежыць ад нутраной структуры сказаў, ад разумення выразаў “кожны”, “адвольны”, “усе”, “існуе”, “ёсць” і да т.п..

Перш чым аналiзаваць гэтыя разважаннi, увядзем паняцце прэдыкату.



Азначэнне. n-месцавым прэдыкатам на мноствах называецца функцыя ад аргументаў , дзе для , а значэннi функцыi ёсць выказваннi. Калi , тады прэдыкат называецца –месцавым прэдыкатам на мностве .

Усякае выказванне будзем лiчыць 0-месцавым прэдыкатам. Калi , тады прэдыкат адпавядае таму, што называецца ўласцiвасцю, калi , тады прэдыкат – гэта бiнарнае дачыненне. Кожнаму -месцаваму прэдыкату на мноствах можна паставiць у адпаведнасць функцыю ад тых сама аргументаў , , , з значэннямi ў {0,1} наступным чынам: вобраз ёсць логiкавае значэнне выказвання . Мы дамовiлiся ў алгебры выказванняў атаясамляць выказваннi i iхнiя логiкавыя значэннi, таму мы не будзем адрознiваць прэдыкат i адпаведную яму функцыю.



Азначэнне. Няхай -месцавы прэдыкат на мноствах . Мноствам праўдзiвасцi гэтага прэдыкату называецца мноства ўсiх такiх, што – праўдзiвае выказванне.

Такiм чынам, кожнаму -месцаваму прэдыкату на мноствах адпавядае падмноства ў . Наадварот, адвольнае падмноства мноства ёсць мноства праўдзiвасцi некаторага прэдыкату, менавiта . Адпаведнасць памiж прэдыкатамi на i падмноствамi мноства , вiдавочна, узаемна адназначная (калi не адрознiваць прэдыкат i адпаведную яму функцыю ), таму часам прэдыкатам на мноствах называюць падмноства мноства .



Прыклады. 1. Раўнанне задае аднамесцавы прэдыкат на мностве рэчаiсных лiкаў : . Маем , . Мноства праўдзiвасцi прэдыкату складаецца з адзiнага лiку –1.

2. Задамо двухмесцавы прэдыкат на няроўнасцю : . Тады , , . Мноства праўдзiвасцi прэдыкату – паўплоскасць .

3. Сказ “Студэнты i вучацца ў адной групе” ёсць двухмесцавы прэдыкат на мностве ўсiх студэнтаў. Мноства праўдзiвасцi прэдыкату ёсць мноства ўпарадкаваных параў , дзе студэнты вучацца ў адной групе.

4. Сказ “рака упадае ў ” ёсць двухмесцавы прэдыкат на , дзе – мноства ўсiх рэкаў, а – мноства ўсiх вадаёмаў. Калi – Прыпяць, а – Дняпро, тады ёсць праўдзiвае выказванне “Прыпяць упадае ў Дняпро”, калi ж – Прыпяць, а – Нарач, тады ёсць непраўдзiвае выказванне “Прыпяць упадае ў Нарач”.

Бiнарная алгебрычная аперацыя на мностве вызначае 3-месцавы прэдыкат на : . Гэты прэдыкат адпавядае ўмовам: 1) для кожных элементаў знойдзецца , такi, што i 2) Kалi i , тады . Мноства праўдзiвасцi прэдыкату ёсць мноства ўсiх упарадкаваных троек элементаў мноства такiх, што . Аналагiчна, паняццю алгебрычнай -месцавай аперацыi на адпавядае -месцавы прэдыкат на .



Азначэнне. Няхай -месцавы прэдыкат на мноствах . Прэдыкат называецца: 1) Тоесна праўдзiвым, калi для кожнага набору значэнняў аргументаў ягонае значэнне роўнае 1; 2) тоесна непраўдзiвым, калi для кожнага набору значэнняў аргументаў ягонае значэнне роўнае 0; 3) здзяйсняльным, калi iснуе прынамсi адзiн набор значэнняў аргументаў, для якога ягонае значэнне роўнае 1. Калi прэдыкат – тоесна праўдзiвы, будзем пiсаць , калi тоесна непраўдзiвы – .

Прыклады. 5. Прэдыкат – тоесна праўдзiвы прэдыкат на , але не тоесна праўдзiвы, а толькi здзяйсняльны на .

6. Прэдыкат тоесна непраўдзiвы на , але здзяйсняльны на .

7. Прэдыкат (дыяганалi узаемна перпендыкулярныя) – тоесна праўдзiвы прэдыкат на мностве ўсiх ромбаў, але не тоесна праўдзівы на мностве ўсіх чатырохвугольнікаў.

Азначэнне. Прэдыкаты i на мноствах называюцца раўназначнымi, калi iхнiя мноствы праўдзівасці роўныя. У гэтым разе будзем пiсаць .

Прыклад 8. Прэдыкаты i на мностве раўназначныя, бо мноствы праўдзiвасцi абодвух гэтых прэдыкатаў роўныя .

Прыклад 9. Прэдыкаты (дзве стараны трохвугольніка роўныя), (два вуглы трохвугольніка роўныя), (вышыня трохвугольніка з’яўляецца ягонай медыянай), (вышыня трохвугольніка з’яўляецца ягонай бісектрысай) на мностве ўсіх трохвугольнікаў плоскасці раўназначныя, бо мноства праўдзівасці кожнага з гэтых прэдыкатаў ёсць мноства ўсіх роўнабаковых трохвугольнікаў плоскасці.

Няхай i – прэдыкаты на мноствах . Тады для кожнага набору значэнняў аргументаў i – выказваннi. Таму з гэтых выказванняў можна скласцi новыя выказваннi:



, ,

, ,

.

Такiм чынам, над прэдыкатамi можна выконваць аперацыi алгебры выказванняў; у вынiку атрымлiваюцца новыя прэдыкаты, якiя абазначаюцца



, ,

, ,

.

Заўвага. Калi прэдыкаты залежаць ад розных зменных, гэтае азначэнне таксама прыдатнае, бо -месцавы прэдыкат можна разглядаць як -месцавы , i таму можна лiчыць, што прэдыкаты, да якiх дастасоўваюцца логiкавыя аперацыi, залежаць ад тых сама зменных.

Прыклад 10. Няхай , , – прэдыкаты на . Тады – аднамесцавы прэдыкат, , – двухмесцавыя прэдыкаты, – трохмесцавы прэдыкат. Знойдзем некаторыя iхнiя значэннi. Маем

, , , , , , , .

Сцверджанне 1. Калi прэдыкаты i – тоесна праўдзiвыя на мноствах , тады прэдыкат тоесна праўдзiвы на .

Доказ сцверджання 1 пакідаем чытачу.

Увядзем новыя аперацыi над прэдыкатамi, якiя не маюць аналагаў сярод аперацыяў над выказваннямi.

Заўвага. Калi -месцавы прэдыкат на мноствах , фiксаваны элемент мноства , тады -месцавы прэдыкат ад зменных на мноствах . Аналагiчна, калi зафiксаваць зменных , атрымаем -месцавы прэдыкат ад астатніх зменных.

Напрыклад, няхай ( – сябар ) – прэдыкат на мностве ўсіх людзей, – Васіль, – Алесь, тады ёсць аднамесцавы прэдыкат = (Васіль – сябар ), – аднамесцавы прэдыкат = (– сябар Алеся). Калi – трохмесцавы прэдыкат на мностве рэчаiсных лiкаў, тады – двухмесцавы прэдыкат ад , а – аднамесцавы прэдыкат ад .



Азначэнне. Няхай – аднамесцавы прэдыкат на мностве . ёсць выказванне “Для кожнага ”, якое праўдзiвае калi i толькi калi – тоесна праўдзiвы прэдыкат на .

Выказванне можна выразіць таксама сказамі “Для адвольнага ” або “Для ўсiх ”.

Сымболь называецца квантарам агульнасцi па зменнай (сымболь – перавернутая першая лiтара ангельскага слова “All” - усе).

Прыклады. 11. Няхай – аднамесцавы прэдыкат на . Тады .

12. Калi на , тады .

Азначэнне. Няхай -месцавы прэдыкат на мноствах , . Праз будзем абазначаць -месцавы прэдыкат ад зменных на мноствах , значэнне якога для кожных ,…,,,..., ёсць выказванне . Такiм чынам, логікавае значэнне

1, калi – тоесна праўдзiвы прэдыкат ад ;

0, калi – не тоесна праўдзiвы.



Азначэнне. Няхай – аднамесцавы прэдыкат на мностве . ёсць выказванне “Існуе такі, што ”, якое праўдзiвае ў тым i толькi тым разе, калi прэдыкат здзяйсняльны.

Выказванне можна выразіць таксама сказамі “Ёсць такі, што ”, “Для некаторых выконваецца ”.

Сымболь называецца квантарам існавання па зменнай (сымболь – павернутая першая лiтара ангельскага слова “Exist” – існаваць).

Прыклады. 13. Няхай – аднамесцавы прэдыкат на . Тады .

14. Калi на , тады .

1, калi – здзяйсняльны прэдыкат

ад ;

0, калi – тоесна непраўдзiвы прэдыкат.



Азначэнне. Няхай -месцавы прэдыкат на мноствах , . Праз будзем абазначаць -месцавы прэдыкат ад зменных на мноствах , значэнне якога для кожных ,…,,,..., ёсць выказванне . Такiм чынам, логікавае значэнне


Прыклады. 15. Няхай – прэдыкат ад дзвюх зменных, азначаны на мностве ўсiх жыхароў Беларусi ўмовай =( старэйшы за ). Тады ёсць прэдыкат ад зменнай :

=(Існуе жыхар Беларусi, старэйшы за ).

Калi , дзе – найстарэйшы жыхар Беларусi, тады ; пры , дзе – студэнт Алексяевiч, .



16. Няхай – двухмесцавы прэдыкат на . На мал.4 паказаны графiк функцыi , заштрыхаваны абсяг – мноства праўдзiвасцi прэдыкату .


Мал. 4
ёсць прэдыкат ад зменнай , бо простая перасякае заштрыхаваны абсяг калi i толькi калi .

ёсць прэдыкат ад , бо для кожнага простая перасякае мноства праўдзiвасцi прэдыкату .

ёсць прэдыкат ад (простая цалкам ляжыць у заштрыхаваным абсягу калi i толькi калi ).

ёсць прэдыкат ад (простая нi пры якiм не ляжыць цалкам у заштрыхаваным абсягу).

Кожны з атрыманых чатырох прэдыкатаў можам зноў звязаць квантарам, напрыклад, , , ; у вынiку мы атрымалi выказваннi, г.зн., 0–месцавыя прэдыкаты.



17. Няхай =( – бацька ) – прэдыкат ад дзвюх зменных на мностве ўсiх жыхароў Беларусi. Тады – прэдыкат ад зменнай , мноства праўдзівасці якога – мноства мужчынаў на Беларусі, якія маюць дзяцей; – тоесна праўдзівы прэдыкат ад ; і – тоесна непраўдзівыя прэдыкаты ад і адпаведна.

Заўвага. У выразах , зменная ўжо не з’яўляецца зменнай у звычайным сэнсе, г.зн., замест яе нельга падстаўляць фіксаваныя значэннi, і ёсць прэдыкаты (функцыi) ад зменных . Зменная ў выразах , называецца злучанай. Падобная сiтуацыя ўжо сустракалася вам у матэматыцы, напрыклад, значэнне не залежыць ад ( з’яўляецца злучанай зменнай). Аналагiчна, не залежыць ад , але залежыць ад ( – злучаная зменная, а – вольная), не залежыць ад , але залежыць ад ( – злучаная зменная, – вольная). У выразе першае ўваходжанне зменнай вольнае, а другое i трэцяе – злучаныя; абодва ўваходжаннi зменнай вольныя.

Доказы наступных сцверджанняў вынiкаюць з азначэння аперацыяў дастасавання квантараў, мы пакiдаем іх чытычу як практыкаваннi.



Сцверджанне 2. Няхай -месцавы прэдыкат на мноствах , мноства – канцоўнае, , , . Тады

.

Iншымi словамi, у выпадку канцоўнага мноства аперацыя дастасавання квантару агульнасцi выражаецца праз кан’юнкцыю. Для прэдыкатаў, якiя азначаныя на бясконцых мноствах, аперацыя дастасавання квантару з’яўляецца iстотна новай, г.зн., не выражаецца праз аперацыі алгебры выказванняў. Аналагiчна, аперацыя дастасавання квантару iснавання ў выпадку канцоўнага мноства выражаецца праз аперацыю дыз’юнкцыi; для прэдыкатаў на бясконцых мноствах гэта iстотна новая аперацыя.



Сцверджанне 3. Няхай -месцавы прэдыкат на мноствах , мноства – канцоўнае, , , . Тады

.

Сцверджанне 4. -месцавы прэдыкат з’яўляецца тоесна праўдзiвым калi i толькi калi -месцавы прэдыкат – тоесна праўдзiвы.

Сцверджанне 5. -месцавы прэдыкат тоесна непраўдзiвы калi i толькi калi -месцавы прэдыкат – тоесна непраўдзiвы.

Сцверджанне 6. Для адвольнага -месцавага прэдыкату

(a) ;

(b) ;

(c) ;

(d) , .

Прыклады. 18. Адмаўленне выказвання “Кожны паліном ненулявой ступені над полем камплексных лікаў мае камплексны корань” паводле сцверджання 6 (a) раўназначнае выказванню “Існуе паліном ненулявой ступені над полем камплексных лікаў, які не мае камплекснага кораня”. Адмаўленне выказвання “Існуе непарыўная на інтэрвале функцыя, якая у ніводным пункце гэтага інтэрвалу не мае вытворнай” паводле сцверджанняў 6 (b), (a) і закону падвойнага адмаўлення раўназначнае выказванню “Кожная непарыўная на інтэрвале функцыя мае вытворную прынамсі у адным пункце гэтага інтэрвалу”.



19. Няхай спісаў кантрольную работу ў – прэдыкат на мностве ўсіх студэнтаў вашай групы. Тады (Ёсць студэнт, які спісаў кантрольную работу ў . Адмаўленне гэтага прэдыкату ёсць прэдыкат (Няма студэнта, які спісаў кантрольную работу ў , які паводле сцверджання 6 (b) раўназначны (Кожны студэнт не спісаў кантрольную работу ў =(Ніхто не спісаў кантрольную работу ў . Адмаўленне прэдыкату спісаў кантрольную работу ў некаторага студэнта) раўназначнае ні ў кога не спісаў кантрольную работу). Для прэдыкату (Усе студэнты спісалі кантрольную работу ў адмаўленне, паводле сцверджання 6 (a), раўназначнае прэдыкату (Ёсць студэнт, які не спісаў кантрольную работу ў .

Няхай -месцавы прэдыкат на мноствах , , . Увядзем скарачэнне для абазначэння прэдыкатаў і :



= ,

= .

Паводле сцверджання 6(a), раўназначнасці (19) з практыкавання 5 §2 раздзелу 1 і законаў дэ Моргана і падвойнага адмаўлення будзем мець:



=



= .

Такім чынам,



.

Аналагічна атрымаем



.

У прыватнасці, калі , , дзе – фіксаваны элемент з , будзем мець (замест мы пішам ):



,

.

Прыклады. 20. Запiшам моваю логiкi прэдыкатаў (скарыстаўшы ўведзеныя скарачэнні) сказ “Паслядоўнасць мае лiмiт ”:

.

Адмаўленне, г.зн., прэдыкат , можам атрымаць з гэтай формулы, скарыстаўшы даказаныя раўназначнасцi:





.

21. Сказ “Функцыя непарыўная ў пункце ” запiшацца наступнай формулай логiкi прэдыкатаў:

.

Яе адмаўленне, г.зн., сказ “Функцыя разрыўная ў пункце ”, запiшацца ў выглядзе формулы



,

якой з дапамогаю раўназначных пераўтварэнняў можна надаць выгляд:



.
Аперацыi над прэдыкатамi маюць наглядную геаметрычную iнтэрпрэтацыю. Для адвольнага -месцавага прэдыкату на мноствах абазначым праз мноства праўдзiвасцi прэдыкату . Няхай i -месцавыя прэдыкаты на . Тады, вiдавочна, мноства праўдзiвасцi кан’юнкцыi гэтых прэдыкатаў ёсць ; мноства праўдзiвасцi дыз’юнкцыi ёсць ; мноства праўдзiвасцi прэдыкату ёсць , дзе – дадатак мноства да мноства . Такiм чынам,

. (1)

Практыкаванне 1. Знайсцi мноствы праўдзiвасцi прэдыкатаў і .

Вiдавочна, што ўсе эквiвалентнасцi алгебры выказванняў застаюцца праўдзiвымi i для прэдыкатаў (для доказу дастаткова зафіксаваць зменныя і скарыстаць адпаведную эквівалентнасць для выказванняў), таму для прэдыкатаў сапраўдныя эквiвалентнасцi (2)–(11) з практыкавання 5 §2 раздзелу 1; такiм чынам, мноства ўсiх -месцавых прэдыкатаў на мноствах з’яўляецца булевай алгебрай у дачыненнi да аперацыяў . Чытач, знаёмы з паняццем iзамарфiзму, зразумее, што з (1) вынiкае iзаморфнасць гэтай алгебры i алгебры ўсiх падмностваў мноства .

Няхай цяпер ( ). Мноства праўдзiвасцi прэдыкату ёсць праекцыя на мноства , бо калi i толькi калi для некаторага элементу . Такiм чынам,

.

З раўназначнасцi (c) сцверджання 6 вынікае



.

Практыкаваннi. 2. Няхай – прэдыкат на мностве ўсiх людзей, якi значыць “ кахае ”. З дапамогаю аперацыяў над прэдыкатамi запiсаць сказы:

(1) Алена кахае Янку і не кахае Васіля.

(2) Алена кахае Янку або Васіля.

(3) Калі Алена кахае Янку, тады яна не кахае Васіля.

(4) Хтосьцi кахае Янку.

(5) Нiхто не кахае Янку.

(6) Усе кахаюць Янку.

(7) Кожны кагосьцi кахае.

(8) Кагосьцi кахаюць усе.

(9) Нехта нiкога не кахае.

(10) Янка кахае кагосьці, хто яго не кахае.

(11) Хтосьці кахае Янку, а ён нікога не кахае.

(12) Усе кахаюць Янку, а ён нікога не кахае.

(13) Нехта не кахае нікога, хто яго кахае.



3. Запісаць адмаўленні выказванняў з практыкавання 2 моваю логікі прэдыкатаў і беларускай моваю.

4. Няхай спісаў кантрольную работу ў , – выдатнік), – двоечнік) – прэдыкаты на мностве ўсіх студэнтаў вашай групы. З дапамогаю аперацыяў над прэдыкатамi запiсаць сказы:

(1) Кожны двоечнік спісаў кантрольную работу ў некаторага выдатніка;

(2) Ёсць двоечнік, які спісаў кантрольную работу ў некаторага выдатніка;

(3) Некаторы выдатнік спісаў кантрольную работу ў двоечніка;

(4) Ёсць выдатнік, у якога ніхто не спісваў.

(5) Ёсць выдатнік, у якога спісалі кантрольную работу не менш за два студэнты.

(6) Ёсць выдатнік, у якога спісалі кантрольную работу больш за два студэнты.

(7) Ёсць студэнт, у якога спісалі кантрольную работу дакладна два студэнты.

(8) Ёсць студэнт, у якога спісалі кантрольную работу дакладна два выдатнікі.

(9) Кожны студэнт – выдатнік або двоечнік.

(10) Калі студэнт – выдатнік, ён ні ў кога не спісвае.

(11) У групе няма двоечнікаў.

(12) Кожны студэнт – выдатнік ці ўсе спісалі кантрольную работу ў Алесі.

5. Запісаць адмаўленні выказванняў з практыкавання 4 моваю логікі прэдыкатаў і беларускай моваю.

6. На мностве ўсіх людзей вызначым прэдыкаты: – сын , – дачка , – жанчына), – мужчына). З дапамогаю аперацыяў над прэдыкатамi выразіць праз іх предыкаты:

(1) – маці ;

(2) – дзед ;

(3) – унук ;

(4) – пляменнік ;

(5) дзядзька ;

(6) – сястра ;

(7) – сёстры).



7. Выразіць прэдыкаты (1) – (7) з практыкавання (6) праз прэдыкаты:

(а) – маці , – бацька , – жанчына (дзяўчынка)), – мужчына (хлопчык));

(б) – маці, а – бацька , – жанчына (дзяўчынка)), – мужчына (хлопчык));

(в) – бацькі , – жанчына (дзяўчынка)), – мужчына (хлопчык)).



8. На мностве ўсіх школьнікаў аднаго класу разгледзім наступныя прэдыкаты: сядзяць за адной партай), – дзяўчынка), – хлопчык). З дапамогаю аперацыяў над прэдыкатамi запiсаць сказы:

(1) Кожны хлопчык сядзіць з дзяўчынкай;

(2) Хлопчыкі і дзяўчынкі сядзяць парамі;

(3) Ёсць хлопчык, які сядзіць з дзяўчынкай;

(3) Ёсць два хлопчыкі, якія сядзяць разам;

(4) Ёсць хлопчык, які сядзіць адзін;

(5) Кожная дзяўчынка сядзіць з дзяўчынкай;

(6) Няма двух дзяўчынак, якія сядзяць разам;

(7) Ніхто не сядзіць адзін.

9. Запісаць адмаўленні выказванняў з практыкавання 8 моваю логікі прэдыкатаў і беларускай моваю.

10. Запiсаць наступныя сцверджаннi моваю логiкi прэдыкатаў:

(1) Раўнанне мае корань;

(2) Раўнанне мае прынамсі два карані;

(3) Раўнанне мае больш за два карані;

(4) Раўнанне мае дакладна два карані;

(5) Раўнанне мае менш за два карані;

(6) Раўнанне не мае каранёў.

11. Запісаць адмаўленні сцверджанняў з практыкавання 10 моваю логікі прэдыкатаў і беларускай моваю.

12. Няхай прабегаюць мноства рэчаiсных лiкаў. Высветлiць, якiя з наступных выказванняў праўдзiвыя i якiя непраўдзiвыя:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) ;

(6)

(7)



13. Пакажыце на каардынатнай простай або на каардынатнай плоскасцi мноствы праўдзiвасцi адна- i двухмесцавых прэдыкатаў, зададзеных на мностве рэчаiсных лiкаў:


(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) ;

(6) ;

(7) ;

(8) ;

(9) ;

(10) ;

(11) ;

(12) ;

(13) ;

(14) ;

(15) ;

(16) ;

(17) ;

(18) ;

(19) ;

(20) ;

(21) ;

(22) ;

(23) ;

(24) ;

(25) ;

(26) ;

(27) ;

(28) ;

(29) ;

(30) ;

(31) ;

(32) ;

(33) ;

(34) ;

(35) ;

(36) .



14. Перакладзiце на беларускую мову наступныя выразы ( прабегаюць мноства рэчаiсных лiкаў):

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) .

15. Запiсаць наступныя сцверджаннi моваю логiкi прэдыкатаў:

(1) Паслядоўнасць мае лiмiт ( , );

(2) Паслядоўнасць фундаментальная ( , );

(3) Паслядоўнасць абмежаваная знiзу (зверху, абмежаваная) ( , );

(4) Паслядоўнасць мае лiмiт калі і толькі калі яна фундаментальная ( , );

(5) Калі паслядоўнасць мае лiмiт ( , ), тады яна абмежаваная;

(6) Калі паслядоўнасць ( , ) абмежаваная і нарастальная, тады яна збягаецца;

(7) ёсць дакладная верхняя мяжа падмноства мноства ;

(8) Непустое абмежаванае зверху падмноства мноства мае дакладную верхнюю мяжу;

(9) Функцыя непарыўная на адрэзку ;

(10) Функцыя абмежаваная на адрэзку ;

(11) Функцыя дасягае максімуму на адрэзку ;

(12) Непарыўнасць функцыі на адрэзку ёсць дастатковая ўмова абмежаванасці на гэтым адрэзку;

(13) Калі функцыя непарыўная на адрэзку , тады яна дасягае максімуму на адрэзку ;

(14) Мноства ёсць падмноства мноства ;

(15) Мноствы i роўныя;

(16) Падмноства мноства мае максiмальны элемент;

(17) Сістэма вектараў лінейна залежная над полем ;

(18) Сістэма вектараў лінейна незалежная над полем ;

(19) Вектар лінейнай прасторы над полем лінейна выражаецца праз сістэму вектараў ;

(20) Мноства вектараў лінейнай прасторы над полем лінейна выражаецца праз сістэму вектараў ;

(21) Сістэма вектараў ёсць базіс лінейнай прасторы над полем .



16. Напiсаць адмаўленне для кожнай з формулаў практыкавання 1.

  1   2   3   4


База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка