Q = dS, где d = пруoz Q




Дата канвертавання28.04.2016
Памер41.59 Kb.
Если поверхность задана уравнением х =  (y, z), то ее площадь

Q = dS, где D = пруoz Q.


Значит поверхностный интеграл по области Q мы можем свести к двойному по области D

= .
Рассмотрим связь между интегралом по замкнутой поверхности и некоторым тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью.
Теорема. Если функции X (x, y, z), У (x, y, z), Z (x, y, z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в области R, то имеет место формула

= .

Эта формула называется формулой Остроградского.



7.2. Рекомендации по решению типовых задач
Задача 1. Вычислить , где Q – часть плоскости x + 2y + 3z = 6, расположенная в I октанте.


у


Решение.

x


x

Построим плоскость Q, записав ее уравнение в отрезках на осях координат: = 1. Спроектируем плоскость Q на координатную плоскость ХОУ. Получим треугольник D, ограниченный линиями х + 2у = 6, x = 0, y = 0. Элемент поверхности dq находим по формуле:

dq = dx dy.

Из уравнения плоскости выразим z = (6 – x – 2y).

Найдем = - , = - .

Тогда dq = dx dy = dx dy.

Вычисление поверхностного интеграла по поверхности Q сводится к вычислению двойного интеграла по проекции D. Поэтому

= dx dy =

= = =

= dx = 3 dx =

= 3 = 54.


Задача 2. Найти площадь части параболоида

z = 2 - , расположенной под плоскостью хоу.



Решение.

x

Для вычисления площади поверхности используем формулу S = . Из уравнения параболоида найдем



= -х, = -у dq = dx dy

S = = dx dy.

Так как область D – круг, то перейдем к полярным координатам х2 + у2 = r2, dx dy = r dr d.

S = dr = =

= (5 - 1) = (5 - 1)  = (5 - 1).
Задача 3. Найти массу полусферы z = , если плотность равна расстоянию до плоскости xoz.
Решение. m = , где  = у

= - , = -

d q = dx dy =

= dx dy = .

m = = R =

= 4R  d = =

= 4R  d t dt =

= sin  d =

= sin  d = 2 R3  d =

=  R3 (- cos ) =  R3.
Задача 4. C помощью формулы Остроградского вычислить интеграл , где Q- поверхность пирамиды, грани которой заданы уравнениями

x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1, а , ,  - углы, которые внешняя нормаль к поверхности образует с осями Ох, Oy, Oz.


Решение. Поверхность Q образована четырьмя плоскостями, поэтому нам пришлось бы вычислять четыре поверхностных интеграла, чтобы получить интеграл по Q. Но так как поверхность Q замкнутая, то по формуле Остроградского поверхностный интеграл по Q можно заменить тройным интегралом по объему R, ограниченному поверхностью Q.

Запишем формулу Остроградского



= .

В нашем примере Х = ху, У = yz, Z = xz.

Найдем = у, = z, = x.

= .

Тело R изображено на рисунке.


По известному правилу расставляем пределы в тройном интеграле:



= =

= dy =

= dy =

= dx =

= dx = = .

7.3. Задачи для самостоятельного решения
В задачах 1 – 4 вычислить интегралы.


  1. , где Q – часть плоскости

+ + = 1, лежащая в первом октанте.

Ответ. 4 .


2. , где Q – боковая поверхность конуса

+ - = 0 (0  z  b).

Ответ. .


3. , где Q – полусфера

z = . Ответ.  R3.


4. , где Q – часть конической поверхности

х2 + у2 – z2 = 0, заключенной между плоскостями z = 0, z = 1.

Ответ. .
В задачах 6 – 8 найти площади указанных частей данных поверхностей.
6. Части плоскости 6х + 3у + 2z = 12, заключенной в первом октанте. Ответ. 14.

7. Части y2 + z2 – x2 = 0, лежащей внутри цилиндра

х2 + у2 = R2. Ответ.  R2.

8. Части z2 = 4x, вырезанной цилиндром у2 = 4х и плоскостью х = 1. Ответ..

9. Найти массу поверхности куба 0  х  1, 0  y  1,

0  z  1, если поверхностная плотность в точке М (x, y, z) равна хуz. Ответ. .

10. Вычислить с помощью формулы Остроградского интеграл , где Q – поверхность, расположенная в первом октанте и составленная из цилиндра

x2 + y2 = R2 и плоскостей х = 0, y = 0, z = 0, z = Н.



Ответ. R2 H .


База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка