Отчет: Описан альтернативный формализм теории тяготения Эйнштейна. Роль динамических переменных играет набор десяти векторных полей f a {\mu}, A=1,…,10. Метрика является композитной переменной g {\mu,\nu}= f a {\mu} f a {\nu}




Дата канвертавання30.04.2016
Памер87.27 Kb.
Фаддеев Людвиг Дмитриевич, академик, доктор физико-математических наук, профессор

Разработка математических методов квантовой физики и теории распространения волн

НШ-5931.2010.1
Важнейшие результаты:

Создан альтернативный формализм теории тяготения Эйнштейна

Получено новое представление для координатной асимптотики волновой функции системы трех частиц выше порога развала, позволяющее ортогонализовать вклады каналов упругого рассеяния и канала развала.

Построен формализм метода комплексных вращений для задачи многоканального рассеяния частиц при наличии кулоновского потенциала взаимодействия

Построены новые методы разделения переменных

Завершено исследование неравномерной по угловым переменным асимптотики дальнего поля в задаче рассеяния плоской электромагнитной волны на круговом импедансном конусе.

Рассмотрена задача рассеяния плоской волны на акустически прозрачном полубесконечном круговом конусе

Исследована асимптотика решения задачи рассеяния акустической волны на узком прозрачном конусе

Продолжена разработка нового теоретико-операторного (спектрального) подхода к задачам усреднения периодических дифференциальных операторов в пределе малого периода.

Используя твист преобразование теории квантовых групп, доказана инвариантность деформированной твистом алгебры наблюдаемых, которая допускает представление исходной квантовой группы.


Отчет:

Описан альтернативный формализм теории тяготения Эйнштейна. Роль динамических переменных играет набор десяти векторных полей f^A_{\mu}, A=1,…,10. Метрика является композитной переменной g_{\mu,\nu}= f^A_{\mu} f^A_{\nu}. Предложенная схема может дать дальнейшее развитие теории тяготения, в котором теория Эйнштейна будет играть роль эффективной теории, и константа Ньютона появится посредством введения аномальной функции Грина.


Построен формализм комплексных вращений для решения задачи рассеяния в многоканальном случае для частиц, взаимодействие между которыми наряду с короткодействующей частью содержит кулоновский потенциал. Построено неоднородное уравнение Шредингера, построены локальные и интегральные представления для амплитуд рассеяния.
Построены отображений исходных физических переменных в переменные разделения и обратных отображений, найдены соответствующие квадратуры Абеля-Якоби и возможные интегрируемые деформации исходных систем, отвечающих алгебраическим кривым третьего рода. Для ряда систем доказано, что решения уравнений движения будут не мероморфными функциями времени и, тем самым, открыт новый класс интегрируемых систем, который не проходят тест Ковалевской-Пенлеве. Тем не менее, используя аналог сигма-функций Вейерштрасса на тригональных кривых, мы можем полностью описать поведение решений над комплексной плоскостью времени, аналогично системам с мероморфными решениями.
Изучены деформации стандартной для гамильтоновых систем схемы построения пуассоновых структур с помощью тензорного поля с нулевым кручением. В качестве примера предъявлены согласованные скобки Пуассона, операторы рекурсии, канонические переменные разделения и разделённые уравнения для неголономных систем Чаплыгина и Борисова-Мамаева-Федорова. Доказано, что для неголономных систем бивектора Пуассона связанны с деформацией стандартной конструкции Туриэля и использованием тензорных полей с ненулевым кручением, что никогда ранее не встречалось при изучении голономных систем.
Предложена совершенно новая алгебро-геометрическая конструкция вырожденных суперинтегрируемых систем на иррегулярных пуассоновых многообразиях. В качестве примера построено целое семейство систем, для которых переменные угол являются специальными комбинациями гипергеометрических функций, что позволяет использовать соответствующие теоремы сложения для выделения подкласса суперинтегрируемых систем. Впервые получена суперинтегрируемая системы с интегралами движения второй, четвертой и шестой степени по импульсам и изучена соответствующая алгебра интегралов движения.
Предложен новый метод построения деформаций канонических скобок Пуассона с тривиальными модулярными характеристиками на кокасательных расслоениях римановых и псевдо-римановых многообразий. Доказано, что в механике подобные деформации можно использовать для изучения различных интегрируемых систем с интегралами старших степеней по импульсам. В качестве примера рассмотрены системы Ковалевской, Чаплыгина, Горячева, Дуллина, Матвеева, Селивановой, Валента и их интегрируемые обобщения. Также построен целый класс новых неизвестных ранее интегрируемых систем на римановых многообразиях постоянной кривизны.
Завершено исследование неравномерной по угловым переменным асимптотики дальнего поля в задаче рассеяния плоской электромагнитной волны на круговом импедансном конусе. Получены новые интегральные представления для решения типа интегралов Зоммерфельда и Ватсона-Бесселя. Изучены аналитические свойства трансформант представлений. Предложены интегральные формулы для диаграммы рассеяния, вычислены выражения для поверхностных волн, распространяющихся от вершины конуса. Вычислен коэффициент возбуждения поверхностных волн. Выделен множитель в выражении для поверхностных волн, зависящий от соответствующего аналога геометрической фазы (фазы Берри) в исследуемой задаче.
Рассмотрена задача рассеяния плоской волны на акустически прозрачном полубесконечном круговом конусе. При неполном разделении сферических координат задача сведена к сингулярному интегральному уравнению для соответствующих коэффициентов Фурье. Изучена фредгольмовость и регуляризация интегрального уравнения. Получено детальное описание дальнего рассеянного поля. Вычислены интегральное представление для дифракционных коэффициентов сферической волны, рассеянной вершиной, отраженные и преломленные волны, головная волна.
Исследована асимптотика решения задачи рассеяния акустической волны на узком прозрачном конусе. Круговой акустически прозрачный конус освещается плоской волной. (Скорости распространения волн внутри и вне конуса различны.) В работе исследуется амплитуда рассеяния сферической волны в области, не засвеченной отраженными от конуса лучами. С помощью неполного разделения переменных задача редуцируется к задаче для оператора Лапласа-Бельтрами на единичной сфере с малой областью. Асимптотическое решение задачи на единичной сфере строится методом сшивания локальных асимптотических разложений и используется для вычисления главного члена амплитуды рассеяния сферической волны. Полученное выражение для амплитуды зависит от интегральных характеристик малой области (площадь, тензор поляризации) и показателя преломления.
Изучено рассеяние и излучение волн тонкой тороидальной трубкой с полупрозрачными стенками и большой продольной «проводимостью». Волновое поле удовлетворяет стационарному волновому уравнению, двусторонним импедансным условиям на поверхности трубки, условиям излучения. Рассматриваемая модель используется как прямой скалярный аналог задачи об электромагнитном рассеянии волн длинной карбоновой нано-трубкой, свернутой в тор. Предполагается, что длина трубки много большее ее толщины. Используется метод составных асимптотических разложений для построения решения задачи. Построены и исследованы предельные задачи для внутренней и внешней областей. Выведен старший член формального асимптотического решения. Построена асимптотика диаграммы рассеяния и исследованы приближенные резонансы в задаче. Получены численные результаты, которые основаны на асимптотическом решении.
Процесс нейтрон-дейтронного рассеяния при энергиях выше порога развала дейтрона описывается в рамках трехчастичного формализма уравнений Фаддеева. В работе используется метод решения уравнений Фаддеева в конфигурационном пространстве,

основанный на разложении компонент волновой функции в асимптотической области по базисам собственных функций специальных операторов. Асимптотически компоненты волновой функции представлены в виде разложения по ортонормированному базису функций зависящих от гиперугла, которые позволяют ортогонализовать вклады каналов упругого рассеяния и развала. Предложенный метод позволяет определить параметры рассеяния и развала из асимптотического представления волновой функции без ее восстановления во всем конфигурационном пространстве. Для $s$-волнового уравнения Фаддеева получены значения амплитуд рассеяния и развала для состояний с полным спином~$S=1/2,3/2$.

Получены новые асимптотики в задачах дифракции на некоторых сильно вытянутых телах вращения. Асимптотики получены в предположении, что поперечная кривизна поверхности в k^{2/3} раз больше продольной, где k - большой параметр задачи.

Используя твист преобразование теории квантовых групп, доказана инвариантность деформированной твистом алгебры наблюдаемых, которая допускает представление исходной квантовой группы. Этот результат важен для теории поля на некоммутативном пространстве-времени. Также вычислены кратности неприводимых представлений алгебры симметрии B_2 в разложении тензорного произведения локальных представлений в узлах спиновой системы.

Продолжалась разработка нового теоретико-операторного (спектрального) подхода к задачам усреднения периодических дифференциальных операторов в пределе малого периода. В этом направлении в 2011 г. получены следующие результаты.

В пространстве L_2(R^d) изучался эллиптический дифференциальный оператор второго порядка вида A_\epsilon = – div g(x/\epsilon) grad + \epsilon^{-2} p(x/\epilon), коэффициенты которого периодичны относительно некоторой решетки в R^d. Здесь \epsilon – малый параметр. Оператор содержит сингулярный потенциал, растущий при ε, стремящемся к нулю. Рассматривался вопрос о поведении резольвенты оператора A_{\epsilon} в регулярной точке, лежащей во внутренней спектральной лакуне и близкой к краю лакуны. Край лакуны для оператора A_{\epsilon} – это точка вида \epsilon^{-2}\nu, где \nu – край соответствующей лакуны для оператора A_1 при \epsilon=1. Таким образом, исследуется резольвента в области высоких энергий. При условии регулярности данного края лакуны найдена аппроксимация рассматриваемой резольвенты по операторной норме в L_2(R^d) с оценкой погрешности порядка \epsilon^2. В аппроксимации учтен корректор первого порядка. Выяснено, что каждому (регулярному) краю лакуны отвечают свои эффективный оператор и корректор. Для решения этой задачи применялись разложение Флоке-Блоха и методы аналитической теории возмущений дискретного спектра. Выяснено, что главную роль в построении описанной аппроксимации играют лишь спектральные характеристики оператора на данном краю лакуны (так называемые пороговые характеристики). В данной задаче наблюдается взаимодействие пороговых и высокоэнергетических эффектов.



В гильбертовом пространстве H рассматривалось семейство самосопряженных операторов A(t), допускающих факторизацию вида A(t)=X^*(t)X(t), где X(t)=X_0+tX_1 – линейный операторный пучок. Здесь tвещественный параметр. Предполагается, что точка нуль является собственным значением оператора A(0) конечной кратности. Пусть F(t) спектральный проектор оператора A(t) для достаточно малого промежутка [0,\delta]. При малом |t| получены аппроксимации по операторной норме в H для проектора F(t) с погрешностью порядка |t|^3 и для оператора A(t)F(t) с погрешностью порядка |t|^5 так называемые пороговые аппроксимации. На их основе изучались операторная экспонента и резольвента. Для операторной экспоненты exp(-A(t)\tau) построена аппроксимация по операторной норме при больших значениях положительного параметра \tau с погрешностью порядка 1/\tau^{3/2}. Для резольвенты (A(t)+\epsilo^2 I)^{-1/2}, домноженной на подходящий “сглаживающий” множитель, получена аппроксимация по операторной норме при малом \epsilon с погрешностью порядка \epsilon. Все упомянутые аппроксимации даются в терминах спектральных характеристик оператора A(t) вблизи нижнего края спектра. В аппроксимациях учитываются первый и второй корректоры. Описанные результаты получены методами аналитической теории возмущений дискретного спектра. Результаты нацелены на применение к задачам усреднения периодических дифференциальных операторов в пределе малого периода.

В пространстве L_2(R^d;C^n) изучается широкий класс матричных эллиптических дифференциальных операторов A_\epsilon второго порядка, допускающих факторизацию вида A_{\epsilon}=X_{\epsilon}^*X_{\epsilon}, где X_{\epsilon} однородный дифференциальный оператор первого порядка. Здесь \epsilonмалый положительный параметр. Коэффициенты операторов периодичны относительно некоторой решетки и зависят от x/\epsilon, то есть являются быстро осциллирующими функциями. Изучается поведение операторной экспоненты exp(-A_{\epsilon} \tau)exp(Aε τ) и резольвенты (A_{\epsilon}+I)^{-1}. Для экспоненты получена аппроксимация по операторной норме в L_2(R^d;C^n) с погрешностью порядка \epsilon^3/\tau^{3/2}. Для резольвенты получена аппроксимация по норме операторов, действующих из пространства Соболева H^1(R^d;C^n) в L_2(R^d;C^n), с погрешностью порядка \epsilon^3.. В этих аппроксимациях учтены корректоры первого и второго порядков. Общие результаты применяются к конкретным периодическим операторам математической физики. Результаты получены на основании теоретико-операторного (спектрального) подхода в теории усреднений, предложенного и развитого в серии работ М.Ш.Бирмана и Т.А.Суслиной. Выясняется, что эффективный оператор и корректоры можно описать в терминах пороговых характеристик на краю спектра. Используется теория Флоке-Блоха и методы аналитической теории возмущений. При этом значительную часть рассмотрений удается провести в рамках абстрактной теоретико-операторной схемы. Соответствующие абстрактные результаты получены авторами в отдельной работе.


База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка