Лікавыя шэрагі (л ш.) Асноўныя паняцці




Дата канвертавання29.05.2016
Памер495.46 Kb.
Раздзел 3. Шэрагі

Глава 1. Лікавыя шэрагі (л.ш.)

§1. Асноўныя паняцці

Разгледзім лікавую паслядоўнасць (an) = (a1, a2,…, an,…) (1) і паслядоўнасць частковых сум (Sn) = (S1 ,S2,…, Sn,…) (2), дзе

S1 = a1, S2= a1+ a2,… Sn = a1 + a2 +…+ an. Будзем называць іх адпаведна 1-ая, 2-ая,..., n-ая частковыя сумы.

Азначэнне 1. Пару ((an), (Sn)), якая складаецца з дзвюх паслядоўнасцей (1) і (2) будзем называць лікавым шэрагам і абазначаць

= a1 + a2 +…+ an+... . (3)

Азначэнне 1*. Фармальна лікавым шэрагам (3) называецца сума элементаў лікавай паслядоўнасці (an). Элементы палядоўнасці - складнікі шэрагу (3).

Азначэнне 2. Калі паслядоўнасць частковых сум (Sn) збежная да концавагу ліку S: , то лікавы шэраг (3) называецца збежным і мае месца роўнасць: S = або S = a1 + a2 +…+ an+... . Лік S называецца сумай шэрагу (3).

Калі паслядоўнасць (Sn) не мае концавага ліміту (, не), то лік (3) разбежны.



Прыклады.
§2. Асноўныя ўласцівсці лікавых шэрагаў

Тэарэма 1 (аб множанні л.ш. на лік).

Калі лікавы шэраг (1):

1) збягаецца да ліку S, то лікавы шэраг (2), дзе с  R, збягаецца да ліку cS;

2) разбежны і с0, то л.ш. (2) разбежны.

 1)

 2)


Заўвага 1. Л.ш. (2) называецца здабытам л.. (1) на лік.

Азначэнне 1. Няхай (1) і (3) - два л.ш. Алгебраічнай сумай шэрагаў (1) і (3) называецца шэраг выгляду (4).

Тэарэма 2. Калі л.ш. (1) збягаецца да ліку S1, а л.ш. (3) – да ліку S2, то л.ш. (4) збягаецца і Яго сума S = S1  S2.



Тэарэма 3 (неабходная ўмова збежнасці л.ш.). Калі л.ш. (1) збежны, то паслядоўнасць складнікаў (an) бясконца малая: .



Тэарэма 4 (дастатковая ўмова разбежнасці л.ш.). Калі або або , то л.ш. (1) разбежны.

Прыклад.

Заўвага 1. Тэарэма, адваротная тэарэме 3 не мае месца. Калі , то л.ш. можа быць і разбежным. атрым

Прыклад.

Тэарэма 5. Шэрагі, якія атрымліваюцца выключэннем з дадзенага шэрагу концавага ліку першых складнікаў або дабаўленнем да пачатку дадзенага шэрагу концавага ліку складнікаў, збягаюцца або разбягаюцца адначасова з дадзеным шэрагам. (без доказу)

Разгледзім два шэрагі: a1 + a2 +…+ an+... (1)

і an+1 + a n+2 +…+ an +m+... . (4)

Шэраг (4) атрыман выключэннем з дадзенага шэрагу n першых складнікаў. Таму шэрагі (1) і (4) збягаюцца і разбягаюцца адначасова.



Азначэнне 2. Шэраг (4) называюць астачай шэрагу (1) пасля n-га складніка або n-ай астачай шэрагу (1): Rn (4) .

Заўвага 2. Шэраг (1) можна запісаць у выглядзе: = Sn + Rn .

Калі шэраг (1) збягаецца да сумы S, то шэраг (4) (адпаведна т.5) таксама збежны шэраг. Калі S = Sn + Rn  Rn = S - Sn, то = = 0



Тэарэма 6. Калі шэраг (1) збежны, то астача шэрагу збягаецца да 0, калі n  .
§3. Крытэрый Кашы збежнасці лікавых паслядоўнасцей і

лікавых шэрагаў

Азначэнне 1. Лікавая паслядоўнасць (an) называецца фундаментальнай, калі калі для любога  > 0 існуе нумар no такі, што для любых нумароў n, m з умовы n, m > 0 вынікае няроўнасць  an  am <:

  no n, m > no  an  am  < або

  no n > no  p  an+p  an  <.

Тэарэма 1. Для таго, каб лікавая паслядоўнасць (an) была збежнай, неабходна і дастаткова каб яна была фундаментальнай.

Азначэнне 2. Паслядоўнасць частковых сум (Sn) ,будзе фундаментальнай, калі   no n > no  p  Sn+p  Sn  <. Але

 Sn+p  Sn  =



Тэарэма 2 (крытэрый Кашы для л.ш.). Для таго, каб лікавы шэраг быў збежны,неабходна і дастаткова, каб яго паслядоўнасць частковых сум (Sn) была фундаментальнай, г.зн.  non > no p (1) (без доказу).

Тэарэма 3 (аб разбежнасці гарманічнага шэрагу). Шэраг выгляду

(2) называецца гарманічным і ён разбежны.

 Дакажам, што для л.ш. (2) не выконваецца крытэрый Кашы, г.зн.,

o non > no p



Выбярэм n i p = n . Тады



Знайшлі о = Ѕ такое, што

Гэта супярэчыць крытэрыю Кашы. Таму гарманічны шэраг разбежны.
§4. Дадатныя шэрагі. Прыкметы збежнасці дадатных шэрагаў

Азначэнне 1. Лікавы шэраг (1) называецца дадатным, калі яго складнікі неадмоўныя : n an . Калі an > 0, то шэраг (1) называецца строга дадатным.

Заўвага 1. Паслядоўнасць частковых сум дадатнага шэрагу ёсць заўсёды нарастальная паслядоўнасць лікаў.

Тое, што дадатны шэраг (1) збежны, запісываецца наступным чынам:





Тэарэма 1 (неабходная і дастатковая ўмова збежнасці дадатнага л.ш.). Для таго каб шэраг (1) быў збежным неабходна і дастаткова, каб паслядоўнасць яго частковых сум была абмежавана зверху.

неабходнасці. Шэраг (1) збежны паслядоўнасць (Sn) мае концавы ліміт яна абмежаваная.

дастатковасці. Паслядоўнасць (Sn) абмежавана звеху і нарастальная па тэарэме аб збежнасці абмежаванай манатоннай паслядоўнасці, што (Sn) мае концавы ліміт л.ш. (1) збежны.

Тэарэма 2 (інтэгральная прыкмета збежнасці дадатнага л.ш.). Дадзены дадатны л.ш. (1); калі існуе ненарастальная, непарыўная, неадмоўная функцыя f(x), якая задана пры х 1, такая, што f(n) = an, то для збежнасці шэрагу неабходна і дастаткова існаванне неўласцівага інтэграла

(без доказу).

Скарыстаем т.2 для даследвання на збежнасць шэрагу Дзірыхле: (2) або абагульнённага гарманічнага шэрагу.

  1. Няхай 0 то ш. (2) разбежны (т.4, §2);

  2. няхай  0, то функцыя f(x) = 1/x на прамежку [1, +) непарыўная, дадатная, спадальная і адпаведна т.2 неабходна даследаваць на збежнасць неўласцівы інтэграл

Выснова. Шэраг Дзірыхле збежны, калі  і разбежны, калі .
Тэарэма 3 ( прыкмета параўнання збежнасці дад.л.ш.). Няхай дадзены два дадатных шэрагі (А) і (В). Няхай n an bn (3).

Тады: 1) са збежнасці шэрагу (В) вынікае збежнасць шэрагу (А);

2) з разбежнасці шэрагу (А) – разбежнасць шэрагу (В).

(Са збежнасці шэрагаў з большымі складнікамі вынікае збежнасць шэрагаў з меньшымі складнікамі; з разбежнасці шэрагаў з меньшымі складнікамі вынікае разбежнасць шэрагаў з большымі складнікамі).

Доказ самастойна: Бохан К.А. і др. Раздел VII, гл.ХХ, §3, т.2.

Заўвага 2. Тэарэма мае месца і, калі няроўнасць (3) выконваецца не для ўсіх n, а пачынаючы з некаторага нумара n > nо.

Тэарэма 4( прыкмета параўнання збежнасці дад.л.ш. у лімітавай форме). Няхай (А) і (В) строгададатныя л.ш.,

Тады шэрагі (А) і (В) збягаюцца і разбягаюцца адначасова.

Доказ самастойна: Бохан К.А. і др. Раздел VII, гл.ХХ, §3, т.5.

Заўвага 3. Для параўнання шэрагаў будзем карыстацца наступнымі шэрагамі:

  1. гарманічным шэрагам , ён разбежны;

  2. шэрагам Дзірыхле . Калі , шэраг разбежны, калі 1 то збежны;

  3. геаметрычным шэрагам . Калі q < 1, то шэраг збежны, калі

q  1, то шэраг разбежны.
Прыклады.

Тэарэма 5 (прыкмета Даламбера). Няхай шэраг (1) строгададатны л.ш. і , дзе D концавы лік або . Тады, калі:

а) D < 1, то ш. (1) збежны;

б) D > 1 або , то ш. (1) разбежны;

в) D = 1, то патрэбны дадатковыя даследванні.

Доказ самастойна: Бохан К.А. і др. Раздел VII, гл.ХХ, §3, т.3.
Тэарэма 6 (прыкмета Кашы). Няхай ш. (1) – строгададатны шэраг і = D, дзе D – концавы лік або . Тады, калі:

а) D < 1, то ш. (1) збежны;

б) D > 1 або , то ш. (1) разбежны;

в) D = 1, то патрэбны дадатковыя даследванні.

Доказ самастойна: Бохан К.А. і др. Раздел VII, гл.ХХ, §3, т.4.

Прыклады.
§5. Знакачаргавальныя лікавыя шэрагі

Азначэнне 1. Знакачаргавальным шэрагам называецца л.ш. + …(1), дзе аn  0 n .

Прыклад.

Тэарэма 1 (прыкмета Лейбніца). Калі паслядоўнасць (аn) з модуляў ш.(1) 1) спадальная і 2) бясконца малая: 1) аn+1 < аn n  i 2) , то шэраг (1) збежны.



Заўвага 1. Калі хоць адна з умоў т.Лейбніца не выконваецца, то ш.(1) разбежны.



Азначэнне 2. Знакачаргавальны шэраг, які задавальняе ўмовам т.Лейбніца называецца шэрагам Лейбніца.

Тэарэма 2. Астача ш. (1) мае знак свайго першага складніка і модуль астачы не перавышае модуля І складніка: Rn  (-1)nan+1 = an+1. (2)

Нагадаем, што астача Rn , S = Sn + Rn  Rn = S - Sn, калі л.ш. збягаецца да сваёй сумы S.



Заўвага 2. Rn = S - Sn - абсалютная хібнасць. З няроўнасці (2) вынікае, што пры замене сумы ш. (1) сумай яго першых складнікаў абсалютная хібнасць не перавышае модуля І складніка астачы.

Прыклад.
§6. Знаказменные шэрагі. Абсалютная і ўмоўная збежнасць

Азначэнне 1. Лікавы шэраг (1), які мае бясконцае мноства дадатных і адмоўных складнікаў, называеца знаказменным шэрагам.

Заўвага 1. Знакачаргавальныя шэрагі – знаказменныя шэрагі.

Азначэнне 2. Знаказменны шэраг (1) называецца абсалютна збежным, калі збежным з’яўляецца шэраг састаўлены з модуляў яго складнікаў: (2).

Прымем без доказу наступную тэарэму.



Тэарэма 1. Калі ш.(2) збежны, то і шэраг (1) збежны.

Заўвага 2. Тэарэма, адваротная т.1, наогул кажучы, не мае месца.

Напрыклад, шэраг - ш. Лейбніца, ён збежны, шэраг - гарманічны шэраг, ён разбежны.



Заўвага 3. Магчымы нступныя выпадкі пры даследванні знаказменных (знакачаргавальных) шэрагаў:

1) ш. (2) збягаецца, тады па т.1 і ш. (1) збягаецца і з’яўляецца абсалютна збежным;

2) ш. (2) разбягаецца, а ш. (1) збягаеца; у гэтым выпадку кажуць, што ш.(1) збягаецца ўмоўна;

3) ш. (2) разбягаецца і ш. (1) разбежны, паколькі не выконваюцца ўмовы т.Лейбніца.



Прыклады.
Прымем без доказу наступную тэарэму.

Тэарэма 2. Дадатны шэраг падпарадкоўваецца перастаноўкаваму (переместительному) закону.

Тэарэма 3 (Дзірыхле). Кали ш. (1) абсалютна збежны, то і шэраг , атрыманы любой перастаноўкай складнікаў шэрагу (1), збежны.


Выснова. Абсалютна збежны шэраг падпарадкоўваецца перастаноўкаваму закону.

Можна даказаць, што ўмоўна збежны шэраг не мае такой якасці (гл.Бохан і інш. гл. ХХ, §5).

Прымем без доказу наступную тэарэму.



Тэарэма 4 (Рымана). Няхай ш. (1) ўмоўна збежны да сумы S. А – любы наперад дадзены сапраўдны лік. Пасля адпаведнай перастаноўкі складнікаў ш. (1) можна атрымаць шэраг, які збягаецца да ліку А або нават разбягаецца.
Глава 2. Функцыйныя паслядоўнасці (ф.п.)і

функцыйныя шэрагі (ф.ш.)
§1. Асноўныя паняцці аб функцыйных паслядоўнасцях

Азначэнне 1. Функцыйнай паслядоўнасцю называецца адлюстраванне мноства натуральных лікаў N у мноства функцый.

Азначэнне 1*. Функцыйнай паслядоўнасцю называется адпаведнасць паміж мноствам N и мноствам функцый, пры якой кожнаму натуральнаму ліку ставіцца ў адпаведнасць адзіная і толькі адзіная функцыя: f : N  F.

Абазначэнні: (Sn(x)) = (S1(x), S2(x),…, Sn(x),…) (1), дзе S1(x),S2(x),…, Sn(x),… - элементы ф.п. (1).



Напрыклад:

Азначэнне 2. Няхай ў п.хо азначаны ўсе элементы ф.п. (1). Кажуць, што ф.п. (1) збягаецца ў п. хо, калі збягаецца лікавая паслядоўнасць (Sn(xо)), і ф.п. (1) разбягаецца ў п. хо, калі л.п. (Sn(xо)) разбягаецца.

Пункт хо – пункт збежнасці або разбежнасці ф.п. (1).

Мноства ўсіх пунктаў збежнасці – абсяг збежнасці ф.п. (1), а мноства ўсіх пунктаў разбежнасці – абсяг разбежнасці ф.п. (1).

Прыклады.

Азначэнне 3. Ф.п. (1) называецца збежнай на мностве Х, калі яна збежная ў кожным пункце мноства Х, або ў кожным п. х Х існуе концавы ліміт (2): Sn(x)  S(x), калі n  . S(x) – лімітавая функцыя ф.п. (1).

Кажуць, што ф.п. (1) збягаецца да лімітавай функцыі папунктава.



Азначэнне 3*. Ф.п. (1) называецца збежнай да функцыі S(x) на мностве Х папунктава, калі мноства Х – абсяг вызначэння элементаў ф.п. і хХ  умова , г.зн. для любога  знойдзецца нумар  , які залежыць ад  і х, такі, што для кожнага n   выконваецца няроўнасць

 Sn(x)  S(x)< :

()( = хn   Sn(x)  S(x) < .

Разгледзім выпадак, калі нумар N залежыць толькі ад .



Азначэнне 4. Ф.п. (1) называецца раўнамерна збежнай да функцыі S(x) на мностве Х = D(Sn), калі для любога  знойдзецца нумар  , які залежыць толькі ад  такі, што для кожнага n   і кожнага хХ выконваецца няроўнасць  Sn(x)  S(x)< :

()( = n    хХ Sn(x)  S(x) < .


Геаметрычны сэнс азначэння 4
З няроўнасці Sn(x)  S(x) <   S(x)   < Sn(x) < S(x) +  (3). Будуем графікі функцый: y = S(x), y = S(x)  . З (3) вынікае, што, калі выконваюцца ўмовы азначэння 4, то, пачыная з нумaра n = N + 1, графікі элементаў ф.п. (1) будут знаходзіцца ў  - палосцы для графіка функцыі

y = S(x).


Прыклад .

Азначэнне 5. Няхай функцыі f i g азначаны на мностве Х. Чэбышоўскай адлегласцю паміж функцыямі f i g называецца лік

( f , g) = sup f(x) – g(x) = max f(x) – g(x)  хХ.



Прыклад.

Тэарэма 1 (крытэрый раўнамернай збежнасці ф.п.). Для таго, каб ф.п. (1) раўнамерна збягалася да лімітавай функцыі S(x) на мностве Х неабходна і дастаткова, каб ліміт чэбышоўскай адлегласці паміж функцыямі Sn(x) і S(x) быў роўны 0:

 неабходнасці.

 дастатковасці.

Прыклад.

Прымем без доказу тэарэму аб непарыўнасці лімітавай функцыі.



Тэарэма 2. Калі ўсе элементы ф.п. непарыўныя на мностве Х функцыі і ф.п. (Sn(x)) раўнамерны збягаецца да функцыі S(x) на мностве Х, то функцыя S(x) непарыўная на мностве Х.
§2. Асноўныя паняцці аб функцыйных шэрагах (ф.ш.)

Няхай (un(x)) (1) – функцыйная паслядоўнасць. Пабудуем функцыйную паслядоўнасць (Sn(x)) (2) – паслядоўнасць частковых сум: S1(x) = u1(x), S2(x) = u1(x) + u2(x),…, Sn(x) = u1(x)+ u2(x)+…+ un(x).



Азначэнне 1. Функцыйным шэрагам называецца пара функцыйных паслядоўнасцей (un(x)) і (Sn(x)): ((un(x)) , (Sn(x))) або сума

= u1(x)+ u2(x)+…+ un(x) +… (3).
Азначэнне 2. Ф.ш. (3) называецца збежным у п. хо, калі складнікі гэтага шэрагу азначаны ў п. хо і лікавы шэраг (4) будзе збежным. Пункт хо – пункт збежнасці ф.ш., а мноства пунктаў збежнасці – абсяг збежнасці ф.ш. (3).

Ф.ш. (3) называецца разбежным у п. хо, калі лікавы шэраг (4) будзе разбежным. Пункт хо – пункт разбежнасці ф.ш., а мноства пунктаў разбежнасці – абсяг разбежнасці ф.ш. (3).



Азначэнне 3. Ф.ш. (3) называецца збежным на мностве Х, калі ён збягаецца ў кожным пункце мноства Х.

Азначэнне 3*. Ф.ш. (3) называецца збежным на мностве Х, калі на гэтым мностве папунктава збягаецца паслядоўнасць яго частковых сум (Sn(x)). Пры гэтым лімітавая функцыя S(x) называется сумай шэрагу (3):

S(x) = х Х.



Азначэнне 4. Ф.ш. (3) называецца раўнамерна збежным на мностве Х да функцыі S(x), калі паслядоўнасць яго частковых сум (Sn(x)) раўнамерна збягаецца да лімітавай функцыі S(x):

()( = n    хХ Sn(x)  S(x) < .



Заўвага 1. Пры даследванні ф.ш. на раўнамерную збежнасць будзем карыстацца наступнай прыкметай.

Тэарэма 1 (Вайерштраса). Няхай шэраг (3) - ф.ш.,складнікі якога азначаны на мностве Х. Няхай існуе лікавы дадатны збежны шэраг (5) такі, што  хХ выконваецца няроўнасць:

un(x) an. (6)

Тады ф.ш. (3) збягаецц абсалютна і раўнамерна на мностве Х.

Заўвага 2. Ф.ш. (3) абсалютна збягаецца на мностче Х, калі на гэтым мностве збягаецца шэряг з модуляў ш. (3) .



Заўвага 3. Л.ш. (5) называецца мажорантай (мажорантным для ш. (3)).



Прыклад.

Тэарэма 2 (аб непарыўнасці сумы ф.ш.). Калі ўсе складнікі ф.ш. (3) непарыўныя на мностве Х функцыі і ш.(3) раўнамерна збягаецца да сумы S(x) на мностве Х, то сума S(x) – непарыўная на мностве Х функцыя.

 З раўнамернай збежнасці ш. (3) вынікае, паслядоўнасць (Sn(x)) раўнамерна збягаецца да функцыі S(x) на мностве Х. Кожный элемент паслядоўнасці (Sn(x)) – непарыўная функцыя як сума непарыўных функцый. Тады па т.2 §1 аб непарыўнасці сумы ф.п. (Sn(x)) і сума S(x) – непарыўная функцыя на мностве Х.



§3. Аб паскладовым дыферэнцаванні і інтэграванні

Функцыйных шэрагаў

Прымем без доказу тэарэму.



Тэарэма 1 (аб лімітавым пераходзе пад знакам інтэграла) . Няхай усе элементы ф.п. (Sn(x)) (1) непарыўныя на мностве на адрэзку [ a,b] функцыі. На гэтым адрэзку ф.п. (1)раўнамерна збягаецца да лімітавай функцыі S(x). Тады , (2)

г.зн. . (2*)



Тэарэма 2 (аб паскладовым інтэграванні ф.ш.).Няхай складнікі ф.ш. (3) – непарыўныя на адрэзку [ a,b] функцыі, і ф.ш. (3) раўнамерна збягаецца да сваёй сумы S(x) на адрэзку [ a,b] , то

(4)

або . (4*)

г.з. ф.ш. можна паскладова інтэграваць на адрэзку [ a,b].



Тэарэма 3 (аб паскладовым дыферэнцаваніі ф.ш.). Няхай ф.ш. (3) раўнамерна збягаецца на адрэзку [ a,b] і 1) усе складнікі непарыўныя функцыі на адрэзку [ a,b] ; 2) шэраг ад вытворных складнікаў ф.ш. (3) збягаецца раўнамерна на адрэзку [ a,b],то мае месца роўнасць:

S’(x) =  х[ a,b] (5)

aбо ( )' =  х[ a,b], (6)

г.зн. ф.ш. можна паскладова дыферэнцаваць у кожным пункце адрэзка [ a,b].

Доказ самастойна: Бохан К.А. і др. Раздел VII, гл.ХХІ, §2, т.3.

Заўвага. Вядома, што л.ш. могуць збягацца абсалютна, умоўна або разбягацца. Тое самае можна сказаць і аб функцыйных шэрагах. Таму для знаходжання абсягу збежнасці ф.ш. будзем карыстацца усімі прыкметамі збежнасці, якія працавалі для л.ш.
§4. Ступеневыя шэраг (ст.ш.)

Азначэнне 1. Ступеневым шэрагам называецца ф.ш. выгляду

, дзе cn, a R, cn – каэфіцыенты шэрагу. (1)

Калі у ш.(1) а = 0, то атрымліваецца шэраг . (2)



Тэарэма 1 (Абеля). Няхай шэраг (2) - дадзены ступеневы шэраг. Калі:

  1. ст.ш. (2) збягаецца ў пункце х = хо  0, то ёе збягаецца абсалютна ў любых пунктах х, якія задавальняюць умову x< xo;

2) ст.ш. (2) разбягаецца ў пункце х = х1, то ён разбягаецца ў любых пунктах х, якія задавальняюць умову x> x1.

Доказ самастойна: Бохан К.А. і др. Раздел VII, гл.ХХІ, §3.

Тэарэма 2 (аб структуры абсягу збежнасці ст. шэрагу). Калі ст.ш. (2) збягаецца не на ўсёй лікавай прамой, але і не толькі ў пункце х = 0, то існуе лік R > 0 такі, што:

1) ш. (2) абсалютна збежны хх< R;

2) ш. (2) разбежны хх> R.

Доказ самастойна: Бохан К.А. і др. Раздел VII, гл.ХХІ, §3, т.2.

Азначэнне 1. Лік R > 0 называецца радыусам збежнасці л.ш. (2), прамежак (- R, R) –інтэрвалам збежнасці л.ш. (2).

Калі ст.ш. (2) збягаецца ва ўсіх пунктах лікавай прамой, то R = + , мноства R – інтэрвал збежнасці; калі ст.ш. (2) збягаецца толькі ў п. х = 0, то

R = 0, інтэрвал збежнасці {x}.

Заўвага 1. Для ступеневага шэрагу (1) інтэрвал збежнасці знаходзіцца з няроўнасці х - а< R: x  (a – R, a + R).

Заўвага 2. Абсяг збежнасці ст.ш. можна знайсці, калі даследаваць шэраг на збежнасць на канцах інтэрвала збежнасці.

Заўвага 3. Для знаходжання R можна карыстацца адпаведнымі формуламі. Няхай усе каэфіцыенты cn  0. = D  0. Па прыкмеце Даламбера

= = = Dx< 1  x <

R = = - формула Даламбэра (3).

Калі абазначыць = D, то па прыкмеце Кашы

= = D  = Dx < 1  x <
R = = - формула Кашы (4).

Заўвага 4. Калі некаторыя з каэфіцыентаў cn = 0, то формуламі (3) і (4) нельга карыстацца. У гэтым выпадку працуюць прыкметы Кашы і Даламбэра.

Прыклады.

§5. Уласцівасці ступеневых шэрагаў

(1) – ступеневы шэраг.

Теорема 1. Ступеневы шэраг збягаецца раўнамерна на любым адрэзку [,] з інтэрвала збежнасці.

 Разгледзім адрэзак [- r, r]  ( - R,R) такі, што [,]  [- r, r]. Дакажам, што ст.ш. (1) раўнамерна збягаецца на адрэзку [- r, r], а г.зн. на адрэзку

[- r, r]. Ст.ш. (1) – функцыйны шэраг і таму можна скарыстаць прыкмету Вайерштраса раўнамернай збежнасці ф.ш. Пункт r  ( - R,R), таму ў гэтым пункце ш. (1) збягаецца абсалютна, а г.зн. лікавы шэраг збягаецца і яго скарыстаем у якасці мажорантнага шэрагу для ш. (1) на адрэзку [- r, r]:

cnxncnrn x [- r, r].

Адпаведна т.Вайерштраса ш.(1) раўнамерна збягаецца на адрэзку

[- r, r]  раўнамерная збежнасць на любым адрэзку [,] з інтэрвала збежнасці.

На падставе т.2 §2 аб непарыўнасці сумы функцыйнага шэрагу робім выснову.

Выснова. Сума ступеневага шэрагу –функцыя непарыўная у кожным пункце інтэрвала збежнасці.

Тэарэма 2. Ступуневы шэраг (1) можна паскладова інтэграваць на кожным адрэзку з інтэрвала збежнасці. Такім чынам мае месца роўнасць:

, дзе х адвольны пункт інтэрвала ( - R,R), S(x) = .

Доказ на падставе т.2 §3 аб паскладовым інтэграванні ф.ш.і т.1 §5.



Тэарэма 3. Ступеневы шэраг (1) можна паскладова дыферэнцаваць у кожным пункце яго інтэрвала збежнасці. Такім чынам у кожным такім пункце сума S(x) ст.ш.(1) дыферэнцавальная і мае месца роўнасць:

S’(x) = = (co + c1x+c2x2+…+cnxn+…)’ = c1+2c2x+3c3x2+…+ncnxn-1+….

Доказ на падставе т.3 §3 аб паскладовым інтэграванні ф.ш.і т.1 §5.

Прыклад.

Заўвага. Радыусы збежнасці шэрагаў, атрыманых з некаторага збежнага шэрагу паскладовым інтэграваннем і дыферэнцаваннем, супадаюць з радыусам збежнасці дадзенага шэрагу.

Прыклад.

§6. Шэраг Тэйлара

Няхай на інтэрвале (aR; a+R) азначана функцыя f, і заданы ступеневы шэраг



= c0+ c1(x-a) + … + cn(x-a)n +…. (1)

Азначэнне 1. Кажуць, што ступеневы шэраг (1) збягаецца да функцыі f на інтэрвале (aR; a+R), калі ў кожным пункце х гэтага інтэрвала ён збягаецца, і сума яго роўна f(x), г.зн. мае месца наступная роўнасць:

f(x) = c0+ c1(x-a) + + cn(x-a)n + x(aR; a+R). (2)

У гэтым выпадку яшчэ кажуць, што функцыя f на інтэрвале (aR; a+R) раскладаецца ў ступеневы шэраг (1), а роўнасць (2) называецца раскладаннем функцыі f у ступеневы шэраг па ступенях х а.



Заўвага. Роўнасць (2) можа мець месца на інтэрвале (aR; a+R), калі функцыя f безліч разоў дыферэнцавальная на гэтым інтэрвале.

Тэарэма 1. Калі на інтэрвале (aR; a+R) функцыя f раскладаецца ў ступеневы шэраг (1), г.зн. мае месца роўнасць (2), то гэта раскладанне адзінае і мае выгляд:

(3)

 Па ўмове тэарэмы на інтэрвале (aR; a+R) функцыя f раскладаецца ў ст.ш. (1), г.зн. мае месца роўнасць (2) . Прадыферэнцуем правую і левую часткі роўнасці (2) n разоў, атрымаем роўнасці:

f ‘(x) = 1! c1 + 2c2 (xa) + … + ncn (xa)n-1 + …

f ”(x) = 2! c2 + 32c3 (xa) + … + n(n1)cn (xa)n-2 + … (4)

f (3)(x) = 3! c3 + 432c4(xa) + … + n(n1)(n2)cn(xa)n-3 + …

………………………………………………………………..

f (n)(x) = n! cn + (n+1)n(n1)…2cn+1(xa) + … .

Калі у кожнай роўнасці (2) і (4) пакласці х=а , то атрымаем:

f(а) = co, f ’(a) = 1! c1, f ”(a) = 2! c2, …, f (n)(a) = n! cn,… .

Такім чынам,



(5)

Падставім атрыманные значэнні каэфіцыентаў у (2), атрымаем роўнасць (3).

Функцыя адзіным чынам раскладаецца ў ступеневы шэраг (1) на інтэрвале (ar; a+r), што вынікае з адзінасці вытворных. 

Азначэнне 2. Шэраг, які стаіць у правай частцы роўнасці (3) называецца шэрагам Тэйлара функцыі f на интэрвале (aR; a+R):

(6)

Калі а = 0, то шэраг прымае выгляд:



(7)

Шэраг (7) называецца шэрагам Маклёрэна.



Тэарэма 1’. Калі на інтэрвале (aR; a+R) функцыя f раскладаецца ў ступеневы шэраг (1), то гэты шэраг з’яўляецца яе шэрагам Тэйлара.

Зайвага 1. Калі функцыя f безліч разоў дыферэнцавальная на інтэрвале (aR; a+R) , фармальна можна пабудаваць яе шэраг Тэйлара (6):



Заўвага 2. Кожны збежны ступеневы шэраг з’яўляецца шэрагам Тэйлара сваёй сумы.

Формула Тэйлара

Няхай функцыя f(x) безліч разоў дыферэнцавальная на інтэрвале

(aR; a+R) і яе можна прадставіць у выглядзе

(8)

Роўнасць (8) называецца формулай Тэйлара функцыі f(x). формулы Тэйлара.

Вядома, што астача ў форме Лагранжа мае выгляд:

, дзе с а,х  x(ar; a+r) . (9)
Раскладанне функцый у шэраг Тэйлара
Для функцыі f(x), якая безліч разоў дыферэнцавальная на інтэрвале

(aR; a+R) , пабудуем шэраг Тэйлара (6).



Тэарэма 2. Для таго, каб безліч разоў дыферэнцавальная на інтэрвале (aR; a+R) функцыя f(x) раскладалася ў шэраг Тэйлара, неабходна і дастаткова, каб дзе Rn(x) – астача формулы Тэйлара.

Тэарэма 3. Калі функцыя f на інтэрвале (aR; a+R) мае вытворныя любога парадку і ўсе яны абмежаваныя адным і тым жа лікам, г.зн. існуе лік М>0 такі, што f(n)(x)< M x(aR; a+R) , n = 0,1,2,… (10), то дадзеная функцыя раскладаецца ў шэраг Тэйлара на інтэрвале (aR; a+R).

Доказ. Скарыстаем Т.2. Разгледзім астачу формулы Тэйлара ў форме Лагранжа для функцыі f (9):

, дзе с а,х  x(aR; a+R).

У сілу (10) x(aR; a+R) будзем мець



(11)

Калі пакажам, што (12), то з (11)будзе вынікаць, што і Rn(x)  n  x(aR; a+R). Па Т.2 функцыя f будзе раскладацца ў шэраг Тэйлара на інтэрвале (aR; a+R).



Дакажам роўнасць (12).

Разгледзім лікавы шэраг, n-членам якога з’яўляецца правая частка няроўнасці (11):



(13)

Скарыстаем прыкмету Даламбера:



шэраг (14) збягаецца, таму па неабходнай прыкмеце ліміт яго агульнага складніка роўны 0:

Роўнасць (12) даказана, а з ёю і Т.3.


Раскладанне функцый sin і cos у шэраг Маклёрэна

Разгледзім функцыю sinx.

Паколькі ўсе вытворныя функцыі sinx абмежаваныя на любым інтэрвале (r; r) (R+R) , сіметрычным адносна пункту 0 ( (sinx)’ = cosx, cosx 1 ), то па т.3 функцыя sin раскладаецца ў шэраг Маклёрэна на ўсім мностве сапраўдных лікаў. Знойдзем гэта раскладанне:

f(x) = sinx f(0) = 0

f’(x) = cosx f’(0) = 1

f”(x) =  sinx f”(0) = 0

f(3) (x) =  cosx f(3)(0) =  1

……………………………………………


(15)

Аналагічна атрымліваецца раскладанне функцыі сos:



. (16)
Заўвага. Можна лічыць роўнасці (15) і (16) азначэннямі функцый sin і cos, паколькі шэрагі збягаюцца на ўсёй лікавай прамой і з гэтага вынікае, што сумы шэрагаў азначаны і непарыўны на мностве R. Іх можна лічыць па азначэнню функцыямі sin і cos.
Раскладаннн функцыі ех у шэраг Маклёрэна
Пакажам, што функцыя ех (экспанента) раскладаецца ў шэраг Маклёрэна на любым інтэрвале (r; r). Рзгледзім адвольны інтэрвал (r; r) (R+R). На ім функцыя ех мае вытворныя любога парадку і ўсе яны абмежаваныя зверху лікам er :

f(n)(x) er x(r; r), n = 0,1,2,… .

Г.зн. f(n)(x)< M x(r; r), дзе М = er.

Таму па Т.3 функцыя ех раскладаецца ў шэраг Маклёрэна на любым інтэрвале (r; r), а г.зн. і на ўсёй лікавай прамой. Знойдзем гэта раскладанне:

f(x) = f ‘(x) = f”(x) = ех ; f(0) = f ‘(0) = f”(0) = е0 = 1.

Такім чынам,



Прывядзем без вывадаў яшчэ некалькі формул раскладання функцый:





Прыклады.



База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка