Лектар: Барковіч А. А. Лекцыя 2 для самастойнага вывучэння Здабыванне кораня з камплекснага ліку




Дата канвертавання07.05.2016
Памер41.31 Kb.
АЛГЕБРА

2 курс

2005/2006



Лектар: Барковіч А. А.
ЛЕКЦЫЯ 2

для самастойнага вывучэння


1. Здабыванне кораня з камплекснага ліку
Азначэнне 1.1. Коранем n-й ступені () з камплекснага ліку называецца такі камплексны лік , што .

Абазначэнне: .



Азначэнне 1.2. Арыфметычны корань n-й ступені () з рэчаіснага ліку – рэчаісны лік, большы ці роўны 0, -ая ступень якога роўна . Гэта значэнне кораня n-й ступені, якое вядома са школы.

Тэарэма 1.1. Існуе роўна n каранеў n-й ступені з нянулявога камплекснага ліку :
, , (1)
дзе –арыфметычны корань n-й ступені з дадатнага рэчаіснага ліку .

Доказ.  1. Кожнае з’яўляецца значэннем :

.

2. Няхай – нейкае значэнне , г. зн. . Тады . Таму , г.зн.  – арыфметычны корань n-й ступені з дадатнага рэчаіснага ліку . З другога боку, , , . Таму, калі існуе, то , . З формулы Муаўра атрымліваем: .

3. Надаючы розныя значэнні, мы не заўседы будзем атрымліваць розныя карані.

3.1. Калі , то мы атрымаем n розных значэнняў, таму што пры павелічэнні на адзінку аргумент павялічваецца на .

3.2. Няхай – адвольны цэлы лік. Падзелім на з астачай: , . З гэтага вынікае, што
.
Значэнне аргумента пры гэтым адрозніваецца ад значэння аргумента пры на лік, кратны . Такім чынам, мы атрымліваем такое ж значэнне кораня, як пры , г.зн. гэта значэнне кораня ўваходзіць у сістэму значэнняў (1). 

Заўвага 1.1. Усе значэнні кораня n-й ступені знаходзяцца на акружнасці радыуса з цэнтрам у пачатку каардынат і дзеляць гэту акружнасць на n роўных частак.

Прыклад 1.1. Знайсці ўсе значэнні .

Рашэнне. Запішам лік у трыганаметрычнай форме:

.

Выкарыстаем формулу каранеў ступені з камплекснага ліку:



,

Пры , , , атрымліваем:



;

;



.

Усе значэнні размешчаны ў вяршынях квадрата, упісанага ў акружнасць з цэнтрам у пачатку каардынат і радыусам .


2. Корані з адзінкі
Як і для адвольнага нянулявога камплекснага ліку, для 1 існуе роўна n каранеў n-й ступені.

.

Таму корані -й ступені з адзінкі выражаюцца формулай:



, .

Геаметрычная інтэрпрэтацыя.

Корані -й ступені з адзінкі знаходзяцца на акружнасці радыуса 1 з цэнтрам у пачатку каардынат. Адзін з іх, . Корань мае сваім аргументам (-ая частка акружнасці). Корані маюць сваімі аргументамі , таму корані дзеляць акружнасць радыуса 1 на роўных частак.

Іншымі словамі, корані размешчаны ў вяршынях правільнага -вугольніка, упісанага ў акружнасць з цэнтрам у пачатку каардынат і радыусам, роўным адзінцы. Адна з вяршынь правільнага -вугольника знаходзіцца ў пункце з каардынатамі .

Усе корані -й ступені з 1 з’яўляюцца каранямі раўнання . Таму раўнанне называецца раўнаннем дзялення круга.



Уласцівасць 2.1. Здабытак каранеў ступені з адзінкі есць корань ступені з адзінкі.

Уласцівасць 2.2. Лік, адваротны да кораня ступені з адзінкі есць корань ступені з адзінкі.

Азначэнне 2.1. Корань ступені з адзінкі называецца першавобразным, калі ен не з’яўляецца коранем з адзінкі ніякай меншай ступені.

Прыклад 2.1. Лік не з’яўляецца коранем з адзінкі ніякай ступені, меншай .

Прыклад 2.2. Знайсці ўсе значэнні .

Рашэнне. Выкарыстаем формулу каранеў -й ступені з адзінкі: ,

Пры , , , атрымліваем:



;

;

.

Усе значэнні размешчаны ў вяршынях роўнабаковага трохвугольніка, упісанага ў акружнасць з цэнтрам у пачатку каардынат і радыусам .


База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка