Лабараторная работа №3 базіс лінейнай прасторы. Каардынаты вектара ў базісе. Падпрасторы №1




Дата канвертавання13.05.2016
Памер103.4 Kb.
Лабараторная работа №3

БАЗІС ЛІНЕЙНАЙ ПРАСТОРЫ. КААРДЫНАТЫ ВЕКТАРА Ў БАЗІСЕ.

ПАДПРАСТОРЫ
1. Вектары , – базіс лінейнай прасторы .

1) Праверыць, што сістэмы вектараў , і , таксама з’яўляюцца базісамі лінейнай прасторы .

2) Знайсці матрыцы пераходу ад базіса да базіса і ад базіса да базіса .

3) Знайсці каардынаты вектара у кожным з базісаў.






В1

В2

В3

В4

В5



































































В6

В7

В8

В9

В10




























































2. Лінейная прастора . Знайсці пры яком значэнні параметра паліном належыць . Знайсці памернасць і які-небудзь базіс прасторы . Знайсці каардынаты паліномаў і у гэтым базісе.






В1

В2

В3

В4

В5



2+x-3x2

-1+4x+x2

1+3x+2x2

2+4x+x2

1+2x-x2



-2-5x+3x2

4-x+x2

5+x-4x2

2+2x-x2

-1+2x-3x2



2-5x-3x2

1+2x+x2

1-x-2x2

-2+x+4x2

3+x+2x2



2-3x+x2

2+2x+x2

3-5x+x2

2+6x+x2

2+8x+x2







В6

В7

В8

В9

В10



1+2x-x2

1+2x+x2

2+3x+x2

2-x+x2

1+x+2x2



1+4x+x2

-5-3x+2x2

2+x+x2

1-2x-x2

3-x+2x2



1-5x-8x2

3+x-2x2

-2+4x-x2

-1+4x+3x2

1-2x-2x2



2+2x+x2

1-3x+x2

2-3x+x2

1-5x+x2

1-3x+x2

3. Дакажыце, што падмноства з’яўляецца падпрасторай прасторы . Знайдзіце яе памернасць і які-небудзь базіс.













В1



В6



В2



В7



В3



В8



В4



В9



В5



В10


4. Знайсці фундаментальную сістэму рашэнняў сістэмы лінейных алгебраічных раўнанняў.


В1.

В2.

В3.

В4.

В5.

В6.

В7.

В8.

В9.

В10.

1. Вектары , – базіс лінейнай прасторы .



1) Праверыць, што сістэмы вектараў , і , таксама з’яўляюцца базісамі лінейнай прасторы .

2) Знайсці матрыцы пераходу ад базіса да базіса і ад базіса да базіса .

3) Знайсці каардынаты вектара у кожным з базісаў.

Рашэнне. Пабудуем ізамарфізм . Тады мы атрымаем наступныя вектары ў прасторы :

, , , , .

І далей мы будзем рашаць зыходную задачу ў прасторы .

1) Паколькі , базіс у гэтай прасторы ўтвараюць два лінейна незалежныя вектары.

Праверым, што вектары , лінейна незалежныя.



1 спосаб. Шукаем ранг сістэмы вектараў метадам элементарных пераўтварэнняў.

.

Бачым, што , вектараў у сістэме 2, тады сістэма вектараў , лінейна незалежная і з’яўляецца базісам прасторы .



2 спосаб. Шукаем ранг сістэмы вектараў метадам “абдымных” мінораў.

.

Значыць, , вектараў у сістэме 2, тады сістэма вектараў , лінейна незалежная і з’яўляецца базісам прасторы .

Аналагічна правяраецца, што сістэма вектараў , з’яўляецца базісам прасторы .

З уласцівасцей ізамарфізмаў вынікае, што сістэмы вектараў , і , з’яўляюцца базісамі лінейнай прасторы .

2) Каб запісаць матрыцу пераходу ад базіса да базіса трэба спачатку знайсці каардынаты вектараў , у базісе .

Знойдзем спачатку каардынаты вектара у базісе .



;

;

Такім чынам, вектар мае каардынаты у базісе .

Аналагічна знаходзім, што вектар мае каардынаты у базісе .

Тады мы можам запісаць матрыцу пераходу ад базіса да базіса (каардынаты вектараў базіса у базісе запісываем у слупкі матрыцы )



.

Знойдзем адваротную матрыцу для матрыцы (гл. 1 семестр)



.

Гэта і будзе матрыца пераходу ад базіса да базіса .

Тады ў лінейнай прасторы матрыца будзе матрыцай пераходу ад базіса да базіса , а матрыца – ад базіса да базіса .

3) Знойдзем спачатку каардынаты вектара у базісе .



;

;

Такім чынам, вектар мае каардынаты у базісе , адпаведна вектар мае каардынаты у базісе .

Каардынаты вектара у базісе знойдзем з дапамогай формул пераўтварэння каардынат

,

дзе – слупкі каардынат вектара у базісах і , – матрыца пераходу ад базіса да базіса .

Атрымаем

.

Такім чынам, вектар мае каардынаты у базісе , адпаведна вектар мае каардынаты у базісе .



Праверка. Выконваецца!

Адказ:

2) Матрыца пераходу ад базіса да базіса ;

матрыца пераходу ад базіса да базіса .

3) у базісе ; у базісе .








База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка