Інтэграванне функцый некалькіх зменных падвоены інтэграл І яго ўласцівасці. П паняцце падвоенага інтэграла




Дата канвертавання01.05.2016
Памер461.22 Kb.
Інтэграванне функцый некалькіх зменных

§1. Падвоены інтэграл і яго ўласцівасці.

П.1. Паняцце падвоенага інтэграла.
Няхай на плоскасці х0у зададзены квадравальны замкнёны абмежаваны абсяг Р (квадравальны кампакт), на якім вызначана непарыўная і неадмоўная функцыя z=f(x,y). І няхай Т ёсць падзел абсягу Р на квадравальныя часткі Рк (к= ) без супольных унутраных пунктаў з дробнасцю падзелу , дзе ёсць найбольшы з дыяметраў частковых абсягаў Рк (к= ) , (к= ), прычым - дыяметр фігуры Рк ). У кожным частковым абсягу Рк (к= ) выберам адвольны пункт . Сума , дзе ёсць плошча абсягу Рк , называецца інтэгральнаю сумаю фукцыі f(x,y) па абсягу Р. Значэнне сумы залежыць ад падзелу Т і ад выбару пунктаў .

Азначэнне 1.1.Калі існуе канечны ліміт І інтэгральных сумаў пры , (1.1)

які не залежыць ні ад падзелу Т, ні ад выбару пунктаў , то функцыю f называюць інтэгравальнаю на абсягу Р, а лік І падвоеным інтэгралам Рымана ад функцыі f па абсягу P і абазначаюць : .

Роўнасць (1.1) азначае, што для кожнага ліку існуе такі , што для ўсякага падзелу Т з дробнасцю прадзіцца няроўнасць: , або .

Заўважым,што на часткі Рк мы не накладаем ніякіх абмежаванняў, апроч квадравальнасці і адсутнасці ў іх супольных ўнутраных пунктаў. Гэтыя абмежавані забяспечваюць праўдзівасць роўнасці: , (1.2) дзе ёсць плошча ўсёй фігуры Р.

Адзначым таксама, што абмежаванасць функцыі f(x,y) на абсягу Р ёсць неабходная ўмова яе інтэгравальнасці. Доказ гэтага сцвяржэння не адрозніваецца ад доказу адпаведнай тэарэмы для інтэграла Рымана ад функцыі адной зменнай.

Як і для функцыі адной зменнай, пры пабудове тэорыі падвоенага інтэграла істотную ролю іграюць верхняя і ніжняя інтэгравальныя сумы.

Няхай функцыя f(x,y) ёсць абмежаваная на абсягу Р, а mk i Mk – дакладныя ніжняя і верхняя межы мноства значэнняў функцыі f на частковым абсягу Рк . Сумы , , якія адназначна вызначаюцца падзелам Т, будзем называць адпаведна ніжняй і верхняй сумамі Дарбу. Гэтыя сумы маюць тыя ж самыя уласцівасці, што і сумы Дарбу для функцыі адной зменнай; усе доказы застаюца ранейшымі, толькі даўжыні частковых адрэзкаў замяняюцца плошчамі частковых абсягаў. Аналагічна даказваецца таксама крытэрый інтэгравальнасці функцыі f(x,y), які мы падаем без доказу.

Тэарэма 1.1.Абмежаваная на квадравальным абсягу функцыя f(x,y) ёсць інтэгравальная паводле Рымана, тады і толькі тады, калі .

Важны вынік з гэтага крытэрыя – інтэгравальнасць непарыўных фукцый.



Тэарэма 1.2.Калі функцыя z=f(x,y) непарыўная ў квадравальным кампакце Р, то яна інтэгравальная на ім.

Тэарэма 1.3. Калі функцыя z=f(x,y) абмежавана ў квадравальным кампакце Р і непарыўная на ім за выключэннем тых пунктаў крывых фігуры Р, якія маюць плошчу, роўную нулю, то яна інтэгравальная на Р.
П.1. Уласцівасці падвоенага інтэграла

Паколькі ўсе пададзеныя ніжэй ўласцівасці даказваюцца такім жа чынам, як і адпаведныя уласцівасці вызначанага інтэграла, мы прывядзем іх без доказу.

1. Мае месца стасунак: , (1.3) дзе S(P) ёсць плошча фігуры Р.

Для кожнага падзелу Т абсягу Р, згодна з роўнасцю (2) маем: .

2. Калі плошча квадравальнага кампакта Р роўна нулю, то .

3. Уласцівасць лінейнасці. Калі f i g ёсць інтэгравальныя на квадравальным абсягу Р, а і -- адвольныя рэчаісныя лікі, то і функцыя -- інтэгравальная на Р, прычым: . (1.4)

4. Уласцівасць адытыўнасці. Няхай {Pk}, ёсць падзел абсягу Р. Функцыя f ёсць інтэгравальная на Р тады і толькі тады, калі яна інтэгравальная на кожным з абсягаў Рк, прычым: . (1.5)

5. Уласцівасць манатоннасці. Калі f i g ёсць інтэгравальныя на абсягу Р функцыі і , то . (1.6)

6. Ацэнка модуля интэграла. Калі функцыя f(x,y) інтэгравальныя на абсягу Р, то функцыя таксама інтэгравальная на Р і



(1.7)

7. Ацэнка падвоенага інтэграла. Калі функцыя f(x,y) інтэгравальныя на абсягу Р і , , то (1.8)

8. Тэарэма пра сярэдняе. Калі функцыя f(x,y) ёсць непарыўная на квадравальным злучным замкнёным абсягу Р, то існуе пункт такі, што: . (1.9)

9. Калі f i g ёсць інтэгравальныя адпаведна на адрэзках і , то функцыя інтэгравальныя на прамавугольніку П= = , прычым = . (1.10)



Прамымі, паралельнымі каардынатным восям, падзелім прамавугольнік П на частковыя прамавугольнікі Пij, плошчы якіх роўныя , дзе , ; , . Калі Т ёсць дробнасць гэтага падзелу, то пры таксама , . Атрымаем: = .

П.1. Вылічэнне плошчаў фігур і аб’ёмаў цел пры дапамозе падвоеных інтэгралаў.

Няхай Р -- квадравальны кампакт і няхай Т ёсць падзел абсягу Р на квадравальныя часткі Рк (к= ) без супольных унутраных пунктаў з дробнасцю падзелу , тады мае месца роўнасць (1.2).



Тэарэма 1.4.(аб вылічэнні плошчы). Калі Р -- квадравальны кампакт, то яго плошчу можна вылічыць па формуле: (1.11)

Разгледзім на Р функцыю f(x,y)=1, якая інтэгравальная на Р (у сілу непарыўнасці). Тады = = .

Няхай на квадравальным замкнёным абсягу Р зададзена непарыўная і неадмоўная функцыя f. Цела абмежавана знізу абсягам Р, зверху – графікам функцыі f, а збоку – цыліндрычнай паверхняй з утваральнаю, паралельнаю восі 0z і кіроўнаю якога будзе мяжа абсягу Р, называецца цыліндрычным целам.



Тэарэма 1.5. Цыліндрычнае цела з’яўляецца

кубавальным і аб’ём яго можа быць выльча-

ны па формуле: . (1.12)

Пры доказе тэарэмы будзем карыстацца

неабходнай і дастатковай ўмовай кубавальнасці:

для таго, каб цела G было кубавальным неабходна і дастаткова, каб існавалі дзве паслядоўнасці кубавальных цел , ″, якія адпаведна змяшчаюцца ў G і змешчаюць G і такіх, што . Падзелім абсяг Р на квадравальныя часткі Рк (к= ) без супольных унутраных пунктаў . Паколькі на квадраваным кампакце Рк функцыя f непарыўная, тады (згодна тэарэмы Веерштраса) яна дасягае адпаведна найменьшага і найбольшага значэнняў на гэтым кампакце і . Пабудуем на Рк два прамых цыліндра з высотамі і адпаведна. Таму (згодна тэарэме аб вылічэнні аб’ёма прамога цыліндра) аб’мы цыліндраў, якія мы пабудавалі, будуць адпаведна роўныя і . Аналагічна разгледзім кожны абсяг Рк (к= ). Такім чынам мы пабудуем две паслядоўнасці квадравальных цел  і ″, якія маюць наступныя аб’ёмы: V( )= (1.13)

V( ″)= . (1.14)

Адзначым, што сумы (1.13) і (1.14) ёсць інтэгральныя сумы непарыўнай функцыі f на кампакце Р, таму: .

§2. Вылічэне падвоеных інтэгралаў.

П.1. Вылічэнне падвоенага інтэграла на прамавугольніку.

Тэарэма 2.1.Няхай функцыя f(х,у) ёсць інтэгравальная на прамавугольніку П= і для кожнага х існуе інтэграл Рымана . (2.1) Тады функцыя ёсць інтэгравальная на адрэзку і мае месца роўнасць: (2.2)

Інтэграл называюць паўторным інтэгралам і запісваюць яго ў выглядзе: .



Заўвага 2.1. калі х і у памяняць ролямі, г.зн. дапусціць існаванне інтэграла для кожнага у , то замест формулы (2.2) атрымаем формулу: (2.3)

Вынік 2.1.Калі функцыя f(х,у) ёсць непарыўная на прамавугольніку П= , то мае месца формула: = (2.4)

П.2. Вылічэнне падвоенага інтэграла па элементарнай фігуры.

Калі кожная прамая, паралельная восі 0у (0х), што праходзіць праз унутраны пункт абсягу Р, перасякае яго мяжу толькі ў двух пунктах, то абсяг Р называецца элементарным у дачыненні да восі 0у (0х) або вобласцю першага тыпа (другога тыпа). Такім чынам:

а) абсяг першага тыпа ёсць фігура ў плоскасці

х0у, якая задаецца наступным чынам:



, дзе і непарыўныя на функцыі;

б) абсяг другога тыпа ёсць фігура ў плоскасці

х0у, якая задаецца наступным чынам:

, дзе і

-- непарыўныя на функцыі.

Тэарэма 2.2. Няхай функцыя f(х,у) ёсць інтэгравальная на абсягу першага тыпа і для кожнага х існуе інтэграл . Тады праўдзіцца формула:

. (2.5)

Возьмем прамавугольнік П= , такі, што Р П. Разгледзім дапаможную функцыю

.

Паколькі функцыя F(x,y) ёсць

інтэгравальная на абсягу Р і на

мностве П\Р, то існуе падвоены

інтэграл . Аналагічна з існавання для кожнага х інтэгралаў , і вынікае, што х існуе інтэграл: . Такім чынам функцыя F(x,y) адпавядае ўсім ўмовам тэарэмы 2.1., а таму . Улічваючы, што , = , прыходзім да формулы (2.5).

Вынік 2.2.Калі функцыя f(х,у) ёсць непарыўная на абсягу Р , то для яе праўдзіцца формула (2.5).

Вынік 2.3.Калі Р ёсць абсяг другога тыпа, г.зн. , дзе і -- непарыўныя на функцыі, то = (2.6)

Вынік 2.3.Калі Р ёсць элементарны ў дачыненні да абедзьвух каардынатных восяў, то яго называюць элементарным, і пры вылічэнні падвоенага інтэграла па такому абсягу можна карыстацца абедзьвумя формуламі (2.5) і (2.6). Трэба адзначыць, што ў некаторых выпадках вылічэнне падвоенага інтэграла значна спрашчаецца за кошт выбару парадку інтэгравання.

Заўвага 2.4. Калі абсяг інтэгравання не ёсць элементарны ў дачыненні да ніводнай з каардынатных восяў, то звычайна яго можна падзяліць на канечную колькасць абсягаў, элементарных ў дачыненні да адной з каардынатных восяў.

Заўвага 2.5. Калі пры вылічэнні паўторнага інтэграла зручна перайсці ад паўторнага інтэграла па абсягу аднаго тыпа да паўторнага інтэграла па абсягу другога тыпа, то такі пераход называюць заменай парадка інтэгравання ў паўторным інтэграле.

§3. Замена зменных ў падвоеным інтэграле.

Разгледзім дзве прамавугольныя сістэмы каардынат х0у і u0v.

І няхай у кожнай з каардынатных плоскасцей існуюць квадравальныя кампакты Р і Q адпаведна. Разгледзім адлюстраванне g : Q P, якое з’яўляецца ветар-функцыяй дзьвух зменных, г.зн. . Няхай g задавальняе наступным умовам:

g – узаемна адназначнае адлюстраванне Q на Р.
Няхай g i ёсць непарыўныя функцыі на Р і Q адпаведна.

Кампаненты функцыі g непарышныя разам са сваімі частковымі вытворнымі , , , на Q. Матрыца: называецца матрыцай Якобі адлюстравання g а дэтэрмінант гэтай матрыцы I=I(u,v)= - называецца якабіянам адлюстравання g.

Азначэнне 3.1.Адлюстраванне g, якое мы разгледзелі вышэй, квадравальнага кампакта Q на квадравальны кампакт Р, якое задавальняе умовам - , прычым якабіян няроўны нулю, называюць рэгулярным адлюстраваннем Q на Р.

Можна даказаць, што пры рэгулярным адлюстраванні:



  1. вобразам непарыўнай крывой з’яўляецца непарыўная крывая;

  2. вобразам абсяга з’яўляецца абсяг;

  3. вобразам мяжы з’яўляецца мяжа.

Тэарэма 3.1.Няхай функцыя z=f(х,у) ёсць непарыўная на квадравальным кампакце Р плоскасці х0у. Няхай g ёсць рэгулярнае адлюстраванне квадравальнага кампакта Q плоскасці u0v на квадравальны кампакт Р плоскасці х0у. Тады мае месца роўнасць: . (3.1)

Адзначым, што формула (3.1) называецца формулай замены зменнай ў падвоеным інтэграле.



Заўвага 3.1.Сувязь паміж дэкартавай і палярнай сістэмамі каардынат ажыццяўляецца пры дапамозе роўнасцяў: x=r , y=r . Такім чынам, адлюстраванне кампакта Q з палярнай сістэмы каардынат у кампакт Р плоскасці х0у ажыццяўляецца пры дапамозе вектар-функцыі g(r, . Якабіян гэтага адлюстравання:

I=I( )= , Таму формула (3.1) набывае выгляд: (3.2)



Заўвага 3.2.Відавочна, што плошча абсягу Р у адпаведнасці з роўнасцю (1.11) у палярных каардынатах вылічваецца паводле формулы: (3.3)

§4. Патроеныя інтэгралы і іх ўласцівасці.

П.1. Азначэнне патроенага інтэграла і яго ўласцівасці.

Няхай R ёсць абмежаваны замкнёны кубавальны абсяг, на якім вызначана функцыя , а Т – падзел абсягу Е на частковыя кубавальныя абсягі Ек (к= ) без супольных унутраных пунктаў, прычым . Дыяметрам абсягу Ек называецца лік , дзе ёсць адлегласць паміж пунктамі з абсягу Ек . Велічыню будзем называць дробнасцю падзелу Т. На кожным абсягу Ек выберам адвольны пункт . Сума , дзе -- аб’ём частковага абсягу Ек, называецца інтэгральнаю сумай функцыі па абсягу Е. Значэнне інтэгральнай сумы залежыць ад падзелу Т абсягу Е на частковыя абсягі і ад спосабу выбару пунктаў .



Азначэнне 5.1.Калі існуе канечны ліміт І інтэгральных сумаў пры :

, які не залежыць ні ад падзелу Т, ні ад выбару пунктаў , то функцыю f называюць інтэгравальнаю на абсягу Е, а лік І – патроеным інтэгралам ад функцыі f па абсягу Е і абазначаюць або , г.зн. .

Таксама як і для інтэграла Рымана, падвоенага інтэграла Рымана, мае месца неабходная ўмова інтэгравальнасці: калі функцыя f інтэгравальная на Е, то яна абмежаваная на Е. Таму ліміт І можа існаваць толькі для абмежаванай функцыі. Як і для падвоенага інтэграла, уводзяцца ніжняя і верхняя сумы Дарбу і адпаведны крытэрый інтэгравальнасці функцыі, пры дапамозе якога няцяжка даказаць інтэгравальнасць непарыўнай функцыі: калі функцыя f непарыўна на Е, то яна інтэгравальная на Е. Можна таксама даказаць і больш агульную тэарэму:



Тэарэма 4.1. Калі функцыя f абмежавана на Е і непарыўна на Е за выключэннем толькі тых пунктаў абсяга, якія маюць нулявы аб’ём, то яна інтэгравальная на Е.

Усе ўласцівасці падвоеных інтэгралаў ёсць праўдзівыя і для патроеных інтэгралаў, таму, не прыводзячы абгрунтаванняў, назавём іх.



  1. Патроены інтэграл па целу нулявога аб’ёма роўны нулю.

  2. Мае месца стасунак , дзе V(E) ёсць аб’ём фігуры Е.

  3. Калі f і g ёсць інтэгравальныя на кубавальным абсягу Е, а і адвольныя рэчаісныя лікі, то і функцыя інтэгравальная на Е, прычым: = + + .

  4. Калі мноства {Ek},(к= ), -- падзел абсягу Е, то для інтэгравальнасці функцыі f на Е неабходна і дастаткова яе інтэгравальнасць на кожным з абсягаў Ek , прычым .

5. Калі f i g ёсць інтэгравальныя на абсягу Е функцыі і , то .

У прыватнасці, калі ,то .

6. Калі функцыя інтэгравальныя на абсягу Е, то функцыя таксама інтэгравальная на Е і

.

7. Калі функцыя інтэгравальныя на абсягу Е і , , то

8. Калі функцыя ёсць непарыўная на кубавальным злучным замкнёным абсягу Е, то існуе пункт такі, што: = .

9. Калі f i g ёсць інтэгравальныя адпаведна на адрэзках і і , то функцыя інтэгравальныя на паралелепіпедзе Р= , прычым = .



Геаметрычны сэнс патроенага інтэграла.

Няхай ў кубавальным абсягу Е зададзена функцыя =1, тады = .

Такім чынм, мы атрымалі, што патроены інтэграл па абсягу Е ёсць аб’ём Е.

П.2. Вылічэнне патроенага інтэграла.

Як і для падвоенага інтэграла, вылічэнне патроенага інтэграла прыводзіцца да вылічэння паўторнага інтэграла.

Калі кожная прамая, паралельная восі 0z, што праходзіць праз унутраны пункт абсягу Е, перасякае яго мяжу толькі ў двух пунктах, то абсяг Е называецца элементарным у дачыненні да восі 0z.

Тэарэма 4.2.Калі функцыя ёсць непарыўная на паралелепіпедзе Р= , то

= . (4.1)

Тэарэма 4.2.Калі функцыя ёсць непарыўная на элементарным у дачыненні да восі 0z абсягу

Е= , дзе

замкнёны абмежаваны абсяг з R2, а функцыі

, -- непарыўныя на абсягу , то = , (4.2)

дзе ёсць унутраны інтэграл.

Доказ гэтых тэарэм праводзіцца аналагічна доказу тэарэм для падвоенага інтэграла.
Вынік 4.1.Калі абсяг з тэарэмы 4.3. ёсць элементарны ў дачыненні да восі 0у, г.зн. , то ў адпаведнасці з формулай (5 §2) роўнасць (2) набывае выгляд: = .(4.3)

§5. Замена зменных у патроеным інтэграле.

Няхай функцыя ёсць непарыўная на абмежаваным абсягу Е .

Няхай пераўтварэнне , , адлюстроўвае абсяг Е узаемна адназначна на абсяг G у прасторы са зменнымі u,v,w, прычым адавротнае адлюстраванне абсягу G на абсяг Е здзяйсняецца пераўтварэннем , , . Функцыі , , ёсць непарыўныя разам з іх частковымі вытворнымі, а якабіян на абсягу G няроўны нулю:

.

Разважаючы такім жа чынам, як і пры вывядзенні формулы замены зменных у падвоеным інтэграле, атрымаем формулу замены зменных у патроеным інтэграле: =

= (5.1)

Заўвага 5.1.Разглежданае намі адлюстраванне называецца рэгулярным. Можна даказаць, што пры рэгулярным адлюстраванні вобразам гладкай паверхні з’яўляецца гладкая паверхня; вобразам граніцы – граніца; вобразам вобласці з’яўляецца вобласць, а таксама мае месца наступная тэарэма.

Тэарэма 5.1.Калі функцыя f непарыўна на целе Е і = -- рэгулярнае адлюстраванне цела на цела Е, дзе цела Е і G ёсць замкнёныя кубавальныя, то мае месца раўнанне (5.1), якое называюць формулай замены зменных ў патроеным інтэграле.

Тройка лікаў адназначна характэрызуе становішча пункта ў прасторы 0xyz і называецца крывалінейнымі каардынатамі гэтага пункта. Паверхні ў прасторы 0xyz, якія вызначаюцца роўнасцямі v=const, u=const, w=const, называюцца каардынатнымі паверхнямі. Праз кожны пункт абсягу Е праходзіць па адной паверхні з кожнай сям’і каардынатных паверхняў.

Разгледзім два прыватныя выпадкі крывалінейных каардынат у прасторы R3, якія шырока ўжываюцца пры вылічэнні патроеных інтэгралаў метадам замены зменных.

Цыліндрычныя каардынаты.

Няхай пункт М у прамавугольнай дэкартавай сістэме каардынат 0xyz мае каардынаты . Задаючы праекцыю пункта М на плоскасць пры дапамозе палярных каардынат r, , становішча пункта М можна вызначыць пры дапамозе трох лікаў ,

якія называць цыліндрычнымі

каардынатамі пункта пункта М.

Калі палярная вось супадае з

дадатным кірункам восі 0х, то формулы:

, , z=r, ,

, (5.2)

задаюць сувязь паміж цыліндрычнымі і дэкартавымі каардынатамі.

Каардынатнай паверхняй ў цыліндрычнай сістэме каардынат з’яўляюцца: цыліндрычныя паверхні r=const, паўплоскасці =const, што праходзяць праз вось 0z, і плоскасць z=const, паралельныя х0у.

Няхай сістэма каардынат адюстроўваецца на сістэму каардынат 0xyz па формулам (5.2), г.зн. , тады якабіян гэтага адлюстравання: .



Заўвага 5.2.Калі абсяг Е у прасторы 0xyz можна задаць у цыліндрычных каардынатах няроўнасцямі , , то патроены інтэграл (5.3) прыводзіцца да паўторнага інтэграла

= (5.4)

Сферычныя каардынаты.

Няхай пункт М(x,y,z) у прамавугольнайсістэме каардынат 0xyz знаходзіцца на адлегласці ад пачатку каардынат 0. Абазначым праз вугал паміж дадатным кірункам восі 0z і вектарам . Няхай ёсць палярны вугал праекцыі пункта М на плоскасць х0у.

Тады становішча пункта М можна задаць

пры дапамозе трох лікаў , якія

называюць сферычнымі каардынатамі

пункта М. Сферычныя каардынаты звязаны

з дэкартавымі наступнымі формуламі:

,

(5.5).

Каардынатнымі паверхнямі ў сферычных каардынатах з’яўляюцца: сферы , паўплоскасці , што праходзяць праз вось 0z, і канічныя паверхні з воссю 0z.

Знойдзем якабіян пераўтварэння (5.5):

.

На падставе роўнасці (6.1) выводзім формулу замены зменных у сферычных каардынатах: =

= . (5.6)

Заўвага 5.3.Калі абсяг Е у прасторы 0xyz можна задаць у сферычных каардынатах няроўнасцямі , то патроены інтэграл (5.6) прыводзіцца да паўторнага інтэграла = (5.7).

§6.Дастасаванні падвоенага і патроенага інтэгралаў.

П.1. Плошча паверхні.

Няхай на квадравальным абсягу Р вызначана непарыўная функцыя f(x,y), якая мае на гэтым абсягу непарыўныя частковыя вытворныя . Графік гэтай функцыі – мноства пунктаў П= . Разгледзім задачу вылічэння плошчы гладкай паверхні. называецца гладкай паверхняй. Для гэтай мэты зробім падзел Т абсягу Р на частковыя абсягі Рк , якія не маюць агульных супольных пунктаў, з дробнасцю падзела . На кожным частковым абсягу Рк выберам адвольны пункт . Пункту на паверхні адпавядае пункт



. Праз пункт

правядзём датычную плоскасць да паверхні,

раўнанне якой мае выгляд:

(6.1).

Пабудуем цыліндр з утваральнаю, паралельнаю

восі 0z, кіроўнаю якога будзе мяжа абсягу Рк.

Гэты цыліндр вылучыць на датычнай плоскасці фігуру . Разгледзім суму плошчаў S( ўсіх фігур . Ліміт гэтай сумы, калі дробнасць падзелу , называецца плошчаю паверхні , г.зн.



, (6.2)

а паверхня называецца квадравальнай.

Калі ёсць вугал паміж датычнай плоскасцю і плоскасцю х0у, то, як вядома, S( = . (6.3)

У той жа час вугал роўны востраму вуглу паміж воссю 0z і перпендыкулярам да плоскасці (6.1), а таму (6.4).

Такім чынам, з улікам роўнасцяў (6.3) і (6.4) з формулы (6.2) атрымаем:

. (6.5)

Гэта і ёсць формула для вылічэння плошчы паверхні .



Заўвага 6.1.Калі паверхня задаецца раўнаннем: , дзе , або ,дзе , то адпаведныя формулы для вылічэння плошчы паверхні набываюць выгляд: , .

Заўвага 6.2.Адзначым, што пры дапамозе формулы (6.5) можна вылічыць плошчу S паверхні, якая атрымліваецца ў выніку абароту гладкай крывой Г: , вакол восі 0х па наступнай формуле: (6.6)

П.2. Маса неаднаоднай фігуры.

П.3. Цэнтр масаў.

П.4. Моманты інэрцыі.

Заўвага. З адказам на гэтыя пытанні можна азнаёміцца на стр. 247-252.


База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка