Гл Інтэгральнае злічэнне функцый некалькіх зменных падвойны інтэграл І яго ўласцівасці




Дата канвертавання01.05.2016
Памер406.87 Kb.

Няхай на плоскасці х0у зададзены квадравальны замкнёны абмежаваны абсяг Р (квадравальны кампакт), на якім вызначана непарыўная і неадмоўная функцыя z=f(x,y). І няхай Т ёсць падзел абсягу Р на квадравальныя часткі Рк (к= ) без агульных нутраных пунктаў з дробнасцю падзелу T, дзе T ёсць найбольшы з дыяметраў частковых абсягаў Рк (k= ): T = maxk, (k= ), пры гэтым - дыяметр фігуры Рк ). У кожным частковым абсягу Рк (к= ) выбярэм адвольны пункт . Сума , дзе - плошча абсягу Рк , называецца інтэгральнай сумай фукцыі f(x,y) на абсягу Р. Значэнне сумы залежыць ад падзелу Т і ад выбару пунктаў (kk)Pk.

Азначэнне 1.1. Калі існуе концы ліміт І інтэгральнай сумы пры ()0


, (1.1)

які не залежыць ні ад падзелу Т, ні ад выбару пунктаў (kk)Pk, то функцыю f называюць інтэгравальнай на абсягу Р, а лік І падвойным інтэгралам Рымана ад функцыі f на абсягу P і абазначаюць



: .

Роўнасць (1.1) азначае, што для кожнага ліку існуе такі , што для ўсякага падзелу Т з дробнасцю мае месца няроўнасць: , або .

Заўважым, што на часткі Рк мы не накладаем ніякіх абмежаванняў, акрамя квадравальнасці і адсутнасці ў іх агульных нутраных пунктаў. Гэтыя абмежаванні забяспечваюць праўдзівасць роўнасці: (1.2), дзе ёсць плошча ўсёй фігуры Р.

Адзначым таксама, што абмежаванасць функцыі f(x,y) на абсягу Р ёсць неабходная ўмова яе інтэгравальнасці. Доказ гэтага сцвярджэння не адрозніваецца ад доказу адпаведнай тэарэмы для інтэграла Рымана ад функцыі адной зменнай.

Як і для функцыі адной зменнай, пры пабудове тэорыі падвойнага інтэграла істотную ролю іграюць верхняя і ніжняя інтэгральныя сумы.

Няхай функцыя f(x,y) абмежаваная на абсягу Р, а mk i Mk – дакладныя ніжняя і верхняя межы мноства значэнняў функцыі f на частковым абсягу Рк . Сумы , , якія адназначна вызначаюцца падзелам Т, будзем называць адпаведна ніжняй і верхняй сумамі Дарбу. Гэтыя сумы маюць тыя ж самыя уласцівасці, што і сумы Дарбу для функцыі адной зменнай. Усе доказы застаюца ранейшымі, толькі даўжыні частковых адрэзкаў замяняюцца плошчамі частковых абсягаў. Аналагічна даказваецца таксама крытэрый інтэгравальнасці функцыі f(x,y), які мы падаем без доказу.



Тэарэма 1.1.Абмежаваная на квадравальным абсягу функцыя f(x,y) інтэгравальная паводле Рымана, тады і толькі тады, калі .

Важны вынік з гэтага крытэрыя – інтэгравальнасць непарыўных фукцый.



Тэарэма 1.2.Калі функцыя z=f(x,y) непарыўная ў квадравальным кампакце Р, то яна інтэгравальная на ім.

Тэарэма 1.3. Калі функцыя z=f(x,y) абмежаваная ў квадравальным кампакце Р і непарыўная на ім за выключэннем тых пунктаў крывых фігуры Р, якія маюць плошчу, роўную нулю, то яна інтэгравальная на Р.
  1. П.1.2. Уласцівасці падвойнага інтэграла


1. Калі плошча квадравальнага кампакта Р роўная нулю, то .

2. Уласцівасць лінейнасці. Калі f i g інтэгравальныя на квадравальным абсягу Р, а і - адвольныя рэчаісныя лікі, то і функцыя - інтэгравальная на Р, прычым:

. (1.4)

3. Уласцівасць адытыўнасці на кампакце. Калі функцыя f інтэгравальная на Р

P = P1P2, дзе P1 і P2 не маюць агульных нутраных пунктаў, то:

(1.5)

4. Уласцівасць манатоннасці. Калі f i g інтэгравальныя на абсягу Р функцыі і , то . (1.6)

5. Ацэнка модуля интэграла. Калі функцыя f(x,y) інтэгравальныя на абсягу Р, то функцыя таксама інтэгравальная на Р і (1.7) 6. Ацэнка падвойнага інтэграла. Калі функцыя f(x,y) інтэгравальная на абсягу Р і , , то

(1.8)



7. Тэарэма пра сярэдняе. Калі функцыя f(x,y) непарыўная на квадравальным злучным замкнёным абсягу Р, то існуе пункт такі, што:

. (1.9)
  1. П.1.3. Вылічэнне плошчаў фігур і аб’ёмаў целаў пры

  2. дапамозе падвойных інтэгралаў


Няхай Р -- квадравальны кампакт і няхай Т ёсць падзел абсягу Р на квадравальныя часткі Рк (к= ) без агульных нутраных пунктаў з дробнасцю падзелу , тады мае месца роўнасць (1.2).

Тэарэма 1.4.(аб вылічэнні плошчы). Калі Р -- квадравальны кампакт, то яго плошчу можна вылічыць па формуле: (1.11)

Разгледзім на Р функцыю f(x,y)=1, якая інтэгравальная на Р (у сілу непарыўнасці). Тады = = . 

Няхай на квадравальным замкнёным абсягу Р зададзена непарыўная і неадмоўная функцыя f.

Азначэнне 1.2. Цела абмежаванае знізу абсягам Р, зверху – графікам функцыі f, а збакоў – цыліндрычнай паверхняй з утваральнаю , паралельнай восі 0z і кіроўнаю, якая з’яўляецца мяжою абсягу Р, называецца цыліндрычным целам.

Тэарэма 1.5. Цыліндрычнае цела з’яўляецца кубавальным целам і аб’ём яго можна вылічыць па формуле:

. (1.12)

Пры доказе тэарэмы будзем карыстацца неабходнай і дастатковай ўмовай кубавальнасці:



для таго, каб цела G было кубавальным неабходна і дастаткова, каб існавалі дзве паслядоўнасці кубавальных целаў , ″, якія адпаведна змяшчаюцца ў G і змешчаюць G і такіх, што .

Падзелім абсяг Р на квадравальныя часткі Рк (к= ) без агульных нутраных пунктаў . Паколькі на кожным квадраваным кампакце Рк функцыя f непарыўная, то (згодна П тэарэмы Вайерштраса) яна дасягае адпаведна найменьшага і найбольшага значэнняў на гэтым кампакце: і . Пабудуем на Рк два прамых цыліндра з вышынямі і адпаведна. Таму (згодна тэарэме аб вылічэнні аб’ёма прамога цыліндра) аб’мы цыліндраў, якія мы пабудавалі, будуць адпаведна роўныя і . Аналагічна разгледзім кожны абсяг Рк (к= ). Такім чынам мы пабудуем дзве паслядоўнасці кубавальных целаў  і ″, якія маюць наступныя аб’ёмы: V( )= (1.13),

V( ″)= (1.14)

Адзначым, што сумы (1.13) і (1.14) інтэгральныя сумы непарыўнай функцыі f на кампакце Р, таму: . 

Вынiкам тэарэмы 1.5 з’яуляецца геаметрычны сэнс падвойнага интэграла: падвойны интэграл ад неадмоўнай непарыўнай функцыі геаметрычна выражае сабою абем цылиндрычнага цела.

  1. §2. Вылічэне падвойных інтэгралаў


Азначэнне 1.3. Калі кожная прамая, паралельная восі 0у (0х), што праходзіць праз нутраны пункт абсягу Р, перасякае яго мяжу толькі ў двух пунктах, то абсяг Р называецца элементарным у дачыненні да восі 0у (0х) або абсягам першага тыпу (другога тыпу). Такім чынам:

а) абсяг першага тыпу ёсць фігура ў плоскасці х0у, якая задаецца наступным чынам:



, дзе f1(x) і f2(x)непарыўныя на функцыі;

б) абсяг другога тыпу ёсць фігура ў плоскасці х0у, якая задаецца наступным чынам: , дзе g1(у) і g2(у) -- непарыўныя на функцыі.

Выявы абсягаў 1-а и 2-га тыпаў.

З абсягами 1-га и 2-го тыпаў звязаны паўторныя интэгралы адпаведна:



; (2.1)

. (2.2)

Iнтэгралы, якiя стаяць у дужках, называюцца нутранымi. Вылiчваецца спачатку нутраны iнтэграл , затым вонкавы.



Прыклад 2.1. 5

Тэарэма 2.1. Няхай функцыя z = f(x,y) непарыўная на квадравальным кампакце Р, тады:

1. Калi абсяг Р – абсяг першага тыпу, то

= . (2.3)

2. Калi абсяг Р – абсяг другога тыпу, то

= . (2.4)

Пабудуем цылiндрычнае цела G – цела С. Яно абмежавана : 1) знiзу кампактам Р – абсягам першага тыпу, 2) зверху графiкам функцыi z = f(x,y), 3) збакоў цылiндрычнаю паверхняю з кiроўнаю, якая з’яўляецца мяжою абсягу Р.

З аднаго боку па т.1.5 . З другога боку абъем цела С роўны (2.5), дзе S(x) – плошча фiгуры, якая атрымана ў сечыве плоскасцю перпендыкулярнай восi Ох.

Спраектуем сечыва на плоскасць yOz. Праекцыя – крывалiнейная трапецыя абмежаваная графiкам функцыi z = f(x,y), прамымi y=f1(x) , y = f2(x) i воссю Оу: S(x) = . (2.6)

Падставiм (2.6) у (2.5) i атрымаем формулу для вылiчэння абъёма цела G:

V(G) = = = . 

Аналагiчна атрымлiваецца формула (2.4).


Вынік 2.1.Калі абсяг Р элементарны ў дачыненні да абедзвюх каардынатных восяў, то яго называюць элементарным, і пры вылічэнні падвоенага інтэграла па такому абсягу можна карыстацца абедзвюма формуламі (2.3) і (2.4). Трэба адзначыць, што ў некаторых выпадках вылічэнне падвойнага інтэграла значна спрашчаецца за кошт выбару парадку інтэгравання.

Заўвага 2.1. Калі абсяг інтэгравання не з’яуляецца элементарным ў дачыненні да ніводнай з каардынатных восяў, то звычайна яго можна падзяліць на канечную колькасць абсягаў, элементарных ў дачыненні да адной з каардынатных восяў.

Заўвага 2.2. Калі пры вылічэнні паўторнага інтэграла зручна перайсці ад паўторнага інтэграла па абсягу аднаго тыпу да паўторнага інтэграла па абсягу другога тыпу, то такі пераход называюць заменай парадка інтэгравання ў паўторным інтэграле.

Прыклад 2.1. Знайсці падвойны інтэграл , дзе абяг Р абмежаваны крывымі: y = x, y= , x = 2.

Прыклад 2.2. Знайсці падвойны інтэграл , дзе абяг Р абмежаваны крывымі: y = x, .
  1. §3. Замена зменных ў падвойным інтэграле

Разгледзім дзве прамавугольныя сістэмы каардынат х0у і u0v.

І няхай у кожнай з каардынатных плоскасцей існуюць квадравальныя кампакты Р і Q адпаведна. Разгледзім адлюстраванне g : Q P, якое з’яўляецца вектар-функцыяй дзвюх зменных, г.зн. . Няхай g задавальняе наступным умовам:

g – узаемна адназначнае адлюстраванне Q на Р.

g i непарыўныя функцыі на Р і Q адпаведна.

Кампаненты функцыі g непарыўныя разам са сваімі частковымі вытворнымі , , , на Q. Матрыца: называецца матрыцай Якобі адлюстравання g, а дэтэрмінант (вызначнік) гэтай матрыцы I=I(u,v)= - называецца якабіянам адлюстравання g.

Азначэнне 3.1.Адлюстраванне g, якое мы разгледзелі вышэй, квадравальнага кампакта Q на квадравальны кампакт Р, якое задавальняе умовам - , прычым якабіян няроўны нулю, называюць рэгулярным адлюстраваннем Q на Р.

Можна даказаць, што пры рэгулярным адлюстраванні:



  1. вобразам непарыўнай крывой з’яўляецца непарыўная крывая;

  2. вобразам абсяга з’яўляецца абсяг;

  3. вобразам мяжы з’яўляецца мяжа.

Тэарэма 3.1.Няхай функцыя z=f(х,у) непарыўная на квадравальным кампакце Р плоскасці х0у. Няхай g - рэгулярнае адлюстраванне квадравальнага кампакта Q плоскасці u0v на квадравальны кампакт Р плоскасці х0у. Тады мае месца роўнасць: . (3.1)

Адзначым, што формула (3.1) называецца формулай замены зменнай ў падвойным інтэграле.



Заўвага 3.1. Сувязь паміж дэкартавай і палярнай сістэмамі каардынат ажыццяўляецца пры дапамозе роўнасцяў: x = r , y = r . Такім чынам, адлюстраванне кампакта Q з палярнай сістэмы каардынат у кампакт Р плоскасці х0у ажыццяўляецца пры дапамозе вектар-функцыі g(r, . Якабіян гэтага адлюстравання:

I=I( )= , Таму формула (3.1) набывае выгляд: (3.2)



Заўвага 3.2.Відавочна, што плошча абсягу Р у адпаведнасці з роўнасцю (1.11) у палярных каардынатах вылічваецца паводле формулы: . (3.3)

Прыклад 3.1. Знайсці плошчу лемніскаты Бярнулі:
  1. §4.Плошча гладкай паверхні


Няхай на квадравальным абсягу Р вызначана непарыўная функцыя f(x,y), якая мае на гэтым абсягу непарыўныя частковыя вытворныя ў наваколлi кожнага пункта . Графік гэтай функцыі – мноства пунктаў П= называецца гладкай паверхняй. Разгледзім задачу вылічэння плошчы гладкай паверхні П. Для гэтай мэты зробім падзел Т абсягу Р на частковыя абсягі Рk , якія не маюць агульных супольных пунктаў, з дробнасцю падзела . На кожным частковым абсягу Рк выбярэм адвольны пункт . Пункту на паверхні адпавядае пункт . Праз пункт правядзем датычную плоскасць да паверхні, раўнанне плоскасцi мае выгляд:

, (4.1)

Нармальны вектар у пункце Nk задаецца каардынатами .

Пабудуем цыліндр з утваральнаю, паралельнай восі 0z, кіроўнаю якога будзе мяжа абсягу Рк. Гэты цыліндр вылучыць на датычнай плоскасці фігуру . Гэтую аперацыю зробiм на кожным абсягу Pk, k=1,2,…. Атрымаем «лускаватую» (чешуйчатую) паверхню, якая складаецца з плоскiх фiгур Pk. Яны накрываюць усю паверхню П. Разгледзім суму

 = плошчаў S( ўсіх фігур . Ліміт гэтай сумы, калі дробнасць падзелу , называецца плошчай паверхні , г.зн.



, (4.2)

а паверхня называецца квадравальнай.

Калі ёсць вугал паміж датычнай плоскасцю і плоскасцю х0у, то, як вядома са стэрэаметрыi,

S( = . (4.3)

У той жа час вугал роўны востраму вуглу паміж воссю 0z, г.зн. вектарам нармалi да плоскасцi хОу: = (0,0,1) i вектарам да плоскасцi Pk’. Таму
. (4.4)

Такім чынам, з улікам роўнасцяў (4.3) і (4.4) з формулы (4.2) атрымаем:



. (4.5)

Паколькi функцыя непарыўная на квадравальным кампакце Р, то сума iнтэгравальная: (4.6)

Гэта і ёсць формула для вылічэння плошчы паверхні П.

Заўвага 6.1.Калі паверхня П задаецца раўнаннем: , дзе , або ,дзе , то адпаведныя формулы для вылічэння плошчы паверхні набываюць выгляд: , . (4.7)

Заўвага 6.2.Адзначым, што пры дапамозе формулы (6.5) можна вылічыць плошчу S паверхні, якая атрымліваецца ў выніку абароту гладкай крывой Г: , вакол восі 0х па наступнай формуле:

(4.8)

Падвойныя і патройныя інтэгралы можна скарыстаць у пытаннях фізікі і механікі: знаходжанне массы плоскай фігуры і цела, статычных момантаў і каардынат цэнтра мас плоскай фігуры і цела.



  1. §5. Патройны інтэграл і яго ўласцівасці

  2. П.5.1. Азначэнне патройнага інтэграла і яго ўласцівасці


Няхай R3 абмежаваны замкнёны кубавальны абсяг, на якім вызначана функцыя , а Т – падзел абсягу Е на частковыя кубавальныя абсягі Ек (k= ) без агульных нутраных пунктаў, прычым . Дыяметрам абсягу Ек называецца лік , дзе ёсць адлегласць паміж пунктамі з абсягу Ек . Велічыню будзем называць дробнасцю падзелу Т. На кожным абсягу Ек выбярэм адвольны пункт . Сума , дзе -- аб’ём частковага абсягу Ек, называецца інтэгральнай сумай функцыі на абсягу Е. Значэнне інтэгральнай сумы залежыць ад падзелу Т абсягу Е на частковыя абсягі і ад спосабу выбару пунктаў .

Азначэнне 5.1.Калі існуе канечны ліміт І інтэгральнай сумы пры :

, які не залежыць ні ад падзелу Т, ні ад выбару пунктаў , то функцыю f называюць інтэгравальнай на абсягу Е, а лік Іпатройным інтэгралам ад функцыі f па абсягу Е і абазначаюць або , г.зн. .

Таксама як і для вызначанага інтэграла Рымана, падвойнага інтэграла Рымана, мае месца неабходная ўмова інтэгравальнасці: калі функцыя f інтэгравальная на мностве Е, то яна абмежаваная на Е. Таму ліміт І можа існаваць толькі для абмежаванай функцыі. Як і для падвойнага інтэграла, уводзяцца ніжняя і верхняя сумы Дарбу і адпаведны крытэрый інтэгравальнасці функцыі, пры дапамозе якога няцяжка даказаць інтэгравальнасць непарыўнай функцыі: калі функцыя f непарыўна на Е, то яна інтэгравальная на Е. Можна таксама даказаць і больш агульную тэарэму.



Тэарэма 4.1. Калі функцыя f абмежавана на мностве Е і непарыўна на Е за выключэннем толькі тых пунктаў абсяга, якія маюць нулявы аб’ём, то яна інтэгравальная на Е.

Уласцiвасцi патройнага iнтэграла

Усе ўласцівасці падвойных інтэгралаў праўдзяцца і для патройных інтэгралаў, таму, не прыводзячы абгрунтаванняў, назавём іх.



  1. Патройны інтэграл па целу нулявога аб’ёма роўны нулю.

  2. Калі функцыi f і g інтэгравальныя на кубавальным абсягу Е, а і адвольныя рэчаісныя лікі, то і функцыя інтэгравальная на Е, прычым:

  3. = + + .

  4. Калі мноства {Ek},(к= ), -- падзел абсягу Е, то для інтэгравальнасці функцыі f на Е неабходна і дастаткова яе інтэгравальнасць на кожным з абсягаў Ek , прычым .

5. Калі f i g інтэгравальныя на абсягу Е функцыі і , то .

У прыватнасці, калі ,то .

6. Калі функцыя інтэгравальныя на абсягу Е, то функцыя таксама інтэгравальная на Е і .

7. Калі функцыя інтэгравальныя на абсягу Е і , , то

8. Калі функцыя непарыўная на кубавальным злучным замкнёным абсягу Е, то існуе пункт такі, што: = .

  1. Геаметрычны сэнс патройнага інтэграла

  2. Няхай ў кубавальным абсягу Е зададзена функцыя =1, тады = .


Такім чынам, мы атрымалі, што патройны інтэграл па абсягу Е ёсць аб’ём абсягу Е.

П.5.2. Вылічэнне патройнага інтэграла

Як і для падвойнага інтэграла, вылічэнне патройнага інтэграла прыводзіцца да вылічэння паўторнага інтэграла.

Калі кожная прамая, паралельная восі 0z, што праходзіць праз нутраны пункт абсягу Е, перасякае яго мяжу толькі ў двух пунктах, то абсяг называецца элементарным у дачыненні да восі 0z.

Няхай функцыя азначана на целе Е, прычым праекцыя цела Е на плоскасць хОу – квадравальная фiгура Рху; цела E абмежавана: зверху графiкам функцыi f1(x,y), знiзу графiкам функцыi f2(x,y), збакоў цылiндрычнай паверхняй, накiруючая якой – мяжа абсягу Рху, а ўтваральная паралельная восi Oz. Тады



= , (5.1)

дзе нутраны інтэграл.

Калi цела Е спраектавана на плоскасць xOz i яго праекцыя - квадравальны абсяг Pxz, цела Т абмежавана: зверху графiкам функцыi f1(x,z), знiзу графiкам функцыi f2(x,z), збакоў цылiндрычнай паверхняй, накiруючая якой – мяжа абсягу Рхz, а ўтваральная паралельная восi Oy. Тады

= . (5.2)

Аналагична, калi цела Е спраектавана на плоскасць yOz i яго праекцыя квадравальны абсяг Рyz, то



= (5.3)

Вынік 4.1.Калі абсяг элементарны ў дачыненні да восі 0у, г.зн. , то ў адпаведнасці з формулай (2.5) роўнасць (4.2) набывае выгляд:

= . (5.4)

  1. §6. Замена зменных у патройным інтэграле


Няхай функцыя непарыўная на абмежаваным абсягу Е .

Няхай пераўтварэнне , , адлюстроўвае абсяг Е узаемна адназначна на абсяг G у прасторы са зменнымі u,v,w, прычым адавротнае адлюстраванне абсягу G на абсяг Е здзяйсняецца пераўтварэннем , , . Функцыі , , непарыўныя разам з іх частковымі вытворнымі, а якабіян на абсягу G няроўны нулю:



.

Разважаючы такім жа чынам, як і пры вывядзенні формулы замены зменных у падвойным інтэграле, атрымаем формулу замены зменных у патройным інтэграле:



= . (6.1)

Заўвага 5.1. Разгледжанае намі адлюстраванне называецца рэгулярным. Можна даказаць, што пры рэгулярным адлюстраванні вобразам гладкай паверхні з’яўляецца гладкая паверхня; вобразам мяжы – мяжа; вобразам абсягу з’яўляецца абсяг, а таксама мае месца наступная тэарэма.

Тэарэма 5.1. Калі функцыя f непарыўная на целе Е і Е = -- рэгулярнае адлюстраванне цела на цела Е, дзе целы Е і G ёсць замкнёныя кубавальныя, то мае месца раўнанне (61), якое называюць формулай замены зменных ў патройным інтэграле.

Тройка лікаў адназначна характэрызуе становішча пункта ў прасторы 0xyz і называецца крывалінейнымі каардынатамі гэтага пункта. Паверхні ў прасторы 0xyz, якія вызначаюцца роўнасцямі v=const, u=const, w=const, называюцца каардынатнымі паверхнямі. Праз кожны пункт абсягу Е праходзіць па адной паверхні з кожнай сям’і каардынатных паверхняў.

Разгледзім два прыватныя выпадкі крывалінейных каардынат у прасторы R3, якія шырока ўжываюцца пры вылічэнні патройных інтэгралаў метадам замены зменных.

  1. Цыліндрычныя каардынаты


Няхай пункт М у прамавугольнай дэкартавай сістэме каардынат 0xyz мае каардынаты . Задаючы праекцыю пункта М на плоскасць пры дапамозе палярных каардынат (r, ), становішча пункта М можна вызначыць пры дапамозе трох лікаў , якія называць цыліндрычнымі каардынатамі пункта М.

Калі палярная вось супадае з дадатным кірункам восі 0х, то формулы: , , z=z , , , (6.2)

задаюць сувязь паміж цыліндрычнымі і дэкартавымі каардынатамі.

Каардынатнай паверхняй ў цыліндрычнай сістэме каардынат з’яўляюцца: цыліндрычныя паверхні r=const, паўплоскасці =const, што праходзяць праз вось 0z, і плоскасць z=const, паралельныя х0у.

Няхай сістэма каардынат адюстроўваецца на сістэму каардынат 0xyz па формулам (6.2), г.зн. , тады якабіян гэтага адлюстравання: .

Заўвага 5.2. Калі абсяг Е у прасторы 0xyz можна задаць у цыліндрычных каардынатах няроўнасцямі , , то патроены інтэграл прыводзіцца да паўторнага інтэграла

= (6.3)

  1. Сферычныя каардынаты


Няхай пункт М(x,y,z) у прамавугольнай сістэме каардынат 0xyz знаходзіцца на адлегласці ад пачатку каардынат. Абазначым праз вугал паміж дадатным кірункам восі 0z і вектарам . Няхай ёсць палярны вугал праекцыі пункта М на плоскасць х0у. Тады становішча пункта М можна задаць пры дапамозе трох лікаў , якія называюць сферычнымі каардынатамі пункта М. Сферычныя каардынаты звязаны з дэкартавымі наступнымі формуламі:

, (6.4).

Каардынатнымі паверхнямі ў сферычных каардынатах з’яўляюцца: сферы , паўплоскасці , што праходзяць праз вось 0z, і канічныя паверхні з воссю 0z.

Знойдзем якабіян пераўтварэння (5.5):



.

На падставе роўнасці (6.1) выводзім формулу замены зменных у сферычных каардынатах: = .(5.6)



Заўвага 5.3.Калі абсяг Е у прасторы 0xyz можна задаць у сферычных каардынатах няроўнасцямі , то патроены інтэграл (5.6) прыводзіцца да паўторнага інтэграла

= (5.7).



База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка