Функцыі некалькіх зменных асноўныя паняцці




Дата канвертавання18.05.2016
Памер0.86 Mb.
Глава 2.Функцыі некалькіх зменных

§1.Асноўныя паняцці
Разгледзім функцыі, якія вызначаны на мноствах n -- мернай еўклідавай прасторы Rn і значэннямі якіх з'яўляюцца сапраўдныя лікі. Будзем гэтыя функцыі абазначаць праз f або f(x1,x2,...,xn) або f(X), дзе X=(x1,x2,...,xn).

Кали n>1, тады функцыі выгляду f(x1,x2,...,xn) называюцца функцыямі некалькіх зменных.

Калі n=2, тады f(x,y) або f(x1,x2) -- функцыі двух зменных.

Калі n=3, тады f(x,y,z) або f(x1,x2,x3) -- функцыі трох зменных.



Кожнай функцыі f(x1,x2,...,xn) адпавядае яе графік ў прасторы Rn+1, пунктамі якога з'яўляюцца (x1,x2,...,xn,y), дзе y=f(x1,x2,...,xn).

Азначэнне 1.1.Няхай на мностве Е еўклідавай прасторы Rn вызначана функцыя y=f(x1,x2,...,xn) і няхай (n+1) -- мерная еўклідава прастора пунктаў (X,y)=(x1,x2,...,xn,y).Мноства пунктаў прасторы выгляду (X,f(X))=(x1,x2,...,xn,f(X)), дзе XE называецца графікам функцыі f(x) і абазначаецца

Азначэнне 1.2.Сукупнасць усіх пунктаў прасторы Rn, у якіх вызначана y= f(x1,x2,...,xn) функцыя некалькі зменных, называецца абсягам вызначэння функцыі.

Прыклад1.1.Знайсці абсяг вызначэння функцыі .

Рашэнне.Знойдзем . Атрымалі дзве функцыі, якія вызначаны, калі 0 або . Апошняй няроўнасці задавальняюць каардынаты ўсіх пунктаў, якія знаходзяцца ўнутры круга радыюса R=4 з цэнтрам ў пачатку каардынат. Такім чынам, абсягам вызначэння гэтых функцый будзе круг радыюса R=4. (Відарысам саміх функцый з'яўляецца сфера радыюса R=4 з цэнтрам ў пачатку каардынат.)

Прыклад1.2. Знайсці абсяг вызначэння функцыі .

Рашэнне.Дадзеная функцыя вызначана калі . Гэта магчыма калі: 1) х 0, y 0; 2) x 0,y 0. Першай умове задавальняюць каардынаты ўсіх пунктаў, якія знаходзяцца ў першай чвэрці і на каардынатных восях, другой -- каардынаты пунктаў, якія знаходзяцца ў трэцяй чвэрці і на каардынатных восях. Таму абсягам вызначэння з'яўляецца сукупнасць пунктаў, якія знаходзяцца ў першым і трэцім каардынатных вуглах і на восях каардынат.

Азначэнне 1.3.Мноства пунктаў X=(x1,x2,...,xn) прасторы Rn, якія задавальняюць раўнанню f(x1,x2,...,xn)=C, дзе С -- адвольная сталая, называецца мноствам ўзроўня функцыі f, якое адпавядае дадзенаму значэнню С.

Калі n=2, тады мноства ўзроўня называецца лініяй узроўня.

Калі n=3, тады -- паверхняй ўзроўня.

Kалі n>3, тады -- гіперпаверхняй.



Прыклад1.3. Знайсці лініі ўзроўня функцыі z=xy.

Рашэнне.У дадзеным выпадку xy=C. Таму лініямі ўзроўня з'яўляюцца гіпербалы, калі С0.

Прыклад1.4.Знайсці паверхні ўзроўня функцыі .

Рашэнне.Паверхні узроўня дадзенай функцыі задаюцца раўнаннем , якое вызначае сукупнасць сфер радыюсаў R= з цэнтрам ў пачатку каардынат.

§2.Ліміт функцыі.
Азначэнне 2.1.Няхай функцыя f вызначана на мностве і . І няхай -- лімітавы пункт мноства Е. Лік а называецца лімітам функцыі f па мноству Е у пункце (або ). Калі для любой паслядоўнасці ( ), дзе ( ) , і , калі , лікавая паслядоўнасць (f( )) збягаецца да ліку а.

Калі , будзем пісаць .



Азначэнне 2.2.Няхай функцыя f вызначана на мностве і . І няхай -- лімітавы пункт мноства Е. Лік а называецца лімітам функцыі f па мноству Е у пункце (або ),калі .

Аналагічна, як і ў выпадку функцый адной зменнай, можна даказаць эквівалентнасць азначэнняў 2.1 і 2.2.



Азначэнне 2.3.Праколатым наваколлем пункта называецца само наваколле без пункта : .

Азначэнне 2.4.Калі функцыя f вызначана ў некаторым праколатым наваколлі пункта , тады ліміт функцыі f у пункце па гэтаму праколатаму наваколлю называецца проста лімітам функцыі і абазначаецца .

Азначэнне 2.5.Мноства пунктаў X=(x1,x2,...,xn) , каардынаты якіх маюць выгляд , ,дзе і , называецца прамой у прасторы , якая праходзіць праз пункт .
  • Няхай праз пункт праведзена прамая і --некаторае праколатае наваколле пункта . Тады ліміт функцыі f у пункце па мноству называецца лімітам функцыі f у пункце у напрамку прамой .


Азначэнне 2.6.Калі мноства Е з'яўляецца мноствам пунктаў крывой, якая праходзіць праз пункт , тады называецца лімітам функцыі па дадзенай крывой.

Заўвага.Трэба адзначыць, што з існавання па любому напрамку, наогул кажучы, не вынікае існаванне у пункце .

Прыклад2.1. .

Рашэнне. .

Даследуем ліміт функцыі па розным напрамкам у пункце (0;0). Для гэтага разгледзім прамыя, якія праходзяць праз пункт (0;0): ;



Калі і , то . Таму існуе па любому напрамку і ен роўны нулю.

Разгледзім цяпер якую-небудзь крывую, якая праходзіць праз пункт = , напрыклад, . Атрымаем . Адсюль вынікае, што не існуе.

Тэарэма 2.1.Калі функцыя f(X) мае ліміт, дзе , тады гэты ліміт адзіны.

Тэарэма 2.2.(Крытэрый Кашы.) Для існавання ліміта функцыі f(X), дзе неабходна і дастаткова

, .

Тэарэма 2.3.Няхай функцыі f(X) і g(X) -- функцыі з агульным абсягам вызначэння і няхай існуе =a і , тады для любога існуюць , і (дзе ), прычым выконваюцца наступныя роўнасці: , , .

Заўвага.Вядома, што збежнасць у прасторы Rn пакаардынатная, таму можна запісаць: X=( ) і .

Няхай функцыя f(X) вызначана на неабмежаваным мностве .



Азначэнне 2.7.Лік а называецца лімітам функцыі f(X), дзе , калі .

Абазначэнне: .



§3.Паўторныя ліміты
Для функцыі некалькіх зменных можна вызначыць паняцце ліміту па адной зменнай xi пры фіксаваных значэннях астатніх зменных.

Разгледзім функцыі двух зменных z=f(x,y). Няхай гэта функцыя зададзена у некаторым прамавугольным наваколлі пункта : , , за вылучэннем самаго пункта . Абазначым гэта наваколле наступным чынам: . І няхай для кожнага фіксаванага y, якое задавальняе ўмове існуе як функцыі адной зменнай x. Няхай ў пункце . Гэты ліміт , які ў сваю чаргу з'яўляецца функцыяй ад y, таксама мае ліміт у пункце : . Таму ўгэтым выпадку гавораць, што існуе ліміт, які называюць паўторным лімітам для функцыі z=f(x,y) у пункце . Абазначаецца ен наступным чынам: .

Аналагічна можна вызначыць паўторны ліміт .

Паўторны ліміт для функцыі n -- зменных мае выгляд: , дзе -- некаторая перастаноўка лікаў 1,2,,n і функцыя f вызначана ў некаторым наваколлі пункта .



Прыклад 3.1.Вылічыць паўторныя ліміты функцыі .

Рашэнне. : . ,

.

Відавочна, што . Пакажам цяпер, што проста ліміт у пункце не існуе. Для гэтага разгледзім паслядоўнасць пунктаў , дзе . Атрымаем .A зараз разгледзім паслядоўнасць пунктаў , тады .

Такім чынам, мы знайшлі дзве паслядоўнасці, якія імкнуцца да O(0;0), але іх ліміты розныя, таму ліміт у пункце O(0;0) не існуе.

Прыклад 3.2. .

Рашэнне. Відавочна, што . Разгледзім паўторныя ліміты: і не існуюць,паколькі унутраныя ліміты не існуюць. Такім чынам, атрымалі, што проста ліміт існуе, але паўторныя не існуюць.

Прыклад 3.3. .

Рашэнне. , дзе -- лімітавы пункт. ; ; .

Вынік.На падставе прыкладаў можна адзначыць, што з існавання ліміта функцыі ў дадзеным пункце не вынікае існаванне паўторнага ліміта ў гэтым пункце і наадварот.

Тэарэма 3.1.Няхай функцыя z=f(x,y) вызначана на некаторым мностве Е, якое змяшчае ўсе пункты прамавугольнага наваколля пункта акрамя быць можа пунктаў прамых .Калі існуе ліміт функцыі f(x,y) у пункце па мноству Е і пры кожным існуе ліміт , тады паўторны ліміт існуе і выконваецца роўнасць .

Доказ.Няхай дзе (г. зн. існуе прамавугольнае наваколле ) .

Паколькі ў атрыманым прамавугольным наваколлі існуе ліміт , то для любога y, якое задавальняе ўмове , з няроўнасці вынікае, што .Што ў сваю чаргу і азначае, што .



Прыклад 3.4. .

Рашэнне. . , .

Таму, па тэарэме 3.1. існуе паўторны ліміт .Але другі паўторны ліміт не існуе. Таму ліміт у пункце (0;0) не існуе.



§4.Непарыўнасць функцыі
Азначэнне 4.1.Функцыя f(X), якая вызначана на мностве называецца непарыўнай у пункце па мноству Е, калі для .

Заўвага.У азначэнні мы не патрабуем, каб быў лімітавым пунктам, ен можа з'яўляцца і ізаляваным. Калі --лімітавы пункт мноства Е, тады азначэнне 4.1. эквівалентна умове . Калі -- ізаляваны пункт, то і выконваецца няроўнасць .

Няхай -- лімітавы пункт мноства Е і таму выконваецца , , , дзе рознасць -- прырост функцыі, які адпавядае змяненню аргумента ад пуннкта да пункта ( ). Такім чынам, .

Можна сфармуляваць паняцце непарыўнасці і на мове паслядоўнасцей.

Тэарэма 4.1.Функцыя f(X), якая вызначана на мностве Е, непарыўна па гэтаму мноству ў пункце , які належыць дадзенаму мноству тады і толькі тады, калі для любой паслядоўнасці пунктаў .

Доказ.Няхай -- лімітавы пункт мноства Е. І няхай для , . Таму, згодна азначэння, функцыя f(X).з’яўляецца непарыўнай у пункце .

Калі пункт -- ізаляваны пункт, тады функцыя ў гэтым пункце заўседы непарыўна.

Няхай цяпер функцыя f(X) непарыўна ў пункце па мноству Е, таму (пры умове, што -- лімітавы пункт мноства Е). Згодна азначэння ліміта функцыі, існуе паслядоўнасць , якая імкнецца да , а адпаведная паслядоўнасць значэнняў функцыі збягаецца да f( ). Калі ж -- ізаляваны пункт, тады існуе наваколле гэтага пункта, якое не змяшчае пунктаў мноства Е. І тады ў якасці члена паслядоўнасці можна ўзяць сам пункт , пачынаючы з некаторага к.

Лема.Калі функцыя f(X) вызначана на мностве і непарыўна ў пункце па гэтаму мноству, прычым . Тады існуе такое наваколле пункта , што для любога выконваецца: , калі ; , калі .

У прыватнасці, ва ўсіх пунктах мноства значэні функцыі маюць той жа знак, што і .



Доказ.Функцыя непарыўная ў пункце . Няхай . Тады, згодна азначэння непарыўнасці функцыі, існуе , што для любога мае месца няроўнасць: . Тады . Калі , то , таму .

Калі , то , таму .



Заўвага.Для функцый , і можна даказаць, што калі фунцыі і непарыўныя ў пункце па мноству Е, тады , , , (дзе ) з’яўляюцца функцыямі, непарыўнымі ў пункце па мноству Е.

Азначэнне 4.2.Функцыя , вызначаная ў некаторым наваколлі пункта называецца непарыўнай ў пункце па зменнай , калі функцыя непарыўна ў пункце .

Заўвага.З непарыўнасці ўсіх зменных паасобку не вынікае непарыўнасць у сукупнасці.
§5. Непарыўнасць кампазіцыі непарыуных функцый

Няхай па некатораму мноству вызначана сума n функцый , дзе . І няхай на некаторым мностве вызначана функцыя , дзе . Калі функцыі задавальняюць умове , тады мае сэнс гаварыць аб складанай функцыі , якая будзе непарыўна ў пункце па мноству .



Азначэнне 5.1.Функцыі, якія атрымліваюцца са зменных пры дапамозе канечнага ліку кампазіцый элементарных функцый адной зменнай, а таксама аперацый складання, здабытку,дзелі называюцца элементарнымі функцыямі зменных .

Тэарэма 15.1.Усякая элементарная функцыя любога ліку зменных непарыўна ў кожным пункце абсягу вызначэння.
§6. Функцыі, якія непарыўны на любых мноствах

Азначэнне 6.1.Функцыя F называецца непарыўнай на мностве Е, калі яна непарыўна ў кожным яго пункце.

Тэарэма 6.1.Кожная функцыя, якая з’яўляецца непарыўнай на кампакце, абмежавана на ім і дасягае найбольшага і найменьшага з сваіх значэнняў.

§7. Частковыя вытворныя

Азначэнне 7.1.Няхай у некаторым наваколлі пункта зададзена функцыя . Калі зменныя y і z фіксаваныя , то маем функцыю адной зменнай х .Звычайная вытворная гэтай функцыі ў пукце называецца частковай вытворнай функцыі і абазначаецца , дзе ; аналагічна ,( ); ( ).

Згодна азначэння звычайнай вытворнай будзем мець: , дзе -- прырост функцыі, таму . Аналагічна, ; . Як і для функцыі адной зменнай лінейнай функцыі ; ; называецца частковымі дыферэнцыяламі функцыі і абазначаецца , , .

Таксама можна разгледзець і функцыю n зменных , якая азначана ў некаторым наваколлі пункта . Тады па азначэнню, частковая вытворная функцыі f(X) па зменнай xi ,будзе мець выгляд: , . Таму , дзе -- прырост функцыі па зменнай .

Аналагічна вызначаюцца і частковыя дыфферэнцыялы, як лінейныя функцыі: .



Заўвага.З непарыўнасці ў дадзеным пункце функцыі n зменных не вынікае існаванне ў гэтым пункце частковых вытворных. Калі , то з існавання нават усіх частковых вытворных не вынікае непарыўнасць функцыі ў дадзеным пункце. Гэта відавочна, таму што ўмова непарыўнасці ў пункце накладвае некаторыя абмежаванні на паводзіны функцыі пры набліжэнні да гэтага пункта па ўсім напрамкам. А існаванне частковых вытворных у пункце азначае тое, што функцыя задавальняе азначаным умовам пры набліжэнні да гэтага пункта толькі ў напрамках каардынатных восяў.

§8. Дыфферэнцавальнасць функцыі ў пункце

Няхай функцыя азначана ў некаторым -- наваколлі пункта . І няхай , тады , . Паколькі , то , а поўны прырост функцыі будзе: .



Азначэнне 8.1.Функцыя называецца дыфферэнцавальнай у пункце , калі існуюць лікі А і В такія, што , дзе (1) і (2)

Заўвага. З (1) вынікае, што ў пункце , прычым значэнне функцыі у пункце згодна (2) не вызначана.

Аначэнне 8.2.У выпадку дыфферэнцавальнасці функцыі у пункце функцыя зменных называецца поўным дыфферэнцыялам або проста дыфферэнцыялам і абазначаецца . З формулы (2) вынікае, што . Абазначым функцыю (1) , дзе , таму .

Лема. Умова (2) эквівалентна умове , дзе .

Доказ.Няхай выконваеца умова (2). Таму . Паколькі , дзе , . Паколькі то . Такім чынам атрымалі: , і , . Гэта і азначае, што мае месца роўнасць (4). З іншага боку, няхай мае месца роўнасць (4): , дзе і , , а таму .

Тэарэма 8.1.Калі функцыя дыфферэнцавальная ў пункце , тады яна і непарыўная ў гэтым пункце.

Доказ.Паколькі функцыя дыфферэнцавальная ў пункце , то , дзе і . Калі , тады , . Такім чынам .

Тэарэма 8.2.Калі функцыя дыфферэнцавальная ў пункце і -- яе поўны дыфферэнцыял у гэтым пункце, то ў пункце існуюць усе частковыя вытворныя функцыі f, прычым і . Поўны дыфферэнцыял функцыі мае выгляд: .

Доказ.Згодна азначэння дыфферэнцавальнасці і леме прырост функцыі мае выгляд: , дзе . Няхай, напрыклад, ,тады , . Паколькі , то . А калі , то .Вядома, што , тады або .

Аналагічна даказваецца існаванне вытворнай



Вынік.Калі функцыя дыфферэнцавальная ў пункце , тады яна мае адзіны дыфферэнцыял , дзе і вызначаюцца ў дадзеным пункце адзіным чынам.

§9. Дастатковыя ўмовы дыфферэнцавальнасці функцыі

Тэарэма 9.1.Няхай функцыя у некаторым наваколлі пункта мае частковыя вытворныя і , якія непаыўныя ў пункце , тады функцыя дыфферэнцавальная ў гэтым пункце.

Доказ.Няхай -- некаторае -- наваколле пункта . Згодна ўмове тэарэмы на вызначана функцыя і яе частковыя вытворныя і . Возьмем і такім чынам, каб пункт . . Выразы, якія знаходзяцца ў дужках, з’яўляюцца прыростамі функцыі па адной зменнай. Паколькі функцыі і на адрэзках і адпаведна маюць вытворныя, якія непарыўныя ў пункце (згодна ўмове тэарэмы), то прыменім тэарэму Лагранжа. Атрымаем: дзе , , залежаць ад . Калі абазначыць , , прычым і непарыўныя ў пункце , то маем , . Падставім (2) ў (1), атрымаем: дзе . Таму функцыя дыфферэнцавальная ў пункце .

Вынік.Калі функцыя ў некаторым наваколлі пункта мае частковыя вытворныя непарыўныя ў пункце , тады функцыя таксама непарыўная ў пункце .

Азначэнне9.1.Функцыя, якая мае ў некаторым пункце (або на некаторым мностве) непарыўныя частковыя вытворныя, называецца непарыўна дыфферэнцавальнай у гэтым пункце (або на мностве).

Заўвага.Для функцыі у выпадку, калі яна вызначана ў некаторым наваколлі пункта , таксама маюць месца ўсе азначэнні і тэарэмы, якія былі сфармуляваны вышэй.

§10. Дыфферэнцаванне складанай функцыі

Тэарэма. 10.1.Няхай функцыі і адной зменнай t і дыфферэнцавальныя ў пункце . І няхай . Калі функцыя дыфферэнцавальная ў пункце , тады складаная функцыя вызначана ў некаторым наваколлі пункта і мае ў ім вытворную, прычым (1)

Доказ.Паколькі функцыя дыфферэнцавальная ў пункце ,то яна вызначана ў некаторым наваколлі гэтага пункта. Функцыі і , якія дыфферэнцавальныя ў пункце , будуць з’яуляцца непарыўнымі ў гэтым пункце, а таксама яны вызначаны ў некаторым наваколлі пункта . Таму ў некаторым наваколлі пункта вызначана і складаная функцыя . З дыфферэнцавальнасці ў пункце вынікае, што поўны прырост функцыі , (2) дзе . Давызначым функцыю у пункце наступным чынам: . Тады функцыя будзе непарыўнай у пункце .

Няхай -- прырост зменнай t. Тады , . Падзелім (2) на : (3) Паколькі функцыі і непарыўныя ў пункце , таму, калі , а . Адсюль, у адпаведнасці з тэарэмай аб кампазіцыі непарыўных функцый, , (4) Відавочна, што (4) – канечны лік. Таму калі правая частка роўнасці (3) імкнецца да канечнага ліміту: . Адсюль вынікае, што і левая частка (3) таксама імкнецца да гэтага ліміту. А гэта і азначае, што ў пункце існуе вытворная , якая вылічваецца па формуле (1).



Прыклад 10.1.Знайсці вытворную функцыі ,дзе .

Рашэнне.Паколькі , то .

Тэарэма 10.2.Няхай функцыі і вызначаны ў некаторым наваколлі пункта , а функцыя вызначана ў некаторым наваколі пункта , дзе , . Калі функцыя дыфферэнцавальная ў пункце і калі ў пункце існуюць частковыя вытворныя і , тады ў пункце існуе і частковая вытворная складанай функцыі , якая знаходзіцца па формуле: .

Аналагічна, .



Доказ.Няхай . Зафіксуем і будзем разглядаць функцыю . Гэта функцыя адной зменнай. Згодна тэарэмы 10.1. яна вызначана ў некаторым наваколлі пункта і мае ў ім вытворную , якая вылічваецца па формуле (1): .

Разгледзім цяпер агульны выпадак. Няхай у наваколлі пункта зададзена функцыя А на некаторым мностве зададзены функцыі , , прычым , а -- некаторы пункт мноства . Калі функцыя дыфферэнцавальная ў пункце і калі ў пункце існуюць часковыя вытворныя , дзе , , тады складаная функцыя , будзе мець частковыя вытворныя ў пункце , прычым .


§12. Геаметрычны сэнс частковых вытворных і поўнага дыфферэнцыяла

Разгледзім функцыю , якая вызначана на адкрытым мностве .Няхай пункт і ў гэтым пункце існуе частковая вытворная .

Геаметрычны сэнс частковай вытворнай адразу атрымліваецца з азначэння вытворнай як звычайнай вытворнай функцыі пры фіксаваным у і яго геаметрычнага сэнсу



Геаметрычны сэнс поўнага дыфферэнцыяла

Няхай n=2, , , , , дзе . Таму раўнанне плоскасці, якая праходзіць праз пункт мае выгляд: . Паколькі А і В вызначаны адназначна, таму і сама плоскасць вызначана адназначна.



Азначэнне 12.1.Датычнай плоскасцю да графіка функыі у дадазеным пункце называецца плоскасць, рознасць аплікаты якой і значэння функыі есць велічыня бясконца малая ў параўнанні з , калі .

Згодна (1) раўнанне датычнай плоскасці мае выгляд: (**) або . Таму . Такім чынам, геаметрычны сэнс поўнага дыфферэнцыяла заключаецца ў тым, што поўны дыфферэнцыял функцыі ў пункце роўны прыросту аплікаты плоскасці датычнай да графіку функцыі.



§13. Вытворная па напрамку. Градыент

Няхай функыі вызначана ў -- наваколлі пункта , якое : . Няхай пункт . Правядзем праз пункты і прамую. За дадатны напрамак на гэтай прамой возьмем напрамак вектара . Няхай для любога пункта М прамой арыентавальная даўжыня гэтага адрэзка выэначаецца наступным чынам: даўжыня адрэзка са знакам “+”, калі вектар мае той жа напрамак, што і вектар і знак “--“ у процілеглым выпадку.



Азначэнне 13.1.Ліміт , калі ен існуе называецца вытворнай функцыі f у пункце па напрамку вектара l і абазначаецца .

Няхай ў зафіксавана некаторая сістэма каардынат і , . І няхай даўжыня адрэзка . Знойдзем сувязь паміж даўжыней і даўжыней адрэзкаў .Няхай -- вуглы паміж вектарам і адпаведна восямі каардынат . Тады .


Уздоўж прамой функцыя z=f(x,y,z) з’яўляецца функцыяй адной эменнай .

Тады вытворная гэтай функцыі па , калі яна існуе, з’яуляецца вытворнай функцыі f у пункце ў напрамку вектара і вылічваецца ў адпаведнасці з тэарэмай аб дыферэнцаванні скаладанай функцыі. Ітак, няхай функцыі z=f(x,y,z) дыферэнцавальная ў пунктах і , дзе (***). Тады .

З другога боку: . Паколькі , то (1)

Такім чынам даказалі наступную тэарэму:

Тэарэма 13.1. Няхай функцыі f(x,y,z) дыферэнцавальная ў пункце , тады ў гэтым пункце функцыя z=f(x,y,z) мае вытворную па любому напрамку і гэта вытворная знаходзіцца па формуле (1).

Заўвага.1) Відавочна, што , і калі , ,то .

2) З формулы (1) відавочна, што вытворная па напрамку не залежыць ад выбару сістэмы каардынат.



Азначэнне 13.2.Вектар з каардынатамі назывецца градыентам функцыі f у пункце і абазначаецца: .

Сімвалічны вектар Гамільтона: -- з’яўляецца абазначэнем аперацыі,якую трэба выканаць над функцыяй: .Такім чынам, і з’яўляюцца абазначэннямі аднаго і таго ж вектара.

Няхай вектар -- адзінкавы: і . Тады згодна (1) ; або гэта скалярны здабытак . Таму, паколькі -- адзінкавы вектар , дзе і -- вугал паміж вектарам і Калі ў дадзеным пункце выконваецца роўнасць: , тады вытворная функцыі f ў напрамку дасягае найбольшага значэння ў адзіным напрамку тады, калі , або ў напрамку градыента, т.ч. напрамак градыента паказвае напрамак найхутчэйшага росту функцыі, а яго велічыня будзе роўна вытворнай па гэтаму напрамку.



Заўвага.Аналагічна можна разгледзець функцыі любога ліку зменных.
14 . Частковыя вытворныя і дыферэнцыялы

вышэйшых парадкау

1.Частковыя вытворныя вышэйшых парадкау

Разгледзім функцыю z=f(x,y).Кожная з яе частковых вытворных (калі яны існуюць) з’яляюцца функцыямі незалежных зменных x і y,таму яны маюць частковыя вытворныя



;

якія называюцца вытворнымі другога парадку.

Аналагічна вызначаюцца частковыя вытворныя адвольнага парадку для функцыі любога ліку зменных.

Азначэнне14.1.Частковая вытворная па любой незалежнай зменнай ад частковай вытворнай парадку ( n-1) (дзе n=1,2,…) называюцца частковай вытворнай парадку n.

Частковыя вытворныя , якія атрымліваюцца дыферэнцаваннем па розным зменным называюцца змешанай частковай вытворнай, а па адной зменнай – частковай вытворнай.

Тэарэма14.1.Няхай функцыя f(x,y) вызначана разам са сваімі вытворнымі у некаторым -наваколлі пункта ,пры чым непарыуныя функцыі у гэтым пункце.Тады у пункце выконваецца роунасць . (1)

Доказ. .Няхай функцыя f(x,y) вызначана разам са сваімі вытворнымі у некаторым -наваколлі пункта .І няхай фіксаваны,прычым

Няхай -гэта прырост функцыі f(x,y) па зменным x і y у пункце адпаведна.Абазначым .

Пакажам,што (2)

Сапрауды, (3)
(4)
Відавочна, што з (3) і (4) вынікае (2).

Разгледзім цяпер функцыю ,тады роунасць (3) будзе мець выгляд .Паколькі у наваколлі пункта існуе вытворная ,таму функцыя з’яуляецца дыферэнцавальнай на ,а згодна тэарэме Лагранжа будзем мець ,дзе 0< <1.Таму



Атрымалі:

Згодна тэарэме Лагранжа атрымаем: , дзе 0< <1, 0< <1.

Аналагічна , калі абазначым то з (4) атрымаем: .

Паколькі функцыя f мае вытворную па y на прамежку , то згодна тэарэмы Лагранжа будзем мець: ,0< <1.

Таму дзе

.

Згодна тэарэме Лагранжа : ,дзе 0< <1, 0< <1.Паколькі мае месца роунасць (2) (дзе ) ,то атрымаем: дзе 0< <1, 0< <1, 0< <1, 0< <1.


Згодна умове тэарэмы функцыі непарыуныя у пункце ,таму калі атрымаем: .Таму .
Заувага.Змешаныя вытворныя не залежаць ад парадку дыферэнцавання, калі выконваецца умова (1).
2.Дыферэнцыялы вышэйшых парадкау
Азначэнне14.2. Функцыя 2n зменных або ,інакш кажучы, функцыя ад упарадкаваных пар n-мернай прасторы выгляду ,дзе , дзе

-дадзеныя лікі (i,j=1,n) называецца білінейнай формай ад (X,Y).

Функцыя A(X,Y) называецца квадратычнай формай ,якая адпавядае дадзенай білінейнай форме A(X,Y), прычым .

Калі , то A(X,Y) і A(Y,X) называюцца сіметрычнымі.

Прыклад. -білінейная форма, -квадратычная форма.

Няхай функцыя z=z(x,y) мае непарыуныя вытворныя першага і другога парадкау на некаторым мностве .З непарыунасці частковых вытворных вынікае дыферэнцавальнасць функцыі z=z(x,y) у кожным пункце мноства G.Таму у кожным пункце (x,y) G вызначым дыферэнцыял dz: .

Паколькі функцыі таксама маюць на мностве непарыуныя частковыя вытворныя, таму яны з’яуляюцца дыферэнцавальнымі на G. А дыферэнцыял dz, як функцыя зменных x і y таксама з’яуляюцца дыферэнцавальнай на G функцыяй.Вылічым дыферэнцыял ад першага дыферэнцыяла dz..Для гэтага зафіксуем dx і dy, гэта азначае

Няхай (x,y)-адвольны пункт мноства G.А новае дыферэнцаванне абазначым сімвалам .Тады


(гэта сіметрычная білінейная форма зменных ).

Няхай .Тады атрымаем адпаведную квадратычную форму, якая называецца другім дыферэнцыялам функцыі z=z(x,y) у пункце (x,y) G і абазначаецца .

Азначэнне 14.3. Другім дыферэнцыялам функцыі z=z(x,y) у дадзеным пункце называецца квадратычная форма ад дыферэнцыялау dx і dy,якая адпавядае білінейнай форме дыферэнцыяла ад першага дыферэнцыяла .

Аналагічна, пры непарыунасці частковых вытворных трэццяга парадку можна вылічыць дыферэнцыял ад дыферэнцыяла другога парадку ,а потым ,калі палажыць ,атрымаем па азначэнню дыферэнцыял трэццяга парадку: .Згодна метаду матэматычнай індукцыі можна азначыць дыферэнцыял (n+1) парадку.



Заўвага.У выпадку дыферэнцыяла вышэйшага парадку не мае месца інварыянтнасць формы дыферэнцыяла адносна выбара зменных. Няхай, напрыклад, z=f(x,y),x=x(u,v), y=y(u,v).У адпаведнасці з інварыянтнасцю формы першага дыферэнцыяла . Таму . Відавочна, што у з’явіліся два іншых складніка.

§15. Формула Тэйлара

Няхай функцыя z=f(x,y) мае ў пункце непарыўныя вытворныя ўсіх (n+1) парадкаў уключна. І няхай гэтыя вытворныя існуюць у некаторым наваколі пункта . Возьмем у гэтым наваколлі пункт . Затым злучым пункты і адрэзкам прамой , якая ў параметрычнай форме задаецца наступным чынам: , дзе .

Тады ўздоўж гэтага адрэзку функцыя z=f(x,y) з’яўляецца функцыяй адной зменнай : (1)
Відавочна, што (2)

Функцыя -- функцыя адной зменнай , а таму, згодна тэарэме аб вытворнай складанай функцыі, яна мае непарыўную вытворную і праўдзіцца формула Тэйлара:

Калі , тады (3).

Вызначым вытворныя функцыі праз функцыю f(x,y). З(1) атрымаем: .


Калі то . Тады . Такім чынам атрымалі: .

Аналагічна, Таму .

Аналагічна, . З фомулы (3) вынікае, што (4)

Формула (4) называецца формулай Тэйлара з астачай у форме Лагранжа.

У выпадку n зменных.
§16. Неяўныя функцыі, якія азначаны адным раўнаннем

Разгледзім роўнасць . Калі функцыя двух зменных зададзена на некаторым падмностве плоскасці і існуе такая функцыя , якая вызначана на мностве ,якое змяшчаецца ў праекцыі мноства на вось . Для ўсіх і мае месца тоеснасць . Тады функцыя называецца неяўнай функцыяй, якая азначана роўнасцю .



Лемма.Няхай функцыя непарыўная ў некаторым прамавугольным наваколлі і пры кожным фіксаваным строга манатонная па у на інтэрвале . Тады,калі , то існуюць наваколлі , пунктаў і такія, што для для кожнага існуе адзінае рашэнне раўнання .

Гэта рашэнне з’яўляецца функцыяй ад і абазначаецца і яно непарыўнае у пункце , а .



Доказ.З умовы пры кожным фіксаваным манатонная па у на інтэрвале (у прыватнасці яна строга манатонна па у пры ). Няхай функцыя , напрыклад, строга нарастае. Возьмем . Паколькі функцыя як функцыя зменнай у,строга нарастае на і , то , . Функцыя двух зменных непарыўна на і пункт і пункт , таму існуе , што ў -- наваколлі пункта выконваецца няроўнасць і ў -- наваколлі пункта выконваецца няроўнасць . У прыватнасці пры маюць месца няроўнасці , . (1)

Паложым , . Паколькі пры фіксаваным функцыя зменай у непарыўна на адрэзку , таму з умовы (1) і згодна тэарэме Бальцана-Кашы аб прамежкавых значэннях непарыўнай функцыі вынікае, што існуе такое , прычым . Паколькі функцыя на строга манатонна, таму адзінае. Такім чынам, атрымалі адназначную адпаведнасць х і , дзе , , якая вызначаецца наступным чынам: . Па азначэнню гэтага адлюстравання для любога , выконваецца , прычым -- адзінае.

Такім чынам, мы даказалі існаванне і адзінасць функцыі . Паколькі і , , а -- адзіная функцыя, таму . Адзначым, што было фіксавана адвольным чынам і па гэтаму было мы знайшлі , што з няроўнасці вынікае,што або . А таму функцыя непарыўна у пункце .

Заўвага.З гэтай лемы вынікае,што ў адпаведных умовах няяўная функцыя , якая вызначана раўнаннем , існуе і валодае той уласцівасцю, што пры ўмове і роўнасці і раўназначныя.

Тэарэма 16.1.(Аб існаванні неяўнай функцыі і яе вытворнай.) Калі функцыя непарыўная ў некаторым наваколлі пункта і мае ў гэтым пункце вытворную , непарыўную ў пункце . Тады калі , а , то знойдуцца такія наваколлі і адпаведна пунктаў і , што для кожнага існуе адзінае рашэнне раўнання . Гэта рашэнне непарыўнае ў і . Калі дадаткова палажыць, што функцыя у некаторым наваколлі пункта мае частковую вытворную , непарыўную ў пункце , тады функцыя таксама мае вытворную ў пункце , якая роўна:

§16. Датычная плоскасць і нармаль да паверхні , якая зададзена неяўным раўнаннем

Няхай паверхня S зададзена раўнаннем F(x,y,z)=0.Будзем лічыць , што ,а таксама што ў некаторым наваколлі пункта функцыя F мае непарыўныя частковыя вытворныя , якія адначасова не роўны нулю.Няхай ,напрыелад, ,тады ,згодна тэарэме аб існаванні неяўнай функцыі(тэарэма 15.1),існуе наваколле пункта у якім паверхня зададзена раўнаннем z=f(x,y).

Раўнанне датычнай плоскасці да паверхні S у пункце мае выгляд



, . Таму раўнанне датычнай плоскасці да паверхні ў пункце можна запісаць наступным чынам: , а раўнанне нармалі ў пункце мае выгляд: .
§17. Экстремум функцыі некалькіх зменных
Азначэнне 17.1.Няхай функцыя f(x) вызначана на мностве . Пункт называецца пунктам строгага максімума(строгага мінімума), калі існуе наваколле пункта , што для любога выконваецца няроўнасць .

Калі ж для пункта існуе наваколле ,што для любога выконваецца ўмова, што , то пункт называецца проста пунктам максімума (мінімума).



Азначэнне 17.2.Пунктыпроста максімума(мінімума), строгага максімума (мінімума) называюцца пунктамі экстремума або строгага экстремума.

Тэарэма 17.1.Няхай функцыя f(X), дзе вызначаецца ў некаторым наваколлі пункта . Калі гэты пункт з’яўляецца пунктам экстремума функцыі f(X) і ў гэтым пункце існуе якая-небудзь частковая вытворная , тады ў пункце .

Доказ.Няхай i=1.Калі пункт з’яўляецца пунктам экстремума для функцыі адной зменнай і таму, калі ў гэтым пункце існуе ытворная , тады згодна адпаведнай тэарэмы для функцыі адной зменнай .

Аналагічна для любой зменнай .



Вынік.Калі функцыя дыферэнцавальная ў пункце экстремума ,тады яе дыферэнцыялу гэтым пункце роўны нулю.

Доказ.Калі функцыя f(x) дыферэнцавальная ў пункце экстремума .Тады ў гэтым пункце існуюць усе частковыя вытворныя . А згодна з тэарэмай 17.1.усе гэтыя вытворныя роўныя нулю,таму дыферэнцыял функцыі ў пункце .

Прыклад 17.1.Разгледзім функцыю .Пункт экстремума знаходзіцца паміж тых пунктаў для якіх .Таму пункт (0,0)-пункт строгага мінімума.

Для функцыі . Калі , то ў пункце (0,0) экстрэмума няма, паколькі калі x=0, то z<0, а калі y=0, то z>0.



Дастатковая ўмова экстрэмума

Азначэнне 17.3.Квадратычная форма называецца дадатна вызначанай (адмоўна вызначанай),калі для любога .

Дадатна (адмоўна) вызначаная квадратычная форма называецца проста вызначанай або знакавызначальнай квадратычнай формай.



Прыклад 17.2.

-- дадатна вызначаная квадратычная форма.

Азначэнне 17.4.Квадратычная форма , якая прымае як дадатныя так і адмоўныя значэнні называецца нявызначанай.

Прыклад 17.3. -нявызначаная квадратычная форма,паколькі , калі і , калі .

Няхай функцыя f(X) дыферэнцавальная ў пункце .Калі ,тады пункт называецца стацыянарным пунктам. Відавочна,што пункт ,у якім функцыя f(X) дыферэнцавальная,з’яўляецца стацыянарным,калі .



Тэарэма 17.2.(Дастаткоаая ўмова экстрэмума). Няхай функцыя f(X) вызначана і мае непарыўныя вытворныя другога парадку ў некаторым наваколлі пункта .І няхай -стацыянарны пункт ,тады калі квадратычная форма (другі дыферэнцыял функцыі f(X) у пункце ): (1)

дадатна (адмоўна) вызначаная квадратычная форма, тады пункт з’яўляецца пунктам строгага мінімума (максімума).Калі ж квадратычная форма нявызначаная , тады ў пункце экстрэмума няма.


§18. Крытэрый Сільвестра

Для таго каб квадратычная форма з’яўлялася дадатна вызназначанай неабходна і дастаткова ,каб і адмоўна вызначанай, калі .



Тэарэма 18.1.Няхай функцыя азначана і мае непарыўныя частковыя вытворныя другога парадку ў некаторым наваколлі пункта ,які з’яўляецца стацыянарным пунктам для функцыі (у пункце .Тады калі ў пункце ,то пункт з’яўляецца пунктам строгага экстрэмума, прычым строгі максімум, калі ў пункце . Калі ў пункце ,то экстрэмума ў гэтым пункце няма. Калі , то ў пункце экстрэмум можа быць або не быць (патрэбны дадатковыя даследванні).

Доказ.Разгледзім спачатку выпадак,калі ў пункце . Няхай

(2)

Матрыца квадратычнай формы Калі ,тады ў выпадку з (2) будзем мець . А згодна тэарэмы 17.2.пункт з’яўляецца пунктам строгага мінімума. У выпадку , калі , то з (2) вынікае , што , таму згодна тэарэмы 17.2. пункт з’яўляецца пунктам строгага максімума. Разгледзім цяпер выпадак, калі , тады

Відавочна , што квадратычная форма з’яўляецца нявызначанай, таму згодна тэарэмы 17.2. у пункце экстрэмума няма.

Аналагічна можна разгледзіць выпадак, калі . Калі ж , то . Такім чынам, атрымалі, што квадратычная форма будзе нявызначанай, таму экстрэмума ў пункце няма.

Адзначым , што выпадак немагчымы, паколькі (згодна ўмовы).

Разгледзім цяпер выпадак , калі .Пакажам , што экстрэмум можа існаваць, а можа і не існаваць.Няхай , напрыклад, ,тады .Калі , тады ў пункце (0,0) можа быць экстрэмум. Паколькі , то , але , таму пры ). Такім чынам, ў пункце (0,0) існуе экстрэмум. Разгледзім цяпер, напрыклад, функцыю .Тады . Відавочна, што ў пункце (0,0) .Таму ен з’яўляецца стацыянарным пунктам і . Але ў пункце (0,0) экстрэмума няма , паколькі ў наваколлі гэтага пункта знак функцыі змяняецца.


§19. Умоўны экстрэмум
1. Паняцце ўмоўнага экстрэмума

Няхай на адкрытым мностве зададзены функцыі ,дзе (1)

І няхай (2)

Раўнанне выгляду (3)

называецца раўнаннем сувязі.

Азначэнне 19.1. Няхай на зададзена функцыя . Пункт называецца пунктам умоўнага экстрэмума функцыі , калі выконваецца раўнанне сувязі. Інакш кажучы, калі пункт з’яўляецца пунктам звычайнага экстрэмума функцыі ,якую разглядаюць толькі на мностве ,а гэта ў сваю чаргу азначае, што значэнне функцыі у пункце параўноўваецца не з ўсімі значэннямі функцыі ,а толькі з тымі значэннямі , якія вызначаны на мностве .

Прыклад 19.1.Разгледзім функцыю , дзе . Знойдзем пункты ўмоўнага экстрэмума.Відавочна, што ,таму . Няхай , тады . Паколькі , то

Такім чынам,пункт з’яўляецца пунктам, які можа быць экстрэмумам. Паколькі , таму пункт -- умоўны экстрэмум (мінімум).



Тэарэма 19.1.Пункт з’яўляецца пунктам ўмоўнага экстрэмума для функцыі адпаведна раўнанняў сувязі (3) тады і толькі тады, калі ен з’яўляецца пунктам звычайнага строгага экстрэмума функцыі зменных (4)

якая вызначана і непарыўна дыферэнцавальная ў некаторым наваколлі пункта ) у прасторы .



Доказ.Паложым ,што ўсе функцыі непарыўна дыферэнцавальныя ў адкрытым мностве .У пункце вектары лінейна незалежныя.Разгледзім ранг матрыцы( матрыцы Якобі) : , прычым . Ранг матрыцы Якобі роўны ліку яго радкоў (у дадзеным выпадку ен роўны ).Няхай для пэўнасці . Тады даказана, што з раўнанняў (3) у некаторым наваколлі пункта можна знайсці зменныя : . (5)

Падставім (5) у раўнанне .Атрымаем функцыю зменных (4), якая вызначана і непарыўна дыферэнцавальная ў некаторым наваколлі пункта ) у прасторы .Таму (3) і (5) раўназначныя.Такім чынам, мы даказалі тэарэму.



2. Метад множнікаў Лагранжа для знаходжання пунктаў умоўнага экстрэмума

Няхай функцыі непарыўна дыферэнцавальныя на .



Тэарэма 19.2. Няхай пункт з’яўляецца пунктам ўмоўнага экстрэмума функцыі .Калі выконваюцца раўнанні сувязі (3),то ў гэтым пункце лінейна залежныя (дзе . Другімі словамі, існуюць не ўсе роўныя нулю лікі такія што (6)

Вынік.Калі ў пункце умоўнага экстрэмума функцыі выконваюцца раўнанні сувязі (3) і лінейна залежныя ,гэта азначае , што ранг матрыцы роўны ,тады існуюць лікі , што ў гэтым пункце мае месца роўнасць: (7)

Відавочна, што (7) азначае, што з’яўляецца лінейнай камбінацыяй усіх .

У каардынытнай форме (7) мае выгляд: (8)

Функцыя ,дзе задавальняюць умовам (8),называюцца функцыяй Лагранжа, а лікі -множнікі Лагранжа.

Умова (8) азначае, што, калі з’яўляецца пунктам умоўнага экстрэмума функцыі адносна раўнанняў сувязі (3), тады гэты пункт з’яўляецца стацыянарным пунктам для функцыі Лагранжа, прычым . будзем выбіраць так, каб выконваліся ўмовы (8). Для знаходжання пункта умоўнага экстрэмума ,трэба разгледзіць сістэму раўнанняў (3) і (8) адносна невядомых . Згодна папярэдніх тэарэм усе пункты умоўнага экстрэмума знаходзяцца сярод пунктаў ,якія знойдуцца ўказаным вышэй чынам. Пытанне аб тым , якія з гэтых пунктаў будуць сапраўды пунктамі умоўнага экстрэмума патрабуе дадатковых даследванняў.

Тэарэма 19.3.Калі задавальняе раўнанням сувязі і з’яўляецца стацыянарным пунктам функцыі Лагранжа, і калі другі дыферэнцыял функцыі Лагранжа ў гэтым пункце з’яўляецца дадатна (адмоўна) вызначанай квадратычнай формай адносна зменных пры ўмове , што яны задавальняюць сістэме: ,тады пункт з’яўляецца пунктам умоўнага мінімума (максімума) для функцыі адносна раўнанняў сувязі (3).

Прыклад 19.2.Знайсці пункт экстрэмума функцыі ,калі пункт належыць прамой .

Рашэнне.Пабудуем функцыю Лагранжа .

Разгледзім сістэму:

Разгледзім сістэму: . .

Такім чынам, . Атрымалі . Даследуем пункт (0,0). .



(паколькі ). Таму пункт (0,0) з’яўляецца пунктам умоўнага мінімума.


База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка