Элементарныя функцыі




Дата канвертавання01.05.2016
Памер122.73 Kb.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЯ ФУНКЦЫІ


§1. Непарыўнасць адваротнай функцыі

Азначэнне 1. Няхай f – адпаведнасць паміж мноствамі X i Y. Мноства усіх пар (y,x): {(y,x)| (x,y)f} называецца адпаведнасцю адваротнай f і абазначаецца f-1.

Азначэнне 2. Калі адпаведнасці f і f-1 з’яўляюцца функцыямі, то функцыя f называецца абарачальнай (обратимой), а f-1адваротнай (обратной) функцыі f .

Функцыі f і f-1 з’яўляюцца узаемна адваротнымі, паколькі

(f-1)-1= f, а адлюстраванне f: Х Y з’яўляецца ўзаемна адназначным.

Уласцівасці узаемна адваротных функцый:


  1. D(f-1) = E(f), E(f-1) = D(f).

  2. f-1 (f(x)) = x xD(f); f(f-1(y)) = y yE(f).

  3. Графікі функцый f i f-1 сіметрычныя адносна прамой y = x.

Прымем без доказу наступную тэарэму.

Тэарэма 1. Калі функцыя f з’яўляецца узаемна адназначным адлюстраваннем абсяга вызначэння D(f) на абсяг значэнняў E(f), то адваротная ёй адпаведнасць f-1 – функцыя.

Тэарэма 2 (аб існаванні і непарыўнасці адваротнай функцыі).

Няхай функцыя f нарастальная (спадальная) і непарыўная на абсягу вызначэння D(f), які з'яўляецца прамежкам. Тады адваротная адпаведнасць f-1 з’яўляецца функцыяй, якая таксама нарастальная (спадальная) адпаведна і непарыўная ў сваім абсягу вызначэння

D(f-1) = E(f), які таксама з’яўляецца прамежкам.

Заўважым, што абсяг значэнняў функцыі E(f) = D(f-1) з’яўляецца прамежкам для непарыўнай на прамежку функцыі на падставе выніку з ІІ тэарэмы Бальцана-Кашы.

Няхай f нарастальная функцыя.

Дакажам, што f-1- функцыя, г.зн. пакажам, што кожнаму значэнню yE(f) адпавядае адзінае значэнне хD(f).

Дапусцім працілеглае, што некаторамму уоE(f) адпавядаюць х1, х2D(f) такіе, што f(x1) = yo і f(x2) = yo. Няхай х1< х2. З умовы нарастальнасці функцыі f вынікае, што f(x1) < f(x2)  yo < yo, што не можа мець месца.

Дакажам, што f-1- нарастальная функцыя ў абсягу D(f-1) = E(f). На мностве E(f) выбярэм адвольна у1 і у2 такіе, што у1 < у2. Дакажам, што f-11)< f-12).

Дапусцім працілеглае: f-11)  f-12). У сілу нарастальнасці функцыі f будзем мець f(f-1(y1))  f(f-12))  у1 у2, што супярэчыць умове. Гэта і даказвае нарастальнасць функцыі f-1.

Дакажам, што функцыя f-1 непарыўная на E(f).

Мы даказалі, што f-1 – нарастальная на прамежку E(f) функцыя, мноства яе значэнняў D(f) па ўмове тэарэмы – прамежак. Таму па ІІ тэарэме Бальцана –Кашы f-1- непарыўная функцыя на E(f). 

Прыклад 1. Няхай функцыя f, заданая формулай y = 2x  4, непарыўная і нарастальная на D(f) = R. Па тэарэме 2 існуе адваротная функцыя, якая таксама будзе непарыўнай і нарастальнай на Е(f) = R.

Формула для функцыі f-1(у) : х = у/2 + 2 або y = x/2 + 2 ( х і у памянялі месцамі).



Прыклад 2. Знайсці функцыю адваротную для функцыі

(1) і пабудаваць яе графік. D(f) = R.

Разгледзім функцыю (1) у выглядзе , eye-y = 2x

 ey  1/ey = 2x  e2y  2xey  1 = 0 абазначым ey = t>0

 t2 – 2xt – 1 = 0  (не падыходзіць). Такім чынам, - функцыя адваротная функцыі (1). D(f-1) = R.


Рыс.1 Рыс.2

§2. Трыганаметрычныя функцы.

Адваротна трыганаметрычныя функцыі



Функцыя y = sin x непарыўная на D(f) = R, E(f) = [1,1],перыяд Т = 2n, дзе nZ. Адваротная адпаведнасць функцыі sin не з’яўляецца функцыяй на адрэзку [-1,1], паколькі кожнаму значэнню у адпавядае мноства значэнняў х у сілу перыядычнасці функцыі sin.

Разгледзім звужэнне функцыі sin на адрэзку []:

f(x) = sinx x[].
На адрэзку [] функцыя

f(x) = sinx нарастальная, непарыўная і адпаведна тэарэме 1 §1 існуе адваротная ёй функцыя f-1, якая таксама зўяўляецца нарастальнай і непарыўнай на D(f-1) = =E(f) = [1,1].



Aзначэнне 1. Функцыя f-1, адваротная звужэнню функцыі sin на адрэзку [] называецца арксінусам і абазначаецца arcsin; прычым D(arcsin) = E(sin) =[-1,1], E(arcsin) = D(sin) = [].

Заўвага. Функцыя arcsin з’яўляецца няцотнай функцыяй.

Самастойна разглядзець функцыі cos, tg, ctg , вызначыць для іх адпаведна функцыі arcos, arctg i arcctg, пабудаваць графікі.



§3. Ступеневая функцыя з рацыянальным паказнікам ступені

1. Ступеневая функцыя з рацыянальным паказнікам ступені

f(x)=xn, nN.



Уласцівасці:

  1. D(f) = R, непарыўная, як здабытак непарыўных функцый.

  2. Калі n = 2k-1, то f – нарастальная функцыя на D(f), калі

n = 2k, то f спадае на прамежку ( і нарастае на прамежку .

З няроўнасці 0 х1 2  0 < х1n 2n nN, калі х1 20, то х1n 2n, калі n= 2k, х1n2n , калі n = 2k-1. 



  1. Пры n = 2k-1 фунцыя f неабмежаваная знізу і зверху  E(f) = R, пры n = 2k функцыя f абмежаваная знізу восю Ох і неабмежаваная зверху  E(f) = .

  2. Калі n = 2k-1, то f- няцотная функцыя. калі n = 2k, то f – цотная функцыя  графік (рыс.4).

2. Ступеневая функцыя з паказнікам ступені 1/n, nN


1. Няхай n = 2k+1.

Разгледзім ступеневую функцыю f(x) = xn , дзе n = 2k+1: D(f) = , E(f) = . Функцыя f нарастальная і непарыўная на мностве R. Таму па т.1 §1 існуе функцыя f-1, якая таксама нарастальная і непарыўная на E(f). Значэнні гэтай функцыі хR абазначым f-1(х) = і назавём коранем n-ай ступені з ліку х або ступенню ліку х паказніка 1/n. Функцыю f-1 называюць ступеневай функцыяй з паказнікам ступені 1/n. Графік функцыі f-1 сіметрычны графіку функцыі f(x) = xn адносна прамой y=x. (Рыс.4)

2. Няхай n = 2k.

Разгледзім ступеневую функцыю f(x) = xn , дзе n = 2k: D(f) = R, E(f) = . Адваротная адпаведнасць не з’яўляецца функцыяй. Зробім звужэнне функцый f на прамежку . Такім чынам

D(f) = i E(f) = , функцыя нарастальная, непарыўная на D(f). Таму па т.1 §1 існуе функцыя f-1 таксама нарастальная і непарыўная на D(f-1) = E(f). Значэнні гэтай функцыі х абазначым f-1(х) = і назавём коранем n-ай ступені з ліку х або ступенню ліку х паказніка 1/n. Функцыю f-1 называюць ступеневай функцыяй з паказнікам ступені 1/n. Графік функцыі f-1 сіметрычны графіку функцыі f(x) = xn адносна прамой y=x. (Рыс.5)

Рыс.5 Рыс.6



Азначэнне 1. Неадмоўнае значэнне функцыі 0 і nN, незалежна ад цотнасці ліку n, называецца арыфметычным коранем n-ай ступені з ліку х: 0 і nN, 0 .

Вядома, што f(f-1(х)) = х, таму = х 0.



Азначэнне 2. Арыфметычным коранем n-ай ступені з неадмоўнага ліку х называецца такі неадмоўны лік, n-ая ступень якога роўна х.

Прыклады: = 3; =5.


3. Ступеневая функцыя з адвольным рацыянальным паказнікам ступені

Рзгледзім адвольны рацыянальны лік r.

Магчымы 3 выпадкі: r = 0, r = m/n, r = m/n, калі m,n N і не маюць агульных множнікаў няроўных 1.

Азначэнне 3. Ступеневай функцыяй з паказнікам 0 называецца функцыя, заданая формулай: f(x) = xo = 1.

Вядома, што гэта функцыя мае D(f) = R і непарыўная на D(f).



Азначэнне 4. Ступеневай функцыяй з паказнікам m/n называецца функцыя, заданая формулай: f(x) = xm/n  f(x) = (xm)1/n.

Гэтую функцыю можна разглядаць як кампазіцыю функцый

f(x) = g u, где u(x) = xm, g(x) =x1/n.

У пунктах 1 і 2 было даказана, што функцыі g(x) і u(x) непарыўныя на сваіх абсягах вызначэння, таму па тэарэме аб непарыўнасці складанай функцыі і функцыя f таксама непарыўная на сваім абсягу вызначэння. Менавіта абсягам вызначэння функцыі з’яўляеца або прамежак , або прамежак . Паколькі функцыі g і u нарастальныя на прамежку ,, то і функцыя f нарастальная на прамежку ,.



Азначэнне 5. Ступеневай функцыяй з паказнікам m/n называецца функцыя, якая задаецца формулай:

.

Гэта функцыя непарыўная на D(f) як дзель непарыўных функцый. Абсягам вызначэння з’яўляецца або прамежак (, або аб’яднанне прамежкаў (-,)(,. Пакольк функцыя xm/n нарастае на інтервале (, то f спадае на гэтым інтэрвале.



Рэзюмэ. Мы азначылі ступеневую функцыю з адвольным рацыянальным паказнікам r, г.зн. функцыю са значэннямі f(x) = xr, і даказалі, што яна непарыўная ў сваім абсягу вызначэння.
§4. Азначэнне функцыі з рацыянальным і ірацыянальным

паказнікамі ступені
Разгледзім ступеневую функцыю f(x)=xr з адвольным рацыянальным паказнікам ступені r і яе значэнне ў пункце a>0: f(a)=ar.

Азначэнне 1. Ступенню ліку а>0 з рацыянальным паказнікам r называецца лік, які абазначаецца ar і азначан наступным чынам:

  1. Калі r = nN, то an = a  a …  a (множнікі а узятыя n-разоў).

  2. Калі r = 1/n (nN), то a1/n – арыфметычны корань n-ай ступені з ліку а.

  3. Калі r = 0, то ar = 1.

  4. Калі r = m/n (m,n  N не маюць агульных дзельнікаў няроўных 0), то (am)1/n = am/n/

  5. Калі r =  m/n (для m,n тая ж умова), то .

Уласцівасці ступені з рацыянальным паказнікам


1. ar > 0 для любых рацыянальных r (вынікае з азначэння 1).

2. Для любых рацыянальных r1, r2 : , , , ,

3.Калі a >1 і рацыянальны лік r >0, то ar >1.

З нарастальнасці функцыі xr для x>0, r>0  ar > ao = 1. 

4. Калі a >1, r1>r2, то

 r1>r2  r1r2 >0 

5. Няхай a > 1,  - адвольны ірацыянальны лік. Разгледзім якую-небудзь паслядоўнасць рацыянальных лікаў (rn), калі n. У сілу ўласцівасці 4 паслядоўнасць нарастальная і абмежаваная зверху лікам дзе r* - рацыянальны лік, r*>. Таму паслядоўнасць мае канечны ліміт і ён супадае з sup{} = a (на падставе тэарэмы аб ліміце манатоннай абмежаванай паслядоўнасці).

Уласцівасць 5 можна сфармуляваць у выглядзе тэарэмы.



Тэарэма. Няхай a>0,  - ірацыянальны лік. Для любой пасля-доўнасці рацыянальных лікаў (rn), якая імкнецца да , калі n, адпаведная паслядоўнасць мае канечны ліміт. Гэты ліміт абазначаецца праз a і называецца ступенню ліку а з паказнікам .

Азначэнне 2. Ступенню ліку a>0 з ірацыянальным паказнікам  называецца лік a, які азначаецца (1), дзе (rn) – адвольная паслядоўнасць рацыянальных лікаў, якая імкнецца да ірацыянальнага ліку .

Прыклад. , дзе (rn) , калі n;

rn = 1 + 7/10 + 3/100 + 2/1000 + c4/104 + …+ cn/10n,



= 1,732c4c5…cn….

(rn) – дзесятковае набліжанне да  з недахопам (недостатком).



Заўвага 1. Роўнасць (1), якая ў выпадку ірацыянальнасці  з’яўляецца азначэннем ступені з ірацыянальным паказнікам a, можа быць даказана і ў выпадку рацыянальнага .

Заўвага 2. З дапамогаю азначэнняў (1) і (2) уводзіцца паняцце ступені з любым сапраўдным паказнікам, якая мае тыя ж самыя ўласцівасці, што і ў азначэнні (1) для ступені з рацыянальным паказнікам.
§5. Паказнікавая функцыя
Азначэнне. Паказнікавай функцыяй называецца функцыя, заданая роўнасцю f(x) = ax xR, дзе

Адпаведна азначэнню ступені (азначэнні (1) і (2) §4) сімвал ax трэба разумець так:



  1. Калі x = n N, то an = a  a …  a (множнікі а узятыя n-разоў).

2. Калі х = 1/n (n N), то a1/n – арыфметычны корань n-ай ступені з ліку а.

3. Калі х = 0, то aо = 1.

4. Калі х = m/n (m,n  N не маюць агульных дзельнікаў няроўных 0), то (am)1/n = am/n.

5. Калі х =  m/n (для m,n тая ж умова), то .

6. Калі x =  - ірацыянальны лік, то , дзе (rn) – адвольная паслядоўнасць рацыянальных лікаў, якая імкнецца да ірацыянальнага ліку .

Уласцівасці паказнікавай функцыі


1о. D(f) = R.

2o. ax > 0 xR  E(f) = (,.

3o. Калі a > 1, то ax > 1 x >0; калі 0 < a < 1, то ax < 1.

4o. Калі a > 1, то ax - нарастальная функцыя ; калі 0 < a < 1, то ax - спадальная функцыя.

5о. Функцыя ax непарыўная на ўсёй лікавай прамой.

6о. Калі a > 1, то

Калі 0 < a < 1, то

y=0 – гарызантальная асімптота.


§6. Лагарыфмічная функцыя

Разгледзім паказнікавую функцыю f(x) = ax xR, дзе

Калі a>1, то функцыя нарастальная, а калі 0 < a < 1, то спадальная; функцыя непарыўная на мностве R; E(f) = (,. Па т.2 §1 аб існаванні і непарыўнасці адваротнай функцыі вынікае, што існуе адваротная функцыя f-1, якая нарастальная (спадальная) на

D(f-1) = E(f) = (,.



Азначэнне 1. Функцыя f-1 , адваротная паказнікавай функцыі, называецца лагарыфмічнай функцыяй пры аснове а і абазначаецца:

f-1 = loga.

D(log) = (,, E(log) = R.

Графікі паказнікавай і лагарыфмічнай функцый сіметрычны адносна прамой y = x.

Рыс. 7 Рыс.8
Азначэнне 2. Значэнне лагарыфмічнай функцыі ў кожным пункце х>0, г.зн. logaх, называецца лагарыфмам ліку х па аснове а.

Вядома, што f(f-1(х)) = х х D(f-1) = E(f) = (,  - лагарыфмічная тоеснасць.



Азначэнне 2*. Лагарыфмам ліку х>0 па аснове а называецца паказнік ступені, ў якую трэба ўзвесці а, каб атрымаць лік х.

Прыклад.
§7. Ступеневая функцыя з ірацыянальным паказнікам

У §4 было ўведзена азначэнне ступені з ірацыянальным паказнікам для кожнага дадатнага х.

Разгледзім функцыю f(x) = x х( (1) , дзе  - ірацыянальны лік. Гэту функцыю называюць ступеневай функцыяй з ірацыянальным паказнікам. D(f) = (,.

Дакажам, што функцыя x непарыўная на D(f).

Формула (1) прыме выгляд: f(x) =(1*)

Функцыя (1*) – складаная функцыя: f(x) = g(u(x)), дзе g(x)=ex, u(x) = lnx. Паколькі кожная з функцый g і u непарыўная , то і функцыя f непарыўная ў сваім абсягу вызначэння як складаная функцыя.


§8. Клас элементарных функцый

Азначэнне 1.Асноўнымі элементарнымі функцыямі называ-юцца функцыі са значэннямі:

f(x) = c (cR), f(x) = x (R), f(x) =ax (),

f(x) = logaх (), f(x) = sinx, f(x) = cosx, f(x) = tgx,

f(x) = ctgx, f(x) = arcsinx, f(x) = arccosx, f(x) = arctgx,

f(x) = arcctgx.
Азначэнне 2. Элементарнымі функцыямі называюцца такія функцыі, якія атрыманы з асноўных элементарных функцый з дапамогаю чатырох арыфметычных дзеянняў і кампазіцый гэтых функцый (складаныя функцыі).

У §§1-7 мы паказалі, што асноўныя элементарныя функцыі непарыўныя ў сваіх абсягах вызначэння.



На падставе тэарэмы аб непарыўнасці алгебраічнай сумы, здабытку, дзелі непарыўных функцый і тэарэмы аб непарыўнасці складанай функцыі можна зрабіць выснову, што

кожная элементарная функцыя непарыўная ў сваім абсягу вызначэння.




База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка