Доклад по данной теме на творческом семинаре учителей математики, организованном миоо в мае 2012 года, и получил одобрение слушателей. Материал принят для публикации в журнал «Математика»




Дата канвертавання22.04.2016
Памер85.31 Kb.
Шноль Дмитрий Эммануилович

Государственное бюджетное образовательное учреждение города Москвы общеобразовательная школа-интернат среднего (полного) общего образования «Интеллектуал».
Вид работы: Методическая разработка.
Название работы: Дидактические материалы для проведения серии уроков по теме: «Плоскости параметров (k;b) линейной функции у=kх+b».
Направленность: для школ (классов) с углубленным изучением математики.
Краткое содержание: разработанная автором цепочка задач с указаниями к ним и решениями выстроена от простых упражнений к сложным и нетривиальным задачам, приводящим к важным обобщениям. В частности к первому знакомству с понятием проективной плоскости.
Номинация. 1.1. Дидактика, теория и методика обучения – математика

Пояснительная записка.

В данной разработке представлена серия упражнений и задач, связанных с рассмотрением плоскости двух параметров. По нашему опыту первые, самые легкие упражнения могут быть с большой пользой использованы в среднем по силе классе на уроках повторения и обобщения темы «Линейная функция». Последние из представленных задач являются достаточно сложными и приводят к первому знакомству с понятием двойственности в проективной геометрии и могут использоваться при работе с математическими классами.

Насколько известно автору, систематическое изучение этой темы в школьном курсе до настоящего времени еще не рассматривалось. Представленные материалы использовались автором и его коллегами А.И. Сгибневым и К.А. Назаровой на уроках в школе-интернате «Интеллектуал». Автор прочел доклад по данной теме на творческом семинаре учителей математики, организованном МИОО в мае 2012 года, и получил одобрение слушателей. Материал принят для публикации в журнал «Математика».
3. Использованная литература.

1. С.Л. Табачников, Д.Б. Фукс «Математический дивертисмент», МЦНМО, 2011.


2. П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир «Задачи с параметрами», Авангард, 2007.


3. Р. Курант, Г. Робинс «Что такое математика?», МЦНМО, 2001.


Плоскости параметров (k;b) линейной функции у=kх+b.
В статье будет разобрана серия упражнений и задач, связанных с рассмотрением плоскости двух параметров. По нашему опыту первые, самые легкие упражнения могут быть с большой пользой использованы в среднем по силе классе на уроках повторения и обобщения темы «Линейная функция». Последние из представленных задач являются достаточно сложными и приводят к первому знакомству с понятием двойственности в проективной геометрии.
Вступление к теме.

Рассмотрим координатную плоскость (k;b). Каждая прямая вида у=kх+b изображается на этой плоскости в виде точки.

Например, прямая у=2х+5 изображается на плоскости (k;b) в виде точки (2;5),

а прямая у= -2 в виде точки (0;-2).


Упражнения и задачи.

1) Изобразите на координатной плоскости (k;b) точки, которые соответствуют прямым:



у=х, у=-3х+2, у=2х-3.


2) Изобразите на координатной плоскости (х;у) семейство прямых, соответствующих десяти точкам плоскости (k;b), изображенным на рисунке. Обозначьте эти прямые соответственными маленькими буквами



(a, b, c…)

3) Изобразите на координатной плоскости (k;b) множество точек, соответствующее семейству всех прямых вида у=kх+b, параллельных прямой у=2х.


4) Изобразите на координатной плоскости (k;b) множество точек, соответствующее семейству всех прямых вида у=kх+b, проходящих через точку (0;3).

Раскрашенные области.

5) На координатной плоскости (k;b) изображено множество точек, соответствующее некоторому семейству прямых вида у=kх+b. На плоскости (х;у) все эти прямые покрашены. Изобразите на плоскости (х;у) получившуюся покрашенную область.





Рис.1 Рис.2


Рис.3 Рис. 4



Рис. 5 Рис. 6


Сравните результаты двух последних задач. Объясните то, что у вас получилось.
6) На координатной плоскости (х;у) покрашено некоторое семейство прямых. В результате на плоскости получилась покрашенная область (смотри рисунки). Изобразите на координатной плоскости (k;b) множество точек, соответствующее этому семейству прямых (в некоторых случаях это можно сделать не единственным образом).










Прямая на плоскости (k;b).

7) Рассмотрим на плоскости (k;b) прямую b=k. Каждая точка этой прямой задает на плоскости (х;у) прямую, а вся прямая b=k задает на плоскости (х;у) семейство прямых. Каким свойством обладает это семейство прямых?

(Для ответа на этот вопрос можно сначала взять несколько конкретных точек на прямой b=k и построить соответствующие им прямые на плоскости (х;у), затем выдвинуть гипотезу и попробовать ее доказать).
8) Какие точки плоскости (х;у) останутся неокрашенными, если покрасить все прямые из задачи 7)?
9) Рассмотрим семейство всех прямых плоскости (х;у), которые проходят через точку (1;1). Как это семейство прямых изображается на плоскости (k;b)?
10) Рассмотрим семейство всех прямых плоскости (х;у), которые проходят через точку (m;n). Как это семейство прямых изображается на плоскости (k;b)?
11) Рассмотрим на плоскости (k;b) прямую b=uk+v. Какое семейство прямых на плоскости (х;у) изображает эта прямая.
12) На координатной плоскости (k;b) изображено множество точек, соответствующее некоторому семейству прямых вида у=kх+b (см. рисунок). На плоскости (х;у) все эти прямые покрашены. Изобразите на плоскости (х;у) получившуюся покрашенную область.

13) На координатной плоскости (х;у) проведено три прямых, проходящих через одну точку: у=k1 х+b1 , у=k2 х+b2,



у=k3 х+b3. Верно ли, что три прямые

у=b1 х+k1 , у=b2 х+k2, у=b3 х+k3 так же проходят через одну точку?
14) На координатной плоскости (k;b) проведены прямые b=k и b= - k+2. Чему соответствуют эти прямые на плоскости (х;y)? Чему соответствует их общая точка?
15) На координатной плоскости (k;b) проведены прямые b=k+1 и b= k+2. Чему соответствуют эти прямые на плоскости (х;y)?

Сравните решение задач 14) и 15).


16) На координатной плоскости (k;b) проведены три прямые, проходящие через одну точку. Каждая такая прямая изображает некоторое семейство прямых на плоскости (х;у), как эти семейства прямых связаны между собой?
17) На координатной плоскости (k;b) проведено три параллельные прямые. Каждая такая прямая изображает некоторое семейство прямых на плоскости (х;у), как эти семейства прямых связаны между собой?


Ответы и решения.
2)

3) Прямая k=2 c выколотой точкой (2;0).




5)


Рис. 1 Рис. 2


Рис. 3 Рис. 4.




Общий ответ для рисунков 5 и 6. То, что точки внутри квадрата на плоскости



(k;b) не дадут нам новых закрашенных областей на плоскости (х;у), можно объяснить так: любая точка внутри квадрата лежит на отрезке, параллельном оси абсцисс плоскости (k;b) с концами на сторонах квадрата. На плоскости (х;у) это будет означать, что соответствующая выбранной точке прямая будет лежать в полосе между прямыми, соответствующими концам отрезка, то есть в покрашенной области.
6) Рис. 1. на плоскости (k;b) - отрезок, соединяющий точки (0;-1) и (0;1).

Рис. 2. на плоскости (k;b) - отрезок, соединяющий точки (-2;0) и (2;0).

Рис. 3. Объединение двух лучей (см. рисунок) .

Рис. 4. Возможно несколько решений.

Например, объединение луча (полуоси ординат в положительном направлении) и отрезка [0;2] на оси абсцисс. Или объединение двух лучей: полуоси ординат в положительном направлении и параллельного луча с вершиной в точке (2;0).


7) Так как b=k, то на плоскости (х;у) мы получаем семейство прямых вида у=kx+k. Если записать их в виде у=k(x+1), то легко увидеть, что все эти прямые проходят через точку (-1;0).


8) Останется неокрашенной прямая х = -1, за исключением точки (-1;0).
9) Подставим координаты точки (1;1) в уравнение прямой: k+b=1. Следовательно, на плоскости (k;b) этому семейству соответствует прямая b=1-k.
10) Аналогично задаче 9): прямая b = - mk + n.
11) Если b=uk+v, то все прямые на плоскости (х;у) имеют вид у=kx+uk+v. Запишем в виде

у=k(x+u)+v. Все прямые такого вида проходят через точку (-u;v).
12)


13) Трем прямым у=k1 х+b1 , у=k2 х+b2,у=k3 х+b3, на плоскости (k;b) соответствуют три точки (k1;b1 ),(k2 ;b2) и (k3 ;b3 ), лежащие по условию на одной прямой. Очевидно, что точки (b1;k1 ), (b2 ;k2) и (b3 ;k3 ) также лежат на одной прямой, а, значит, соответственные им прямые пересекаются в одной точке.


14) Прямой b=k на плоскости (х;y) соответствует пучок прямых, проходящих через точку (-1;0), прямой b= - k+2 соответствует пучок прямых, проходящих через точку (1;2). Общая точка этих прямых на плоскости (k;b) - точка (1; 1), ей соответствует прямая y=x+1 - общая прямая описанным пучкам.
15) Прямой b=k+1 на плоскости (х;y) соответствует пучок прямых, проходящих через точку (-1;1), прямой b = k+2 соответствует пучок прямых, проходящих через точку (-1;2). У этих пучков прямых есть общая вертикальная прямая х=-1, ей на плоскости (k;b) соответствует «бесконечно удаленная точка», принадлежащая двум параллельным прямым b=k+1 и b = k+2.
16) Три точки на плоскости (х;y), через которые проходят соответствующие пучки прямых, сами лежат на одной прямой.
17) Ответ такой же, как в задаче 16): три точки на плоскости (х;y), через которые проходят соответствующие пучки прямых, сами лежат на одной прямой. В задаче 17) эта последняя прямая вертикальна, а в задаче 16) – не вертикальна.


База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка