Digitális szűrők




Дата канвертавання19.04.2016
Памер64.21 Kb.
Digitális szűrők


  1. Diszkrét jelek leírása a frekvencia tartományban:

Az xnT diszkrét jel Fourier transzformáltja, definíciója a következő:

A folytonos jelekkel összehasonlítva a következő eltéréseket találjuk:

Az integrál helyett összegezést találunk a formulában

Az frekvencia változó helyett szerepel. Ez azt mutatja, hogy a frekvencia függvény periódussal ismétlődik. Ezért a frekvenciafüggvény ábrázolásánál elég csak az alap intervallumot, , figyelembe venni.

Az X frekvencia függvényt az xnT diszkrét jel spektrumának is nevezzük. A spektrum komplex függvény, amely valós és képzetes részből áll:



Vagy rövidebb formában:

A diszkrét idejű jelek esetén az inverz Fourier transzformáció az alábbi:

Az x[nT] és formulákat Fourier transzformációs párnak nevezzük, szimbolikus jelölésük:

Ha bevezetjük a =T szimbolikus frekvenciát, a formulák a következő alakban írhatók:



A relatív frekvencia bevezetésével az alap intervallum:
Gyakran előforduló függvények Fourier transzformáltjai láthatók az alábbiakban. A Diszkrét Fourier transzformáció képletét alkalmazva az összefüggések könnyen bizonyíthatók.
Időtartomány: Frekvencia tartomány:







Időtartomány: Frekvencia tartomány:






1. ábra: Fourier transzformációs párok néhány gyakori függvény esetén.



Digitális szűrők méretezése
A szűrők méretezése a frekvencia tartománybeli karakterisztikák magadásával kezdődik. Az amplitúdó karakterisztika megadása mellett bizonyos alkalmazások esetén a fázis-frekvencia karakterisztika is fontos. A lineáris fáziskarakterisztika gyakran követelmény.

Az amplitúdó-frekvencia diagram előírása az úgynevezett tolerancia diagrammal történik, amint az a következő ábrán látható.


2. ábra: Aluláteresztő szűrő paramétereinek a specifikációja.


A tervezés a következő lépésekből áll:


  1. Eldöntjük, FIR vagy IIR struktúrával akarjuk-e közelíteni az előírt paramétereket

  2. Kiválasztjuk a szűrő fokszámát és meghatározzuk az együtthatókat

  3. Megválasztjuk a szűrő struktúrát a kvantálás hatásának a figyelembe vételével

  4. Ellenőrizzük, mennyiben tesz eleget a szűrő az előírt specifikációknak. Ha nem megfelelők a paraméterek, módosítás után megismételjük a procedúrát.

A szűrő tervezése így iteratív módon történik.
A legfontosabb szűrő típusok:

  1. Aluláteresztő szűrő

  2. Felüláteresztő szűrő

  3. Sáváteresztő szűrő

  4. Sávvágó szűrő.

Az ideális szűrőkarakterisztikák összefoglalva a következő, 3. ábrán láthatók.


FIR szűrők tervezése.
FIR szűrők esetén a lépések a következők:

  1. Szűrő specifikáció megadása

  2. Együtthatók számítása

  3. Struktúra kiválasztása

  4. Szimuláció (opcionális)

  5. Megvalósítás digitális jelprocesszorral




3. ábra: ideális szűrő karakterisztikák

A specifikáció a fentiekben említett H() és () amplitúdó és fázis függvény megadásával történik. Általában, ()-t egyszerűen lineárisnak, vagy nem lineárisnak specifikáljuk. Az amplitúdó paraméterek megadása viszont minden esetben a fenn említett tolerancia diagrammal történik.


Együtthatók meghatározása
Az amplitúdó-frekvencia diagramban megadott karakterisztika megközelítése a megadott tűréshatárokon belül elsősorban az együtthatók meghatározási módjától függ. A FIR szűrők leglényegesebb tulajdonsága a véges impulzus válasz. Ha ez ismert, a szűrő megvalósítható. Az előzőekben azt is láttuk, hogy az impulzus válaszból az is eldönthető, hgy a szűrő fázis késleltetése lineáris, vagy nem.
a. A diszkrét idejű rendszer Fourier transzformációján és ablak függvényen alapuló tervezés

A tervezés az ideális amplitúdó-frekvencia karakterisztikából, –ből indul ki. E diagram lehető legjobb közelítése a cél. Közvetlenül az ideális átviteli karakterisztikából inverz Fourier transzformációval meghatározzuk az impulzus választ, hd[n]-t. Ez alapján azonban a szűrőt nem lehet megvalósítani, mivel az impulzus válasz

a. nagy vagy végtelen hosszúságú,

b. nem kauzális függvény, azaz hd[n] ≠0, n<0 esetén.


Emiatt az impulzus válasz függvény hosszát limitálni kell egy elfogadható L hosszra, valamint a kapott válasz függvényt el kell tolni (késleltetni kell), hogy az impulzus válasz kauzális legyen. A lépések a 4. ábrán láthatók. A végeredmény a hd[n] függvény egy közelítése, h[n]. A h[n] impulzus válasz értékei megegyeznek a szűrő együtthatókkal


4. ábra: A Fourier transzformáción alapuló együttható számítás lépései.
Az impulzus válasz függvény csonkítása azonban a karakterisztikában túllendülést és lengéseket okoz. Ez az un. Gibbs jelenség. A következő ábrán az átviteli karakterisztika látható különböző hosszúságú válaszfüggvény esetén.


5. ábra. Az ideális aluláteresztő szűrő közelítése különböző hosszúságú impulzus válasz függvényekkel.

A hullámosság és az átmeneti tartomány változás magyarázata a következő:


A válasz függvény csonkítása az időtartományban úgy történt, hogy egy négyszögletes ablak függvénnyel, w[n]-el szoroztuk:

A frekvencia tartományban ez megfelel és konvolúciójának.




A ablak függvény az 1d ábrán látható. A konvolúció eredménye a 6. ábrán látható.
A paraméterek javíthatók, ha másféle ablak függvényt választunk. Az 1. táblázatban különféle ablak függvények paraméterei láthatók.



Ablak típusa

Átmeneti sáv szélesség (normalizált) f

Áteresztő sáv hulámosság [dB]

Vágási sáv

Csillapítás [dB]

Négyszög

0.9/N

0.7416

21

Hanning

3.1/N

0.0546

44

Hamming

3.3/N

0.0194

53

Blackman

5.5/N

0.0017

74

A táblázatban f az átmeneti sáv normalizált sávszélessége:




, az átmeneti sáv szélessége.

6. ábra: A w[n] ablak függvény hatása.
Hanning ablak függvény esetén az impulzus válasz hossza:
Az egyes ablak függvények a következők:
Négyszög függvény:

Bartlett Függvény:



Hanning függvény:

Hamming függvény:

Blackman függvény:

Kaiser függvény:

a képletben I0(x) Bessel függvény:

A Kaiser ablak függvény különböző  értékek esetén más-más karakterisztikát eredményez.


7. ábra: ablak függvények típusai.
A legutolsó lépésben meghatározhatók a szűrő együtthatók:

A 8.ábra bemutatja, milyen eredmények adódnak, L=31 impulzus válasz esetén. Az alkalmazott ablak függvények:

a)

I. Négyszög



II. Bartlett

III. Hanning

IV. Hamming

V. Blackman

b)

Kaiser függvény különféle  értékek esetén.



Az ábrák mutatják, hogy a megfelelő ablak függvény megválasztásával elérhetők az előírt szűrő paraméterek.

a)

b)


8. ábra: Ablak függvények megválasztásának hatása.
Az egyes szakirodalmak az ablak függvényeket gyakran nem pontosan azonosan definiálják. Például a Hanning függvény esetén az alábbi formulák fordulhatnak elő:




9. ábra: A Hanning ablak diszkrét idejű függvénye a háromféle definíció alapján.

b. Diszkrét Fourier transzformáción alapuló tervezés
A tervezés alapja az, hogy az L hosszúságú impulzus válaszú FIR szűrő L pontos direkt Fourier transzformáltját konvertáljuk a amplitúdó-frekvencia karakterisztikává. Az elvet megfordíthatjuk: -ból kiindulva, meghatározzuk az L pontos inverz diszkrét Fourier transzformáltat. A módszer a 10. ábrán látható, az ideális függvény és L=33 esetre.


10. ábra: Szűrő tervezés DFT alapján.
Hp[k]-ból kiindulva 33 pontos IDFT- segítségével meghatározzuk a hp[n] impulzus választ. Ebből előállítjuk a megvalósításra alkalmas h[n] impulzus választ.

Az így kapott karakterisztika pontosan egybeesik a Hp[k] frekvencia mintáival, de a közbenső intervallumokban általunk nem kontrollált hibák lesznek. Ezt mutatja a hp[n] Fourier transzformáltja, az amplitúdó és fázis karakterisztika.

A hiba azonban nem túl jelentős, ha az inverz diszkrét Fourier transzformált számításakor nemcsak az amplitúdót adjuk meg, hanem pontosan definiáljuk a fázist is:



Ez lineáris fázis karakterisztikát is eredményez.

IIR szűrők tervezése
A FIR szűrőkkel ellentétben az IIR szűrők H(z) átviteli függvénye pólusokat és zérus helyeket egyaránt tartalmaz. Ezért hasonlóan az analóg szűrőkhöz, tervezésük gyakran a pólus és zérus helyes leírásból indul ki. Sok módszer az analóg szűrő típusokon alapul ( Butterworth, Bessel, Chebishev, elliptikus vagy Causer szűrők). Emellett lehetőség van arra is, hogy ne folytonos szűrőből induljunk ki, hanem erre a célra a z tartománybeli analízist használjuk. A pólusok jelenléte miatt az IIR szűrők lehetnek labilisak is. Ezért a tervezésnél erre is tekintettel kell lenni, a szűrőt stabilitás szempontjából is ellenőrizni kell.

IIR szűrők esetén nincs lehetőség arra, hogy a fázismenetet is előírjuk az együtthatók megadásával. Ha az amplitúdót és fázist is specifikálni kell, a következőképpen kell eljárnunk:



  1. Megtervezzük az IIR szűrőt az előírt amplitúdó karakterisztikával

  2. Ezután megtervezzük az előírt fáziseltolást létrehozó fokozatot az előzőleg megtervezett szűrővel

  3. Ezután kaszkádosítjuk a két fokozatot


a. Impulzus válasz invariancián alapuló tervezés
E módszer esetén az ismert analóg szűrő súlyfüggvényéből - impulzus válasz, ha(t) - és ennek frekvencia függvényéből – Ha() - indulunk ki. Az IIR szűrő hd[n] impulzus válasza a mintavételi pontokban meg kell, hogy egyezzen a folytonos szűrő impulzus válasz függvényével:

T a diszkrét rendszer mintavételi periódusideje.

Az előzőek alapján felírható a diszkrét rendszer amplitúdó-frekvencia függvénye:


Ahol


A módszert az alábbi ábra illusztrálja.


11. ábra: Impulzus válasz invariancián alapuló módszer
A módszer problémája, hogy alkalmazhatósága a T mintavételi idő nagyságától függ, a frekvencia függvénynél előforduló átlapolás miatt („aliasing” jelenség). Azaz, az időtartományban meglévő hasonlóság a frekvencia tartományban nem áll fenn kis mintavételi frekvenciák esetén.
Példa: Legyen az analóg szűrő átviteli függvénye:

A Laplace transzformált:


A súlyfüggvény táblázatból meghatározható:

A diszkrét impulzus válasz:



A z transzformált pedig:

A rendszer blokkvázlata az alábbi:

12. ábra: a szűrő blokkvázlata.
Hasonlítsuk össze az analóg és a diszkrét átviteli függvényt:

A Ha(s) függvénynek pólusa van az s =B helyen, amíg a Hd(z) diszkrét rendszer pólusa a helyen található.

Ez alapján megfogalmazható a tervezési módszer általános szabálya:

Az analóg szűrő minden p = pk pólusát át kell konvertálni a pólusokká.

Általában az analóg szűrő az alábbi formában adott:




A tervezés során a diszkrét szűrőt az alábbi formában kapjuk:

A stabil analóg szűrőből így konvertált diszkrét szűrő is stabil lesz minden esetben.

b. A differenciálegyenlet helyettesítése differencia egyenlettel
Az analóg szűrő az átviteli függvényével adott:

Ebből felírható a rendszer differenciál egyenlete:

Ezután közelítjük a rendszert a differencia egyenletével:

Az yd[n] a diszkrét szűrő kimeneti jele.
A módszert általánosíthatjuk is:




Így a diszkrét IIR szűrő átviteli függvénye az alábbi lesz:

A módszer az s síkot a z síkra képezi le a 13. ábrának megfelelően. Az s sík origója ( s=0) megfelel a z sík 1 pontjának. Az s=j és s=-j pontok a z=0 pontba kerülnek. A7 s sík képzetes tengelye pedig megfelel a z síkon a 0.5 sugarú kör kerületének. Az s sík stabil régiója ( vonalkázott) a z síkon szintén stabil tartományba kerül, a kör belsejébe, tehát a diszkrét szűrő is stabil lesz, ha az analóg rendszer stabil volt.

A frekvencia tartománybeli viselkedés azonban nem lesz azonos. Ez akkor lenne azonos, haa vonalkázott s tartomány leképezése az egységsugarú kör belsejére történne. Ehhez közel csak a kis frekvenciákhoz tartozó területekre igaz, ahol . Tehát a közelítés csak a mintavételi frekvenciánál jóval kisebb frekvenciákra lesz megfelelő.


13. ábra: sz leképezés.


A derivált közelítésének bemutatott módszerét ”backward difference” (visszafelé differencia) módszernek nevezik:

Egy másik lehetőség a „”forward difference” ( előre differencia) módszer:

Ez alapján az s és z változók közötti összefüggés:
és
Ez esetben az s tartomány képzetes tengelye függőleges egyenesbe képződik le a z síkon, amint a 14. ábra mutatja. Ezért a frekvencia tartománybeli viselkedés ezúttal is csak kis frekvenciákon lesz hasonló.

E tulajdonsága miatt a módszert csak néhány speciális alkalmazás esetén használják, melyekre nem térünk ki ( pl. kapcsolt kapacitású szűrők).


14. ábra: s-z leképezés z= 1+sT esetén.


c. Szűrő tervezés bilineáris transzformációval

A leggyakrabban alkalmazott a folytonos szűrőt kiindulásként használó módszerek közül.

Az s-z leképezés az alábbi képlet szerint történik:
, illetve

A leképezés a 15. ábra szerint történik.

A módszer az s sík képzetes tengelyét az egység sugarú kör kerületére képezi le, az s=0 pont a z=1 pontba kerül. Az s=+j és s=-j pontok egyaránt a z=-1 pontba képződnek le. Az s tartomány negatív valós része az egység sugarú kör belsejének felel meg. Ily módon mindig stabil diszkrét rendszert kapunk, ha a kiindulási analóg rendszer stabil.



15. ábra: s-z leképezés bilineáris transzformáció esetén.

Példa:
Legyen a folytonos rendszer átviteli függvénye:



Írjuk fel a diszkrét rendszert a bilineáris transzformációval:

A frekvencia függvények A=1000 és T=0.001esetén a 16. ábrán láthatók.

16. ábra: a bilineáris transzformációval kapott frekvencia függvények.

Az ábrán látható, hogy kétféle frekvencia szerepel: a, az analóg rendszer és d, a diszkrét rendszer frekvenciája.




, illetve
Egyik fő tulajdonsága a bilineáris leképezésnek, hogy az analóg rendszer teljes frekvenciáját leképezi a diszkrét rendszer alap intervallumára .

Az a=0 pont megfelel a = 0 pontnak, az a= + pontot áttranszformálja a = pontba, míg aza= - pontot a = - pontba képezi le.


Az analóg és diszkrétfrekvenciák között az alábbi összefüggés vezethető le:



s=j és , összefüggések figyelembe vételével:


Azaz, a két frekvencia között az összefüggés nem lineáris, amint az a 17. ábrán látható. A jelenség a frekvencia „warping”, eltérés. Pozitív következménye, hogy a transzformáció sohasem okoz frekvencia átlapolást, az aliazing jelenség nem fordul elő. Viszont a tervezés folyamán a frekvencia karakterisztika specifikációjánál ezt figyelembe kell venni és a diszkrét szűrő frekvenciamenetét módosítani kell. E folyamatot ábrázolja a 18. ábra.

17. ábra: Az analóg és diszkrét frekvenciák közötti összefüggés bilineáris transzformáció esetén.

18. ábra: a frekvencia torzulás, „warping” bilineáris transzformáció esetén.

19. ábra: A diszkrét szűrő frekvencia karakterisztikája bilineáris transzformáció esetén.








База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка