Дыферэнцыяльная геаметрыя глава Лініі ў еўклідавай прасторы




Дата канвертавання05.05.2016
Памер50.68 Kb.



ДЫФЕРЭНЦЫЯЛЬНАЯ

ГЕАМЕТРЫЯ

Глава 1. Лініі ў еўклідавай прасторы

§1. Вектар-функцыя аднаго скалярнага аргумента

§2. Паняцце лініі. Гладкая лінія

§3. Датычная да гладкай рэгулярнай лініі

§4. Даўжыня лініі. Натуральная параметрызацыя

§5. Крывізна лініі, дадзенай у натуральнай параметрызацыі



ГЛАВА 1. ЛІНІІ Ў ЕЎКЛІДАВАЙ ПРАСТОРЫ

§ 1. Вектар-функцыя скалярнага аргумента

1. Вектар-функцыя. У гэтым параграфе разгледзім паняцце вектар-функцыі аднаго скалярнага аргумента.

Няхай некаторы лікавы прамежак, – трохмерная вектарная еўклідава прастора. Няхай кожнаму ліку пастаўлен у адпаведнасць адзіны вектар з вектарнай прасторы . У гэтым выпадку кажуць, што на прамежку вызначана вектар-функцыя аднаго скалярнага аргумента.

А з н а ч э н н е. Вектар-функцыяй аднаго скалярнага аргумента называецца адлюстраванне : некаторага прамежка у вектарную еўклідаву прастору .

2. Каардынатныя функцыі. Няхай , , – артанармаваны базіс у вектарнай еўклідавай прасторы . Кожны вектар можам раскласці па вектарах , , : =.

Такім чынам, для вектар-функцыі вызначаюцца тры скалярныя функцыі , , , .

Функцыі , , , называюцца каардынатнымі функцыямі вектар-функцыі у базісе , , .

3. Алгебраічныя аперацыі для вектар-функцыяй. Для вектар-функцый вызначаюцца алгебраічныя аперацыі як для вектароў: складанне, адыманне, множанне на лікавую функцыю, скалярны, вектарны і змешаны здабытак. Уводяцца гэтыя аперацыі наступным чынам:

1) (складанне).

2) (адыманне).

3) (множанне на лікавую функцыю)

4) (скалярны здабытак).

5) ( вектарны здабытак).

6) (змешаны здабытак).

3. Ліміт вектар-функцыі. Для вектар-функцыі вызначаецца паняцце ліміта. Дадзім яго азначэнне.

А з н а ч э н н е. Пастаянны вектар называецца лімітам вектар-функцыі у пункце , калі выконваецца ўмова



.

Калі вектар з’яўляецца лімітам вектар-функцыі , тады ўжываецца абазначэнне .

Ліміт вектар функцыі мае ўласцівасці, якія вызначае наступная тэарэма.

Тэарэма 1 (прымета ліміта). Для таго, каб пастаянны вектар з’яўляўся лімітам вектар-функцыі

неабходна і дастаткова, каб выкон-валіся наступныя ўмовы: , , .

Тэарэма 2 (уласцівасці ліміта). Няхай , тады:

1) = ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) = .

Д о к а з. Скарыстаем тэарэму 1. Доказ уласцівасцей 1)-6) зводзіцца да тэарэм аб лімітах арыфметычных аперацый над скалярнымі функцыямі, якія даказаны ў курсе матэматычнага аналізу. Напрыклад, дакажам першую ўласцівасць.

Няхай і

, а ,

. Паколькі і

, то згодна тэарэме 1 і

.

Зразумела, што



і

Паколькі , то згодна тэарэме 1



. Аналагічна даказваюцца астатнія уласці-васці.

4. Непарыўнасць вектар-функцыі. Як і для скалярных функцый для вектар-функцый вызначаецца паняцце непарыўнасці.

А з н а ч э н н е. Вектар-функцыя называецца непарыўнай у пукце , калі .

Вектар-функцыя называецца непарыўнай на прамежку , калі яна непарыўная ў кожным пункце.

Тэарэма 3 ( прымета непарыўнасці). Для таго, каб вектар-функцыя , была непарыўнай у пункце , неабходна і дастаткова, каб былі непарыўнымі ў гэтым пункце яе каардынатныя функцыі.

Тэарэма 3 вынікае з тэарэмы 1.



Тэарэма 4 (уласцівасць непарыўнасці). Няхай на прамежку непарыўныя вектар-функцыі () і скалярная функцыя , тады на гэтым прамежку непарыўныя функцыі:

1) ;

2) ;

3) ;

4).

Доказ тэарэмы можна правесці выкарыстаўшы тэарэму 3.



5. Дыферэнцавальная вектар-функцыя. Для вектар-функцыі вызначаецца паняцце дыферэнцавання. Дадзім азначэнне.

А з н а ч э н н е. Вектар-функцыя , дадзеная на прамежку , называецца дыферэнцавальнай у пункце , калі існуе ліміт



. Гэты ліміт называецца вытворнай вектар-функцыі у пункце і абазначаецца: або .

Калі вектар-функцыя мае вытворную ў кожным пункце , тады яна называецца дыферэнцавальнай на .



Тэарэма 5 (прыметы дыферэнцавальнасці). Для таго, каб вектар-функцыя была дыферэнцавальнай у пункце , неабходна і дастаткова, каб яе каардынатныя функцыі былі дыферэнцавальнымі ў пункце , пры гэтым выконваецца роўнасць
Д о к а з. Неабходнасць. Няхай вектар-функцыя дыферэнцавальная ў пункце . Дакажам, напрыклад, што функцыя дыферэнцавальная ў пункце .

Зразумела, што =

= .

Значыць, =



. Аналагічна даказваецца існаванне вытворных для функцый і . Такім чынам атрымліваем , што

.

Дастатковасць дакажыце самастойна.



Тэарэма 6 (уласцівасці вытворнай).

1) ;

2) ;

3) ;



4) +.

Пытанні да § 1

  1. Дайце азначэнне вектар-функцыі аднаго скалярнага аргумента.

  2. Як вызначаюцца каардынатныя функцыі вектар-функцыі?

  3. Што называецца лімітам вектар-функцыі?

  4. Сфармулюйце і дакажыце прымету ліміта вектар-функцыі

5. Сфармулюйце ўласцівасці ліміта вектар-функцыі. Дакажыце уласцівасць: няхай , тады

;

  1. Дайце азначэнне непарыўнасці вектар-функцыі ў дадзеным пункце.

  2. Якая ўмова з’яўляецца неабходнай і дастатковай для непарыў-насці вектар-функцыі? Дакажыце, непарыўнасць змешанага здабытка:.

  3. Якая вектар-функцыя называецца дыферэнцавальнай? Што называецца вытворнай вектар-функцыі?

9. Сфармулюйце ўласцівасці вытворнай. Дакажыце ўласцівасць:

.

10. Вылічыце вытворную ў пункце вектар-функцыі

, дзе , ,



База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка