Дыферэнцыяльнае злічэнне для функцыі некалькіх зменных паняцце функцыі некалькіх зменных




старонка1/7
Дата канвертавання07.05.2016
Памер0.88 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7
  1. Глава 1. Дыферэнцыяльнае злічэнне для функцыі некалькіх зменных

    1. §1.Паняцце функцыі некалькіх зменных


Нагадаем, што Rn – n – мерная эўклідава прастора, элементамі якой з’яўляюцца вектары х = (х12,…, хn), y =(y1,y2 ,…, yn), з метрыкай

? x,y? Rn.

Азначэнне 1.1 Мноства Е? Rn называецца лінейна злучным, калі любыя яго два пункты можна злучыць непарыўнай крывой, якая цалкам знаходзіцца ў Е.

Азначэнне 1.2. Злучнае адкрытае мноства Е? Rn называецца абсягам.

Замкнёы абсяг – абсяг з мяжой.



Азначэнне 1.3. Адлюстраванне f: з RnR1называецца сапраўднай функцыяй n– сапраўдных зменных (карацей n зменных)

Калі лік n не паказан, то азначанае адлюстраваннe называецца функцыяй некалькіх зменных.

Значэнне функцыі абазначаецца y = f(x), дзе x?Rn, y?R1, або y = f(x), дзе

х = (х12,…, хn), y=f (х12,…, хn), або y = f(M), дзе M(х12,…, хn)?Rn. Каардынаты х12,…, хn пункта x або М называюцца аргументамі функцыі.

Азначэнне 1.4. Мноствам вызначэння функцыі n – зменных называецца сукупнасць значэнняў x?Rn, на якой азначана функцыя y = f(x). Гэта мноства абазначаецца D(f).

Заўвага 1.1. Мноства вызначэння – абсяг, калі яно злучнае.

Азначэнне 1.5. Мноствам значэнняў функцыі n – зменных называецца сукупнасць усіх значэнняў у для кожнага пункта х? D(f) . Гэта мноства абазначаецца Е(f).

Відавочна, што D(f) ?Rn, Е(f) ?R.

Для функцыі 2-х зменных прынята абазначэнне z = f(x,y), трох зменных – u = f(x, y, z).

Як і функцыя адной зменнай, функцыя некалькіх зменных можа быць задана рознымі спосабамі: аналітычна, таблічна, графічна, з дапамогаю слоў.



Прыклад 1.1.Знайсці мноства вызначэння функцыі z = .

D(f) = {(x,y)?16 – x2 y2? 0} – замкнёны круг . Гэта звязнае мноства і таму D(f)- замкнёны абсяг.

Азначэнне 1.6. Графік функцыі некалькіх зменных y = f(x) – мноства пунктаў прасторы Rn+1 : .

Графік функцыі 2-х зменных – мноства пунктаў прасторы R3:



.

Большасць вядомых паверхняў другога парадку – графікі функцый 2 – х зменных.

Напрыклад: z = x2+y2 – парабалоід абароту; z = - паўсфера.

Азначэнне 1.7.Мноства пунктаў х=(x1,x2,...,xn) прасторы Rn, якія задавальняюць раўнанню f(x1,x2,...,xn)=C, дзе С -- адвольная сталая, называецца мноствам ўзроўня функцыі f, якое адпавядае дадзенаму значэнню С.

Калі n=2, тады мноства ўзроўня называецца лініяй узроўня.

Калі n=3, тады -- паверхняй ўзроўня.

Kалі n>3, тады – гіперпаверхняй узроўня.



Прыклад 1.2. Знайсці лініі ўзроўня функцыі z=xy.

Рашэнне.У дадзеным выпадку xy=C. Таму лініямі ўзроўня з'яўляюцца гіпербалы, калі С?0.

Прыклад 1.3.Знайсці паверхні ўзроўня функцыі .

Рашэнне.Паверхні узроўня дадзенай функцыі задаюцца раўнаннем , якое вызначае сукупнасць сфер радыусаў R= з цэнтрам ў пачатку каардынат, калі C>0.

Моства ўсіх ліній (паверхняў) узроўны складае скалярнае поле.

Тэрмін “скалярнае поле” паходзіць ад лацінскага слова scala (скала) – “шкала”, “лесвіца”.

Азначэнне 1.8. Скалярнае поле – функція ?(М), азначаная на некаторым абсягу, значэннямі якой з’яўляюцца сапраўдныя лікі. У нашым выпадку гэта функцыя z(M), якая задавальняе ўмове z(M) = C.

  1   2   3   4   5   6   7


База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка