Дапаможны матэрыял па геаметрыі №3




Дата канвертавання30.06.2016
Памер26.48 Kb.


Дапаможны матэрыял па геаметрыі №3

да самастойнай працы студэнтаў

2 курс 2 семестр

2007–2008 н.г.


Тэарэма (аб заданні квадрыкі пяццю пунктамі).

Для кожных пяці пунктаў праектыўнай плоскасці, ніякія тры з якіх не калінеярны, існуе адзіная квадрыка, ім інцыдэнтная.



Доказ.

Разгледзім праектыўны рэпер



Е1, Е2, Е3, Е0, (1)

пункты якога – адвольныя чатыры пункты з пяці дадзеных. Апошні пяты пункт абазначым праз С. Тады ў рэперы (1)



Е1(1:0:0), Е2(0:1:0), Е3(0:0:1), Е0(1:1:1), С(с1: с2:с3).

Калі патрэбная квадрыка Ф існуе, то яна задаецца ў рэперы (1) некаторым раўнаннем выгляду



а11х12+ а22х22 +а33х32+а12х1х2+а13х1х3+а23х2х3=0, (2)

дзе не ўсе aij=0. Паспрабуем падабраць каэфіцыенты aij так, каб каардынаты ўсіх пяці пунктаў задавальнялі раўнанню (2).

Калі падставіць ў (2) каардынаты пунктаў Е1, Е2, Е3, то атрымаем

а11=а22=а33=0.

Таму раўнанне Ф мае выгляд



а12х1х2+а13х1х3+а23х2х3=0. (3)

Пры гэтым каардынаты пунктаў Е0 і С павінны задавальняць (3). Гэта значыць, што каэфіцыенты а12, а13, а23 павінны задавальняць сістэме раўнанняў



(4)

Атрымалася лінейная аднародная сістэма адносна а12 , а13, а23, у якой колькасць раўнанняў меньш за колькасць невядомых. Такая сістэма заўсёды мае ненулявыя рашэнні (чаму?) і адсюль вынікае існаванне квадрыкі.

Разгледзім матрыцу А сістэмы (4):

.

Відавочна, што

1rangА2.

Дапусцім, што rangA=1. Тады



с1с2=с1с3=с2с3.

Калі хоць адно сі=0, то С супадае з адным з пунктаў Е1, Е2, Е3 (чаму?). Калі ўсе сі0, то с1=с2=с3 і С=Е0. І тое і другое – немагчыма. Таму rangА=2.

З курса алгебры вядома, што мноства ўсіх рашэнняў аднароднай сістэмы (4) утварае вектарную прастору радкоў W вымернасці 3 – rangA=3–2=1. А паколькі dimW=1, то ўсе ненулявыя рашэнні сістэмы (4) прапарцыянальны і прыводзяць да эквівалентных раўнянняў (3). Гэта даказвае адзінасць квадрыкі Ф. Тэарэма даказана.

Заўвага. Мы маем магчымасць выпісаць агульнае рашэнне сістэмы (4) у яўным выглядзе.

Паколькі rangA=2, то сярод дэтэрмінантаў



не ўсе роўныя нулю. Няхай, напрыклад, d10. Тады сістэму (4) можна перапісаць у выглядзе



і выразіць а12, а13 праз а23, карыстаючыся правілам Крамера:



,

,

дзе а23 прымае адвольныя значэнні.

Такім чынам, сістэма (4) мае наступнае агульнае рашэнне:

.

Так як прапарцыянальныя рашэнні сістэмы (4) праводзяць да эквівалентных раўнанняў (3), то дастаткова разгледзіць выпадак а23=d1, пры якім атрымліваецца рашэнне

(d3, –d2, d1).

Гэтае ж рашэнне сістэмы (4) атрымліваецца і ў выпадку d20, і ў выпадку d30.

Усё гэта значыць, што квадрыка Ф у рэперы (1) задаецца раўнаннем

d3x1x2d2x1x3+d1x2x3=0,

ці больш падрабязна,



с3(с2с1)х1х2с2(с3с1)х1х3+с1(с3с2)х2х3=0. (5)

Раўнанне (5) спатрэбіцца нам пры доказе тэарэмы Паскаля.


Дацэнт Мілаванаў М.В.



База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка