Дапаможны матэрыял па геаметрыі №2




Дата канвертавання29.06.2016
Памер17.84 Kb.


Дапаможны матэрыял па геаметрыі №2

да самастойнай працы студэнтаў

2 курс 2 семестр

2007–2008 н.г.


Тэарэма Дэзарга.

Няхай дадзены два трохвяршынніка і пры гэтым паміж іх вяршынямі (а таму і паміж іх старанамі) ёсць узаемна адназначная адпаведнасць. Калі тры прамыя, інцыдэнтныя парам адпаведных вяршынь, інцыдэнтны аднаму пункту, то тры пункты, інцыдэнтныя парам адпаведных старон, інцыдэнтны адной прамой.



Доказ.

Пры доказе тэарэмы будзем карыстацца праектыўнымі каардынатамі пунктаў плоскасці. У дадзеным выпадку найбольш простыя вылічыні атрымліваюцца ў праектыўным рэперы



А, В, С, S (1)

У гэтым рэперы



А(1: 0: 0), В(0: 1: 0), С(0: 0: 1), S(1: 1: 1).

У далейшым будзем атаясамляць пункты праектыўнай плоскасці з іх каардынатнымі слупкамі ў рэперы (1). Такім чынам,



Разгледзім пункт А1. Паколькі ён знаходзіцца на адной прамой з пунктамі А і S, слупок А1 ёсць лінейная камбінацыя слупкоў А і S (чаму?). А так як каардынатны слупок пункта вызначаны з дакладнасцю да лікавага множніка, то можна лічыць, што



адкуль


Аналагічна артымліваем, што



адкуль


Тут , і некаторыя сапраўдныя лікі, пра якія нічога дакладна сказаць нельга.

Разгледзім зараз пункт Р=ВСВ1С1. Так як РВС, то слупок Р ёсць лінейная камбінацыя слупкоў В і С, адкуль зразумела, што першы элемент Р роўны нулю. З другога боку, РВ1С1, так что

,

адкуль відаць, што першы элемент Р роўны . У выніку



.

Таму можна лічыць (чаму?), што



Р=В1–С1. (2)

Аналагічна атрымліваецца, што



Q=A1C1, R=A1B1. (3)

З роўнасцей (2) і (3) атрымліваем:



, , .

Нам застаецца праверыць, што P, Q i R належаць адной прамой. Для гэтага трэба пераканацца, што дэтэрмінант, складзены з каардынатных слупкоў гэтых пунктаў, роўны нулю. Сапраўды:





Тэарэма даказана.
Дацэнт Мілаванаў М.В.



База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка