Capitolo 1 – particelle in presenza di potenziale




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MECCANICA QUANTISTICA II
Docente: Stefano Sciuto

  • CAPITOLO 1 – PARTICELLE IN PRESENZA DI POTENZIALE




  • 1.0 - PARTICELLA LIBERA IN PRESENZA DI POTENZIALE


Supponiamo che il nostro sistema sia descritto dall’Hamiltoniana

Considerando il potenziale V sempre negativo, bisogna distinguere due situazioni, quella in cui la particella ha energia minore di zero e quella in cui la particella ha energia maggiore di zero.





- E<0

Classicamente la particella si muove nella regione in cui la propria energia è maggiore del potenziale esterno (regione compresa tra i punti 1 e 2). Quantisticamente la particella può anche spingersi un po’ al di fuori di questa regione. In particolare la funzione d’onda associata al moto della particella è una funzione a quadrato integrabile che tende esponenzialmente a zero per .



.

Lo spettro di autovalori dell’Hamiltoniana è uno spettro discreto. Gli autostati associati a tali autovalori sono stati legati.

Se uno stato è legato, la particella sostanzialmente non può andar via dalla zona in cui è confinata (un pochino sì, ma non troppo).

Le precedenti sono la traduzione del fatto che l’integrale esteso al volume  del modulo quadro della funzione d’onda tende a uno quando il volume tende ad infinito. Possiamo scrivere



vale a dire che >0 posso trovare un volume finito  in cui la probabilità di trovare la mia particella è 1-. Quindi non ho la certezza di trovare la mia particella in quel volume, ma posso avvicinarmi alla probabilità totale (1) bene quanto voglio.

La particella è quindi confinata al finito in quanto ha una probabilità piccola quanto voglio () di andarsene via.

Gli autostati dell’Hamiltoniana sono stati stazionari e quindi non dipendenti dal tempo. Questo significa che anche le relative probabilità sono indipendenti dal tempo e la particella rimane confinata all’interno del suo volume finchè il sistema non viene perturbato.


- E0 (l’uguaglianza vale solo per una particella libera)

In questo caso è come se il potenziale V non ci fosse. La particella ha un proprio impulso (pk) e la funzione d’onda associata ha un andamento oscillante (va come un’onda piana o un’onda sferica, ma in ogni caso non va a zero all’infinito):



La funzione d’onda non è una funzione a quadrato integrabile, ma è una distribuzione temperata



[funzionale lineare continuo: SC


dove T appartiene ad S’, spazio delle distribuzioni, mentre g appartiene a S, spazio delle funzioni di prova, infinitamente derivabili e rapidamente decrescenti all’infinito (più

di ogni potenza)]

lo spettro di autovalori è uno spettro continuo.

Si consideri come fatto in precedenza un volume finito  qualsiasi. La probabilità di trovare la particella all’interno di questo volume è



non esiste perché non è una funzione a quadrato integrabile. Per ovviare all’inconveniente si considera il limite:

dove a denominatore si integra su di un volume V che viene fatto tendere ad infinito. Poiché il modulo quadro della funzione d’onda è ancora una funzione oscillante, il suo integrale esteso ad un volume che tende ad infinito tende ad infinito.

Il risultato indica che la particella sta diffusa in tutto lo spazio ed ha probabilità nulla di essere trovata in un qualunque volume finito. La particella è non localizzata.

Con energie positive si può costruire un pacchetto d’onde; in questo caso la particella è localizzata, ma per ottenere questa situazione mischio tra loro impulsi diversi, combino linearmente autovettori diversi. Come risultato ho che il pacchetto d’onde evolve nel tempo. Applicando l’operatore di evoluzione temporale ad una combinazione lineare di autostati appartenenti a diversi autovalori dell’operatore impulso e quindi anche dell’energia si ottengono delle fasi non fattorizzabili e quindi che tengono conto dell’evolvere del tempo.

(col variare del tempo varia il modo in cui sono combinati i due vettori, varia il coefficiente davanti al secondo vettore. Il vettore risultante dalla combinazione lineare non si mantiene proporzionale a se stesso al variare di t).

Un pacchetto d’onde si sposta dunque come posizione, non sta fermo; per questo motivo è localizzato per un po’ di tempo, ma poi si sposta, non è uno stato stazionario.
1.1 - ESTENSIONE AD N PARTICELLE

Consideriamo l’Hamiltoniana di un sistema di N particelle in presenza di un potenziale:





TEOREMA 1.1.0

Hp:





Ts:

  1. Il valore di aspettazione di H in uno stato  qualsiasi è maggiore di V0:



  1. Lo spettro di H è contenuto nell’intervallo

[Vo, +) , Vo  Sp H iff V=Vo=cost  particella libera

(Vo, +) , se V(x)  cost



Dimostrazione

a)

Si deve dimostrare che l’energia totale della particella è maggiore di Vo. Classicamente l’energia totale potrebbe essere anche uguale a zero, nel caso la particella stesse ferma (per esempio al fondo di una buca di potenziale).



, (essendo p operatore hermitiano )

l’uguaglianza si avrebbe solo nel caso in cui . Ma se significa che l’autovalore dell’operatore impulso associato allo stato è nullo, e allo stesso tempo implica

, cioè la funzione d’onda non dipende dalla variabile x e quindi non appartiene allo spazio delle funzioni a quadrato integrabili. Per questo motivo l’uguaglianza non è contemplata.

, e poiché

, si ha:

.  

L’energia cinetica in Meccanica Quantistica è zero solo nel caso di una particella libera con energia totale nulla; in questo caso la funzione d’onda è una costante. Se l’energia cinetica è nulla, p=0 e dalla relazione di Heisenberg x=, la particella non è localizzabile.

Se invece c’è un potenziale di mezzo, la particella è confinata in una regione finita dello spazio, quindi x≠∞e conseguentemente p0. Se la particella è confinata ho un’incertezza finita nella posizione e quindi devo avere anche un’incertezza finita nell’impulso. La particella almeno un pochino si agita (classicamente la particella poteva anche starsene buona immobile al fondo della buca di potenziale).
b)

Tenendo presente il punto precedente:



Se E

[Dim. intuitiva:



dove rappresenta la probabilità che l’autostato ­ sia associato all’energia .

Se il valor medio è sempre maggiore di V0, anche tutti i valori possibili devono essere maggiori di V0]

_______________________


Esistono potenziale che non sono limitati inferiormente, ad esempio il potenziale coulombiano

Classicamente la particella può finire in fondo, dove V=-, mentre quantisticamente c’è un livello minimo di energia. Per esempio, nell’atomo di idrogeno:



dove compare il raggio di Bohr:

Supponiamo che la particella sia confinata ad una distanza r0 dal centro. In questo caso, l’incertezza sulla posizione sarà anch’essa dell’ordine di r0 x r0

Dalla relazione di Heisenberg:



e poiché


, si ha:

(1.1.0)

Classicamente per valori della distanza di equilibrio r0 molto piccoli, l’energia totale diminuisce moltissimo a causa della dipendenza da r del potenziale colombiano (1/r). Quantisticamente, come si vede dalla (1.1.0), col diminuire della distanza di equilibrio l’energia cinetica cresce moltissimo (1/r^2), più di quanto cresca in valore assoluto il potenziale. Per questo motivo l’energia totale della particella presenta un minimo, e non può andare sotto quel valore (“non può finire in fondo”).

Si può ricercare il valore della distanza r alla quale corrisponde il minimo in energia derivando rispetto ad r l’espressione (1.1.0) e ponendo uguale a zero tale derivata:



Altra prova del fatto che in meccanica classica non esiste la distanza di equilibrio r0 è la presenza della costante di Plank nella sua espressione (il limite della meccanica classica si ha per e poiché
ESEMPIO 1.1

Si consideri il seguente potenziale:



ci chiediamo per quali valori di s esista uno stato di energia minima. Qualora questo stato non esista, si prende l’Hamiltoniana e la si “butta via” perché la particella va a mettersi nel centro e lì rimane, perché bisognerebbe fornirle un’energia infinita per farla uscire.

Analogamente a quanto fatto prima scriviamo



e come prima c’è una contrapposizione tra i due termini che danno l’espressione di . Perché esista un’energia minima deve vincere il termine , si possono quindi fare le seguenti considerazioni:


  1. s < 2  esiste uno stato di energia minima: stato fondamentale. L’Hamiltoniana è limitata inferiormente, il problema ha senso.

  2. s > 2  non esiste uno stato fondamentale, il problema non ha senso.

  3. s = 2  bisogna vedere caso per caso.

____________
TEOREMA 1.1.1

Nel caso unidimensionale lo spettro discreto non è mai degenere



Dimostrazione (per assurdo)

Supponiamo che siano due autofunzioni appartenenti allo stesso autovalore E:

(1.1.1)

moltiplicando le (1.1.1) rispettivamente per u2 e u1 otteniamo



facendo la differenza di ambo i membri:



notando che



si ottiene





(1.1.2)

dove la cost dell’ultima espressione è stata posta uguale a zero perché per x il primo membro tende a zero essendo le due funzioni d’onda a quadrato integrabili.

Dall’ultima espressione si ricava:



e integrando ambo i membri nella variabile x



abbiamo ottenuto che le due funzioni d’onda sono proporzionali tra loro, ma questo significa che e non sono linearmente indipendenti, rappresentano un’unica autofunzione.  

Si ricordi che si ha degenerazione se esistono due autofunzioni linearmente indipendenti tra loro appartenenti allo stesso autovalore.

Per classificare la degenerazione bisogna prendere un altro operatore che commuti con H

Questo teorema non è applicabile al caso dello spettro continuo perché non posso fissare uguale a zero la costante che compare nell’espressione (1.1.2).

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­______________
Si vuole dimostrare ora un altro teorema, secondo cui lo stato fondamentale (se non si tiene conto dello spin) non è mai degenere. Per fare questo bisogna prima dimostrare due Lemmini
LEMMA 1

Hp:

, V reale



Ts:

posso scegliere autofunzioni di H reali



Dimostrazione

[ nell’atomo di idrogeno. Infatti le due fasi che compaiono a causa della presenza di m: exp(im) e exp(-im) danno origine ad un coseno]

Si consideri l’operatore

*: (x)*(x)

[* , H] = 0, quindi i due operatori diagonalizzano nella stessa base. Inoltre perché applicando due volte la * si ritorna alla situazione di partenza i suoi autovalori sono +1 e 1. Il primo e associato a funzioni reali, il secondo a funzioni immaginarie pure (quindi una generica autofunzione sarà combinazione lineare di funzioni reali e immaginarie pure)

( e * differiscono solamente per il segno della parte immaginaria)

se faccio la somma  + * trovo una  reale, se faccio la differenza trovo una  immaginaria purasarà combinazione lineare di funzioni reali e immaginarie pure.  
LEMMA 2

Le autofunzioni dello stato fondamentale non possono avere nodi (non possono annullarsi)

[nodo: punto dove una funzione si annulla e cambia segno]

Dimostrazione

con (a,b) finito o infinito.

Supponiamo



(quindi in x0 la funzione cambia segno, x0 non è un punto di massimo o di minimo)


[ è un’equazione differenziale del II ordine ellittica. Quindi se diamo come condizione al contorno e la derivata normale uguale a zero, la funzione è identicamente nulla].

Si consideri la funzione





, la derivata prima è discontinua nel punto in cui si annulla la (x), ma allora non è autofunzione di H, perché altrimenti scrivendo l’equazione di Schroedinger per gli stati stazionari a primo membro troverei una delta di Dirac (derivata seconda di , derivata prima di una discontinuità di prima specie), mentre a secondo membro non ho una delta e quindi l’equazione non può essere soddisfatta.

Nel primo integrale in xo ci potrebbero essere dei problemi a causa di ’’ che è una delta di Dirac, ma ( xo)=0, e quindi cancella la delta. Possiamo dunque integrare per parti:



(1.1.3)

il primo termine è nullo perché dalla definizione 0, x. Inoltre



in quest’ultimo passaggio si è utilizzato il Lemma 1 in quanto se 0 non fosse stata reale, ci sarebbero state delle fasi nella derivata e non avremmo più potuto concludere . Tenendo conto delle precedenti, la (1.1.3) diventa



Poiché non è autofunzione di H (ma sarà combinazione lineare di autofunzioni di H), per essere uguale ad E0 deve ricevere contributi da livelli energetici più alti e più bassi, ma questo non è possibile, perché al di sotto del livello associato a 0 non c’è più nulla, essendo 0 lo stato fondamentale:

e poiché non è un autostato di H,

siamo quindi di fronte ad un assurdo perché devono essere rispettate entrambe le condizioni:



concludiamo che non esiste un punto x0 appartenente all’intervallo (a,b) / 0(x0) = 0.  


TEOREMA 1.1.2

Lo stato fondamentale non è mai degenere



Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che ci siano due autofunzioni e entrambe associate all’autovalore del livello fondamentale. Allora una qualunque loro combinazione lineare sarà ancora autofunzione di H associata allo stesso autovalore:

è autofunzione associata al livello fondamentale e i parametri a, b della combinazione lineare possono essere scelti a piacere. Poniamo

Ma allora u(x) sarà autofunzione associata al livello fondamentale con un nodo nel punto x0  assurdo per il Lemma 2.  


COROLLARI

  1. L’autofunzione non degenere associata al livello fondamentale è pari, poiché una funzione dispari ha certamente almeno un nodo nell’origine.

  2. Le autofunzioni associate a tutti gli stati eccitati hanno almeno un nodo perché devono essere ortogonali alla funzione d’onda dello stato fondamentale:

0 non cambia mai segno, quindi affinché risulti



deve cambiare segno, altrimenti non c’è speranza (si sommano tra loro quantità aventi tutte lo stesso segno.

___________




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