Асноўная тэарэма об лінейнай залежнасці Тэарэма




Дата канвертавання01.07.2016
Памер15.46 Kb.
Асноўная тэарэма об лінейнай залежнасці

Тэарэма: Калі большая сістэма вектароў лінейна выражаецца праз меньшую, то большая сістэма – лінейна залежна.
Доказ.

Няхай


і

– дзве сістэмы вектароў вектарнай прасторы V, і сістэма (1) лінейна выражаецца праз сістэму (2). Пераканаемся, што сістэма (1) лінейна залежна.

Прыменім індукцыю па колькасці вектароў m сістэмы (2).

Няхай m=1. Тады s>1 і



Калі , то і сістэма (1) лінейна залежна, як кожная сістэма вектароў, якая змяшчае нулявы вектар.

Няхай . Тады

і

.

Мы бачым, што адзін з вектароў сістэмы (1) лінейна выражаецца праз другі вектар гэтай сістэмы. Таму сістэма (1) – лінейна залежна.

Няхай тэарэма ужо даказана для m=k. Пераканаемся, што тады яна верна і для m=k+1.

Па умове s>k+1 і

(3)

Калі , то з (3) вынікае, што сістэма (1) лінейна выражаецца праз сістэму , якая змяшчае k вектароў. І тады па дапушчэнню індукцыі можна сцвярджаць, што сістэма (1) лінейна залежна.

Няхай сярод не ўсе каэфіцыенты роўны нулю. Напрыклад, няхай . Адымая з усіх роўнасцей (3), пачыная з другога, першую роўнасть, памножанную на адпаведна, атрымаем такую сістэму роўнасцей:

(4)

З (4) вынікае, што сістэма вектароў



(5)

лінейна выражаецца праз сістэму вектароў



(6)

сістэма (5) змяшчае s-1 вектар, а сістэма (6) – k вектароў. Паколькі s>k+1, то s-1>k і па дапушчэнню індукцыі сістэма (5) лінейна залежна.

Нахай, напрыклад, лінейна выражаецца праз вектара . Тады, відавочна, будзе лінейна выражацца праз , так што сістэма (1) – лінейна залежная.

Гэтым завяршаецца доказ тэарэмы.



Дацэнт Мілаванаў М.В.



База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка