1) Найти экстремум функции
Вычислим частные производные первого порядка и найдем критические точки:
Исследуем точки на экстремум
Для точки  , получаем:
Значит в этой точке экстремума нет.
Для точки  , получаем:
Значит в этой точке экстремум есть. И это – минимум.
2) Найти экстремум функции
z= -2x2-4y2 –2xy+9x-5y+7
Вычислим частные производные первого порядка и найдем критические точки:
Исследуем точку М на экстремум
Для точки М, получаем:
Значит в этой точке экстремум есть – это максимум:
3) Найти экстремум функции z=xy(1-x-y)
z=xy(1-x-y)= xy-x2y-xy2
Вычислим частные производные первого порядка и найдем критические точки:
Исследуем на экстремум точки М1 (0;0) и М2 (1/3;1/3)
Для точки М1 , подставляя х=0, y=0, получаем:
Значит экстремума в этой точке нет.
Для точки М2 получаем:
Значит в этой точке экстремум есть – это максимум:
4) . Найти экстремумы функции при условии 
Запишем функцию Лагранжа
Вычисляем частные производные и составляем систему уравнений:
Так как
Если 1=1, то d2F>0, и, следовательно, в этой точке функция имеет условный минимум
zmin=
Если 2=-1, то d2F<0, и, следовательно, в этой точке функция имеет условный максимум
zmax= |