1 Найти экстремум функции

Вычислим частные производные первого порядка и найдем критические точки:

Исследуем точки на экстремум

Значит в этой точке экстремума нет.

Значит в этой точке экстремум есть. И это – минимум.

2) Найти экстремум функции

z= -2x²-4y² –2xy+9x-5y+7

Вычислим частные производные первого порядка и найдем критические точки:

Исследуем точку М на экстремум

Для точки М, получаем:

Значит в этой точке экстремум есть – это максимум:

z=xy(1-x-y)= xy-x²y-xy²

Вычислим частные производные первого порядка и найдем критические точки:

Исследуем на экстремум точки М₁ (0;0) и М₂ (1/3;1/3)

Для точки М₁ , подставляя х=0, y=0, получаем:

Значит экстремума в этой точке нет.

Для точки М₂ получаем:

Значит в этой точке экстремум есть – это максимум:

4) . Найти экстремумы функции при условии

Запишем функцию Лагранжа

Вычисляем частные производные и составляем систему уравнений:

Так как

Если ₁=1, то d²F>0, и, следовательно, в этой точке функция имеет условный минимум

z_min=

Если ₂=-1, то d²F<0, и, следовательно, в этой точке функция имеет условный максимум