§ Множанне вектара на лік




Дата канвертавання18.05.2016
Памер67.07 Kb.


§ 3. Множанне вектара на лік
А з н а ч э н н е. Здабыткам вектара на сапраўдны лік называецца вектар, які абазначаецца і задавальняе ўмовам:

1) , дзе – модуль ліку .

2) , калі >0 і , калі <

Калі альбо , тады па азначэнню лічыцца, што =.

Напрыклад, няхай – паралелаграм, – пункт перасячэння яго дыяганалей. Тады , ,

(рыс.20).


Рыс. 20 Рыс. 21 Рыс. 22


Прывядзём яшчэ два прыклады. Калі пункт – пункт перасячэння медыян , і трохвугольніка , тады , , (рыс. 21). Няхай дадзен папралелепипед , – пункт перасячэння дыяганалей грані , – пункт перасячэння дыяганалей паралелепіпеда. Тады , , (рыс. 22).

П ы т а н н і: 1) Пры якой умове, пры множанні вектара на лік , змяняецца накірунак вектара у параўнанні з вектарам ?

2) На які лік трэба памножыць вектар , каб вектар быў процілегла накіраваны з вектарам і меў даўжыню ў тры разы меньшую даўжыні вектара ?

Множанне вектара на лік мае шэраг уласцівасцей.

Т э а р э м а 1. Для любых вектараў , , і любых сапраўдных лікаў і выконваюцца ўласцівасці:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5).

Д о к а з . Дакажам уласцівасць 3) .

Будзем разлядаць выпадак, калі і . Калі калі адзін з лікаў роўны нулю альбо , тады роўнасць 3) відавочна выконваецца.

Няхай і . Дакажам, што вектары і роўныя. Для гэтага неабходна дказаць, што яны маюць роўныя даўжыні і аднолькава накіраваныя.



1. Дакажам, што вектары і маюць роўныя даўжыні.

Па азначэнню множання вектара на лік маем, што



(1)

(2)

З роўнасцей (1) і (2) вынікае, што .



2. Дакажам, што вектары і аднолькава накіраваныя.

Магчымы два выпадкі : > і < .



Разгледзім выпадак : > . У гэтым выпадку альбо кожны з лікаў дадатны, альбо кожны з іх адмоўны.

а) Няхай > і > .

Паколькі > , то згодна з азначэннем множаня вектара на лік, вектар аднолькава накіраваны з вектарам : . Паколькі > , то вектар аднолькава накіраваны з вектарам : . Адсюль вынікае , што вектар аднолькава накіраваны з вектарам : (3).

Паколькі > , то вектар аднолькава накіраваны з вектарам : (4). З (3) і (4) вынікае, што . Такім чынам, мы даказалі, што ў выпадку, калі > і > вектары і маюць роўныя даўжыні і аднолькава накіраваныя, значыць, у гэтым выпадку =.

б) Няхай < і < .

Паколькі < , то вектар процілегла накіраваны з вектарам: . Паколькі < , то вектар процілегла накіраваны вектару : . Адсюль вынікае, што вектар аднолькава накіраваны з вектарам : (5).

Па ўмове > , значыць, вектар аднолькава накіраваны з вектарам : (6). З (5) і (6) вынікае, што . Такім чынам, мы даказалі, што ў выпадку, калі< і < , то вектары і маюць роўныя даўжыні і аднолькава накіраваныя, значыць у гэтым выпадку =.

Разгледзім выпадак : < . Пры гэтай умове магчымы два выпадкі: > , < альбо < , > .

а) Няхай > і < .

Паколькі > , то вектар аднолькава накіраваны з вектарам : . З улікам умовы < атрымліваем, што вектар процілегла накіраваны вектару : .

Адсюль вынікае, што (7).

Паколькі < , то вектар процілегла накіраваны вектару : (8). З (7) і (8) вынікае, што .

Мы даказалі, што пры ўмове > і < вектары і маюць роўныя даўжыні і аднолькава накіраваныя, значыць, у гэтым выпадку =.

б) Няхай < і > .

Паколькі < ,то вектар процілегла накіраваны вектару : . З ўлікам умовы > атрымліваем, што вектар аднолькава накіраваны з вектарам : . Адсюль вынікае, што (9). Паколькі < , то вектар процілегла накіраваны вектару : (10). З (9) і (10) вынікае, што вектары і аднолькава накіраваныя: .

Даказана, што пры ўмове < і > вектары і маюць роўныя даўжыні і аднолькава накіраваныя, значыць, у гэтым выпадку =.

Такім чынам, разгледжаны ўсе магчымыя выпадкі і ўласцівасць 3) поўнасцю даказана.



Дакажам уласцівасць 4) .

Ад некаторага пункта адкладзём вектар : . Ад пункта адкладзём вектар : (рыс. 23).


Па правілу трохвугольніка выконва ецца роўнасць альбо

. Разгледім гаматэтыю з каэфіцыентам і цэнтрам . Тады выконваюцца наступныя роўнасці: , ,
Рыс. 23 . Інакш кажучы, , ,

. Па правілу трохвугольніка , а значыць, += . Што і трэба было даказаць.

.

Т э а р э м а 1. Няхай і калінеарныя вектары. Тады існуе адзіны лік такі, што .



Д о к а з. 1. Дакажам існаванне ліку .Паколькі вектары і калінеарныя, то магчымы два выпадкі : , альбо . У ввыпадку ў якасці можам узяць лік , а у выпадку у якасці можна ўзяць лік. Сапраўды, калі і

>0, то роўнасць выконваецца, паколькі вектары і аднолькава накіраваныя , а іх даўжыні роўныя:

.

У выпадку, калі і <0, то роўнасць таксама выконваецца. Сапраўды, паколькі вектары і процілегла накіраваныя і <0, то і аднолькава накіраваныя. Акрамы таго, іх даўжыні роўныя:



.

2. Дакажам, ўто такі лік адзіны. Дапусцім, што існуе яшчэ адзін лік такі, што . Тады , а значыць, .Паколькі , то значыць,. Такім чынам лік адзіны. Тэарэма даказана.

Т э а р э м а 2. Няхай , і – кампланарныя вектары і вектары і некалінеарныя. Тады існуюць адзіныя лікі і такія, што .

Д о к а з. 1. Дакажам існаванне лікаў і . Адкаладзём вектары , і ад адвольнага пункта : , , .

Калі пункт ляжыць на аадной з прамых ,, напрыклад, на прамой (рыс. 24), то вектары і калінеарныя і па пярэдней тэарэме існуе такі лік , што .

Рыс. 24 Рыс. 25 Рыс. 26


Разгледзім выпадак, калі пункт не ляжыць ні на адной прамых і . Няхай ||, (рыс. 25). Па правілу трохвугольніка . Вектары і калінеарныя, значыць, . Паколькі векторы і таксама калінеарныя, то. Такім чынам, атрымлівае, што

=+.

2. Дакажам, што такая пара лікаў адзіная. Дапусцім, што яшчэ існуюць лікі і , якія задавальняюць умове тэарэмы: . Тады выконваецца роўнасць . Адсюль вынікае, што . Адсль выніка, што



, , а значыць, і . Сапроўды, дапусцім, што гэта не так і адзін з лікаў, напрыклад, няроўны нулю. Тады атрымліваем, што . Інакш кажучы, вектары і калінарныя, што супярэчыць умове тэарэмы. Значыць, кожны з лікаў , роўны нулю.

Тэарэма даказана.

Напрыклад, няхай – адвольны трохвугольнік, – пункт перасячэння яго медыян , і , , , (рыс. 26). Тады = =

= = . У гэтым выпадку , .





База данных защищена авторским правом ©shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка